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第1讲直线与圆1(2016山东)已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切 B相交 C外切 D相离答案B解析圆M：x2(ya)2a2，圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，圆心M到直线xy0的距离d，由几何知识得2()2a2，解得a2.M(0,2)，r12.又圆N的圆心坐标为N(1,1)，半径r21，|MN|，r1r23，r1r21.r1r2|MN|r1r2，两圆相交，故选B.2(2016上海)已知平行直线l1：2xy10，l2：2xy10，则l1与l2的距离是_答案3(2016浙江)已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是_半径是_答案(2，4)5解析由已知方程表示圆，则a2a2，解得a2或a1.当a2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去当a1时，原方程为x2y24x8y50，化为标准方程为(x2)2(y4)225，表示以(2，4)为圆心，半径为5的圆4(2016课标全国乙)设直线yx2a与圆C：x2y22ay20相交于A，B两点，若|AB|2，则圆C的面积为_答案4解析圆C：x2y22ay20，即C：x2(ya)2a22，圆心为C(0，a)，C到直线yx2a的距离为d.又由|AB|2，得22a22，解得a22，所以圆的面积为(a22)4.考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题.直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.热点一直线的方程及应用1两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1l2k1k2，l1l2k1k21.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在2求直线方程要注意几种直线方程的局限性点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线3两个距离公式(1)两平行直线l1：AxByC10，l2：AxByC20间的距离d.(2)点(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离公式d.例1(1)已知直线l1：(k3)x(4k)y10与l2：2(k3)x2y30平行，则k的值是()A1或3 B1或5C3或5 D1或2(2)已知两点A(3,2)和B(1,4)到直线mxy30的距离相等，则m的值为()A0或 B.或6C或 D0或答案(1)C(2)B解析(1)两直线平行，则A1B2A2B10且A1C2A2C10或B1C2B2C10，所以有2(k3)2(k3)(4k)0，解得k3或5，且满足条件，故正确答案为C.(2)依题意，得.所以|3m5|m7|.所以(3m5)2(m7)2，所以8m244m240.所以2m211m60.所以m或m6.思维升华(1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究跟踪演练1已知直线l1：ax2y10与直线l2：(3a)xya0，若l1l2，则a的值为()A1 B2C6 D1或2答案D解析由l1l2，则a(3a)20，即a1或a2，选D.热点二圆的方程及应用1圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(xa)2(yb)2r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2y2r2.2圆的一般方程x2y2DxEyF0，其中D2E24F0，表示以(，)为圆心，为半径的圆例2(1)若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为()A(x2)2(y2)23B(x2)2(y)23C(x2)2(y2)24D(x2)2(y)24(2)已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为2，且与直线l2：2xy40相切，则圆M的方程为()A(x1)2y24B(x1)2y24Cx2(y1)24Dx2(y1)24答案(1)D(2)B解析(1)因为圆C经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x2上，又圆与y轴相切，所以半径r2，设圆心坐标为(2，b)，则(21)2b24，b23，b，所以选D.(2)由已知，可设圆M的圆心坐标为(a,0)，a2，半径为r，得解得满足条件的一组解为所以圆M的方程为(x1)2y24.故选B.