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第1讲直线与圆1(2016山东改编)已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是_答案相交解析圆M：x2(ya)2a2，圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，圆心M到直线xy0的距离d，由几何知识得2()2a2，解得a2.M(0,2)，r12.又圆N的圆心坐标为N(1,1)，半径r21，MN，r1r23，r1r21.r1r2MNr1r2，两圆相交2(2016上海)已知平行直线l1：2xy10，l2：2xy10，则l1与l2的距离是_答案3(2016浙江)已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是_半径是_答案(2，4)5解析由已知方程表示圆，则a2a2，解得a2或a1.当a2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去当a1时，原方程为x2y24x8y50，化为标准方程为(x2)2(y4)225，表示以(2，4)为圆心，半径为5的圆4(2016课标全国乙)设直线yx2a与圆C：x2y22ay20相交于A，B两点，若AB2，则圆C的面积为_答案4解析圆C：x2y22ay20，即C：x2(ya)2a22，圆心为C(0，a)，C到直线yx2a的距离为d.又由AB2，得22a22，解得a22，所以圆的面积为(a22)4.考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以填空题的形式出现热点一直线的方程及应用1两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1l2k1k2，l1l2k1k21.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在2求直线方程要注意几种直线方程的局限性点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线3两个距离公式(1)两平行直线l1：AxByC10，l2：AxByC20间的距离d.(2)点(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离公式d.例1(1)已知直线l1：(k3)x(4k)y10与l2：2(k3)x2y30平行，则k的值是_(2)过点(5,2)且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是_答案(1)3或5(2)2xy120或2x5y0解析(1)两直线平行，则A1B2A2B10且A1C2A2C10，所以有2(k3)2(k3)(4k)0，解得k3或5，且满足条件A1C2A2C10.(2)若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为ykx，由直线过点(5,2)，可得k，此时直线方程为2x5y0；若直线在坐标轴上的截距不为0，根据题意设直线方程为1，由直线过点(5,2)，可得a6，此时直线方程为2xy120.思维升华(1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究跟踪演练1已知直线l1：ax2y10与直线l2：(3a)xya0，若l1l2，则a的值为_答案1或2解析由l1l2，则a(3a)20，即a1或a2.热点二圆的方程及应用1圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(xa)2(yb)2r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2y2r2.2圆的一般方程x2y2DxEyF0，其中D2E24F0，表示以(，)为圆心，为半径的圆例2(1)若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为_(2)过点A(a，a)可作圆x2y22axa22a30的两条切线，则实数a的取值范围为_答案(1)(x2)2(y)24(2)a3或1a解析(1)因为圆C经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x2上，又圆与y轴相切，所以半径r2，设圆心坐标为(2，b)，则(21)2b24，b23，b.(2)圆x2y22axa22a30的圆心为(a,0)，且a32a，解得a3或1a0)，则圆心(a，b)为直线xy30与直线yx的交点，由解得圆心坐标为(6，3)，从而得到r234，所以圆C的标准方程为(x6)2(y3)234.热点三直线与圆、圆与圆的位置关系1直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则dr直线与圆相离(2)判别式法：设圆C：(xa)2(yb)2r2，直线l：AxByC0，方程组消去y，得关于x的一元二次方程根的判别式，则直线与圆相离0.2圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离设圆C1：(xa1)2(yb1)2r，圆C2：(xa2)2(yb2)2r，两圆心之间的距离为d，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：(1)dr1r2两圆外离；(2)dr1r2两圆外切；(3)|r1r2|dr1r2两圆相交；(4)d|r1r2|(r1r2)两圆内切；(5)0d0)与圆C：(x2)2y21相交于A，B两点，若AB，则k_.(2)若直线yxb与曲线x恰有一个公共点，则b的取值范围是_答案(1)(2)(1,1解析(1)圆心C，半径为1，圆心到直线的距离d，而AB，得()221，解得k.(2)曲线x，即x2y21(x0)表示一个半径为1的半圆，如图所示当直线yxb经过点A(0,1)时，求得b1；当直线yxb经过点B(1,0)时，求得b1；当直线和半圆相切于点D时，由圆心O到直线yxb的距离等于半径，可得1，求得b，或b(舍去)故当直线yxb与曲线x恰有一个公共点时，b的取值范围是10，所以t1，所以mn32.故mn有最小值32，无最大值3若圆x2y24与圆x2y2ax2ay90(a0)相交，公共弦的长为2，则a_.押题依据本题已知公共弦长，求参数的范围，情境新颖，符合高考命题的思路答案解析联立两圆方程可得公共弦所在直线方程为ax2ay50，故圆心(0,0)到直线ax2ay50的距离为(a0)故22，解得a2，因为a0，所以a.A组专题通关1设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且PAPB，若直线PA的方程为xy10，则直线PB的方程是_答案xy50解析由于直线PA的倾斜角为45，且PAPB，故直线PB的倾斜角为135，又由题意知P(2,3)，直线PB的方程为y3(x2)，即xy50.2(教材改编)设直线axy30与圆(x1)2(y2)24相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a_.答案0解析由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，得()2()222，解得a0.3过坐标原点且与圆x2y24x2y0相切的直线的方程为_答案3xy0或x3y0解析设直线方程为ykx，即kxy0.圆方程可化为(x2)2(y1)2，圆心为(2，1)，半径为.依题意有，解得k3或k，直线方程为3xy0或x3y0.4已知圆O1的方程为x2y24，圆O2的方程为(xa)2y21，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是_答案1，1,3，3解析两个圆有且只有一个公共点，两个圆内切或外切内切时，|a|1；外切时，|a|3，实数a的取值集合是1，1,3，35已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则PMPN的最小值为_答案54解析两圆的圆心均在第一象限，先求PC1PC2的最小值，作点C1关于x轴的对称点C1(2，3)，则(PC1PC2)minC1C25，所以(PMPN)min5(13)54.6已知直线l1：axy10，l2：xy10，l1l2，则a的值为_，直线l1与l2间的距离为_答案1解析l1l2，a111a1，此时l1：xy10，l1，l2之间的距离为.7在平面直角坐标系xOy中，过点P的直线与圆x2y21相切于点T，与圆223相交于点R，S，且PTRS，则正数a的值为_答案4解析由题意得PT，kPT，PT：y(x2)，即xy20，又RSPT，所以圆223的圆心到直线PT距离为，从而，因此正数a的值为4.8(2016课标全国丙)已知直线l：mxy3m0与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若AB2，则CD_.答案4解析设AB的中点为M，由题意知，圆的半径R2，AB2，所以OM3，解得m，由解得A(3，)，B(0,2)，则AC的直线方程为y(x3)，BD的直线方程为y2x，令y0，解得C(2,0)，D(2,0)，所以CD4.9已知点A(3,3)，B(5,2)到直线l的距离相等，且直线l经过两直线l1：3xy10和l2：xy30的交点，求直线l的方程解解方程组得交点P(1,2)若点A，B在直线l的同侧，则lAB.而kAB，由点斜式得直线l的方程为y2(x1)，即x2y50.若点A，B分别在直线l的异侧，则直线l经过线段AB的中点(4，)，由两点式得直线l的方程为，即x6y110.综上所述，直线l的方程为x2y50或x6y110.10(2015课标全国)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)若12，其中O为坐标原点，求MN.解(1)由题设可知，直线l的方程为ykx1，因为l与C交于两点，所以1.解得k，圆C与直线y2x4不相交，t2不符合题意，应舍去综上，圆C的方程为(x2)2(y1)25.
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