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莆田六中20152016学年高二上学期期末考试数学 (A)实验班满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题有且只有一项是符合题目要求的）1.已知是虚数单位，则复数（ ）A B C D2.已知复数满足，则（ ）A B C D 3. 已知（为虚数单位），则复数在复平面内的对应点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4 双曲线的焦距是( ) A8 B C D165定积分的值为（ ）A B C D6已知，是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）A若，垂直于同一平面，则与平行B若，平行于同一平面，则与平行C若，不平行，则在内不存在与平行的直线 D若，不平行，则与不可能垂直于同一平面7.如图所示，在直三棱柱中，点、分别是棱、的中点，则直线和所成的角是（ ）A B C D8.已知抛物线焦点为，过焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，其中点在轴下方，则（ ）A B C3 D9.已知函数，下列结论中错误的是（ ）A，使得B函数的图像一定是中心对称图形C若是函数的极值点，则 D若是函数的极小值点，则函数在区间上单调递减10.函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）A， B，C， D，11.已知曲线：和直线：，若直线上有且只有两个点关于轴的对称点在曲线上，则的取值范围是( )A B C DytO12如右图，（单位：m）,(单位：m),与的夹角为，以为圆心，为半径作圆弧与线段延长线交与点。甲、乙两质点同时从点出发，甲先以速度1（单位:m/s）沿线段行至点，再以速度3（单位：m/s）沿圆弧行至点后停止，乙以速率2（单位：m/s）沿线段行至点后停止。设时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为（），则函数的图像大致是（ ）ytO A BytOytOC D 二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数的值为 14设复数满足（是虚数单位），则的模为_15.已知函数与函数的图像关于直线对称，请根据这一结论求：_16设，若对任意的均有，则_三、解答题：本大题共6小题，17题10分，其它每题12分，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17已知抛物线：及抛物线上的一点。（1）求抛物线在点处的切线的方程；（2）求抛物线及切线与轴所围成图形的面积。18设函数的图像经过原点 （）求的值及函数的单调区间；（）求函数在上的最大值和最小值 19如图，三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱平面，为的中点（1）求证：；（2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由（3）若点为的中点，求二面角的余弦值20已知椭圆：的焦点和短轴顶点都在圆上。（1）求椭圆方程；（2）已知点，若斜率为1的直线与椭圆相交于两点，试探究以为底边的等腰三角形是否存在？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。21.已知函数，其中为实常数。（1）讨论函数的极值点个数；（2）若函数有两个零点，求的取值范围； （3）已知，对任意定义域内的两个不等实数都有，求的取值范围。22.已知函数，其中为实常数，为自然对数的底数。（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数有最小值，并设函数的最小值为，求证：；（3）设，试比较与的大小并加以证明。莆田六中2015-2016学年高二上期末考数学（A）评分标准一选择题1-5：DBCAB 6-10：DCCDC 11-12：AB二、填空题13、 14、 15、 16、三、解答题B17.解：（1） ，2分切点，所以切线的方程为即 4分（2）令y=0,则x=1,所以切线与x轴的交点为5分所以7分8分10分18.解：（1）2分所以 4分 ，5分列表如下：极大极小所以函数的单调增区间是和7分 递减区间是 8分（2），在上的最大值是，最小值是12分19.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、简单几何体的体积、二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想解：（I）取AB中点O，连接OM，OC. M为A1B1中点，MOA1A，又A1A平面ABC，MO平面ABC，MOAB.2分 ABC为正三角形，ABCO 又MOCO=O，AB平面OMC 又MC平面OMC ABMC4分（II）以O为原点，以，的方向分别为轴，轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系如图.依题意 .5分设，则.6分要使直线平面，只要 .7分即，解得 .8分的坐标为 当为线段的中点时，平面.9分（）取线段的中点，则，易知平面，故为平面的一个法向量.10分又由（II）知为平面的一个法向量 设二面角的平面角为，则.11分（公式1分）二面角 的余弦值为 .12分20.（）设椭圆G的右焦点为，由题意可得：，且，所以，故，所以，椭圆的方程为4分（）以AB为底的等腰三角形存在。理由如下设斜率为1的直线的方程为，代入中，化简得：，6分因为直线与椭圆相交于A，B两点，所以，解得 8分设，则，；于是的中点满足，；已知点P，若以AB为底的等腰三角形存在，则，即，将代入式，得满足10分此时直线的方程为. 12分21.解：（1）定义域： 1分当时，因为，所以在定义域内恒成立，无极值点。2分当时，令，则或（舍去）3分列表（省略）可知有一个极大值点，无极小值点。即极值点个数为1.综上，当时，无极值点，当时，有且只有一个极值点。4分（2）法一：由（1）可知当时，为增函数，至多只有一个零点，不合。5分当时，6分当时，；当时，7分要使得函数有两个零点，则须且只需，即解得，又，所以综上：的取值范围是8分法二：函数有两个零点等价于方程有两解等价于有两解5分令，则即为的图像与有且只有两个交点，令，则6分列表可知，当时，；当时，7分作出函数的简图，由简图可知，所以的取值范围是8分（3）由（1）可知时，为增函数，不妨设，则原不等式即为，即 9分记，则由的任意性可知，要使得上式恒成立，须且只需为增函数。10分所以在定义域内恒成立。即当且仅当时取等号。11分所以，所以解得。所求的取值范围为 12分22.解：（1）定义域：R 当时，1分令解得，列表如下（略）2分所以的单调递减区间是，递增区间是3分（2）证明：当时，可知恒成立，所以在R上单调递增，无最小值。4分当时令，解得， 5分 列表如下（略）所以6分要证明，则只需证明7分令，解得，8分列表如下（略）所以成立。9分（3）先比较与的大小。10分由（1）可知函数的最小值为，所以对任意的，都有成立，即成立，即成立。11分所以即 12分
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