思维升华解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数跟踪演练2(1)(2015课标全国)一个圆经过椭圆1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_(2)两条互相垂直的直线2xy20和ax4y20的交点为P，若圆C过点P和点M(3,2)，且圆心在直线yx上，则圆C的标准方程为_答案(1)2y2(2)(x6)2(y3)234解析(1)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，2)三点，(4,0)，(0，2)两点的垂直平分线方程为y12(x2)，令y0，解得x，圆心为，半径为.得该圆的标准方程为(x)2y2.(2)由直线2xy20和直线ax4y20垂直得2a40，故a2，代入直线方程，联立解得交点坐标为P(1,0)，易求得线段MP的垂直平分线的方程为xy30，设圆C的标准方程为(xa)2(yb)2r2 (r0)，则圆心(a，b)为直线xy30与直线yx的交点，由解得圆心坐标为(6，3)，从而得到r234，所以圆C的标准方程为(x6)2(y3)234.热点三直线与圆、圆与圆的位置关系1直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则dr直线与圆相离(2)判别式法：设圆C：(xa)2(yb)2r2，直线l：AxByC0，方程组消去y，得关于x的一元二次方程根的判别式，则直线与圆相离0.2圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离设圆C1：(xa1)2(yb1)2r，圆C2：(xa2)2(yb2)2r，两圆心之间的距离为d，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：(1)dr1r2两圆外离；(2)dr1r2两圆外切；(3)|r1r2|dr1r2两圆相交；(4)d|r1r2|(r1r2)两圆内切；(5)0d0)上一动点，PA，PB是圆C：x2y22y0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为()A3 B.C2 D2答案(1)A(2)D解析(1)对于直线方程2x(y3)m40(mR)，取y3，则必有x2，所以该直线恒过定点P(2,3)设圆心是C，则易知C(1,2)，所以kCP1，由垂径定理知CPMN，所以kMN1.又弦MN过点P(2,3)，故弦MN所在直线的方程为y3(x2)，即xy50.(2)如图，把圆的方程化成标准形式得x2(y1)21，所以圆心为(0,1)，半径为r1，四边形PACB的面积S2SPBC，所以若四边形PACB的最小面积是2，则SPBC的最小值为1.而SPBCr|PB|，即|PB|的最小值为2，此时|PC|最小，|PC|为圆心到直线kxy40的距离d，此时d，即k24，因为k0，所以k2.思维升华(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题跟踪演练3(1)若直线3x4yb与圆x2y22x2y10相切，则b的值是()A2或12 B2或12C2或12 D2或12(2)已知在平面直角坐标系中，点A(2，0)，B(0,1)到直线l的距离分别为1,2，则这样的直线l共有_条答案(1)D(2)3解析(1)由题意可得圆心坐标为(1,1)，半径r1，又直线3x4yb与圆相切，1，b2或12，故选D.(2)由题意得直线l为圆(x2)2y21(A为圆心)与圆x2(y1)24(B为圆心)的公切线，|AB|312，两圆外切，两圆共有3条公切线故答案为3.1已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成的两段弧长比为12，则圆C的方程为()A(x)2y2B(x)2y2Cx2(y)2Dx2(y)2押题依据直线和圆的方程是高考的必考点，经常以选择题、填空题的形式出现，利用几何法求圆的方程也是数形结合思想的应用答案C解析由已知得圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为.设圆心坐标为(0，a)，半径为r，则rsin1，rcos|a|，解得r，即r2，|a|，即a，故圆C的方程为x2(y)2.2设m，n为正实数，若直线(m1)x(n1)y40与圆x2y24x4y40相切，则mn()A有最小值1，无最大值B有最小值32，无最大值C有最大值32，无最小值D有最小值32，最大值32押题依据直线与圆的位置关系是高考命题的热点，本题与基本不等式结合考查，灵活新颖，加之直线与圆的位置关系本身承载着不等关系，因此此类题在高考中出现的可能性很大答案B解析根据圆心到直线的距离是2得到m，n的关系，然后结合不等式即可求解由直线(m1)x(n1)y40与圆(x2)2(y2)24相切，可得2，整理得mn1mn，由m，n为正实数，可知mn2，令t，则2t1t2，因为t0，所以t1，所以mn32.故mn有最小值32，无最大值故选B.3若圆x2y24与圆x2y2ax2ay90(a0)相交，公共弦的长为2，则a_.押题依据本题已知公共弦长，求参数的范围，情境新颖，符合高考命题的思路答案解析联立两圆方程可得公共弦所在直线方程为ax2ay50，故圆心(0,0)到直线ax2ay50的距离为(a0)故22，解得a2，因为a0，所以a.A组专题通关1设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|PB|，若直线PA的方程为xy10，则直线PB的方程是()Axy50 B2xy10C2yx40 D2xy70答案A解析由于直线PA的倾斜角为45，且|PA|PB|，故直线PB的倾斜角为135，又由题意知P(2,3)，直线PB的方程为y3(x2)，即xy50.故选A.2设aR，则“a1”是“直线axy10与直线xay50平行”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析直线axy10与直线xay50平行的充要条件为即a1，故a1是两直线平行的充分而不必要条件故选A.3过P(2,0)的直线l被圆(x2)2(y3)29截得的线段长为2时，直线l的斜率为()A BC1 D答案A解析由题意得直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为yk(x2)，即kxy2k0.由点到直线的距离公式得，圆心到直线l的距离d，由圆的性质可得d212r2，即()2129，解得k2，即k.4若圆O：x2y24与圆C：x2y24x4y40关于直线l对称，则直线l的方程是()Axy0 Bxy0Cxy20 Dxy20答案C解析圆x2y24x4y40，即(x2)2(y2)24，圆心C的坐标为(2,2)直线l过OC的中点(1,1)，且垂直于直线OC，易知kOC1，故直线l的斜率为1，直线l的方程为y1x1，即xy20.故选C.5已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A54 B.1C62 D.答案A解析两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C1(2，3)，则(|PC1|PC2|)min|C1C2|5，所以(|PM|PN|)min5(13)54.6已知直线l1：axy10，l2：xy10，l1l2，则a的值为_，直线l1与l2间的距离为_答案1解析l1l2，a111a1，此时l1：xy10，l1，l2之间的距离为.7已知点A(2,0)，B(0,2)，若点C是圆x22xy20上的动点，则ABC面积的最小值是_答案3解析将圆的方程整理为标准方程得(x1)2y21，圆心坐标为(1,0)，半径r1.A(2,0)，B(0,2)，直线AB的方程为yx2，圆心到直线AB的距离d，ABC中，AB边上的高的最小值为dr1，又|OA|OB|2，OAOB，|AB|2，故ABC面积的最小值为|AB|(dr)3.8(2016课标全国丙)已知直线l：mxy3m0与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|2，则|CD|_.答案4解析设AB的中点为M，由题意知，圆的半径R2，AB2，所以OM3，解得m，由解得A(3，)，B(0,2)，则AC的直线方程为y(x3)，BD的直线方程为y2x，令y0，解得C(2,0)，D(2,0)，所以|CD|4.9已知点A(3,3)，B(5,2)到直线l的距离相等，且直线l经过两直线l1：3xy10和l2：xy30的交点，求直线l的方程解解方程组得交点P(1,2)若点A，B在直线l的同侧，则lAB.而kAB，由点斜式得直线l的方程为y2(x1)，即x2y50.若点A，B分别在直线l的异侧，则直线l经过线段AB的中点(4，)，由两点式得直线l的方程为，即x6y110.综上所述，直线l的方程为x2y50或x6y110.10(2015课标全国)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)若12，其中O为坐标原点，求|MN|.解(1)由题设可知，直线l的方程为ykx1，因为l与C交于两点，所以1.解得k.所以k的取值范围为.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)将ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由题设可得812，解得k1，所以l的方程为yx1.故圆心C在l上，所以|MN|2.B组能力提高11已知点A(2，3)，B(3，2)，若直线kxy1k0与线段AB相交，则k的取值范围是()A，2 B(，2，)C(，12，) D1,2答案B解析直线kxy1k0恒过点P(1,1)，kPA2，kPB；若直线kxy1k0与线段AB相交，结合图象(图略)得k或k2，故选B.12若方程(x2cos )2(y2sin )21(02)的任意一组解(x，y)都满足不等式yx，则的取值范围是()A， B，C， D，答案D解析根据题意可得，方程(x2cos )2(y2sin )21(02)的任意一组解(x，y)都满足不等式yx，表示方程(x2cos )2(y2sin )21(02)在yx的左上方(包括相切)，sin，0，圆C与直线y2x4不相交，t2不符合题意，应舍去综上，圆C的方程为(x2)2(y1)25.
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