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第2讲椭圆、双曲线、抛物线1(2016课标全国乙)已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A(1,3) B(1，)C(0,3) D(0，)答案A解析方程1表示双曲线，(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，由双曲线性质，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)，焦距2c22|m|4，解得|m|1，1n0)，以原点为圆心，双曲线的半实轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析由题意知双曲线的渐近线方程为yx，圆的方程为x2y24，联立解得或即第一象限的交点为.由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为，故2b，得b212.故双曲线的方程为1.故选D.3(2016课标全国甲)已知F1，F2是双曲线E：1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为()A. B. C. D2答案A解析如图，因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|.又sinMF2F1，所以，即|MF2|3|MF1|.由双曲线的定义得2a|MF2|MF1|2|MF1|，所以b2a2，所以c2b2a22a2，所以离心率e.4(2016浙江)若抛物线y24x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_答案9解析抛物线y24x的焦点F(1,0)准线为x1，由M到焦点的距离为10，可知M到准线x1的距离也为10，故M的横坐标满足xM110，解得xM9，所以点M到y轴的距离为9.1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等).热点一圆锥曲线的定义与标准方程1圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|PF1|PF2|2a(2a8，点C到两个定点的距离之和等于定值，满足椭圆的定义，点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，2a10,2c8，b3.椭圆的标准方程是1(y0)故选D.(2)由椭圆方程知其焦点坐标为(4,0)和(4,0)，恰分别为ABC的顶点A和C的坐标，由椭圆定义知|BA|BC|2a10，在ABC中，由正弦定理可知，.思维升华(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定跟踪演练1(1)已知双曲线的一个焦点与抛物线x224y的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30，则该双曲线的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1(2)抛物线y24x上的两点A，B到焦点的距离之和为8，则线段AB的中点到y轴的距离为_答案(1)B(2)3解析(1)由抛物线x224y得焦点坐标为(0,6)，双曲线的一个焦点与抛物线x224y的焦点相同，c6，设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，又双曲线的一条渐近线的倾斜角为30，即ba，又c2a2b2，a29，b227，双曲线的标准方程为1.故选B.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义及题意知，x11x218，x1x26.线段AB的中点到y轴的距离为3.热点二圆锥曲线的几何性质1椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2b2c2，离心率为e ；(2)在双曲线中：c2a2b2，离心率为e.2双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx.注意离心率e与渐近线的斜率的关系例2(1)椭圆：1(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_(2)已知双曲线1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2y2a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|CF2|，则双曲线的渐近线方程为()Ay3x By2xCy(1)x Dy(1)x答案(1)1(2)C解析(1)直线y(xc)过点F1(c,0)，且倾斜角为60，所以MF1F260，从而MF2F130，所以MF1MF2.在RtMF1F2中，|MF1|c，|MF2|c，所以该椭圆的离心率e1.(2)由题意作出示意图，易得直线BC的斜率为，cosCF1F2，又由双曲线的定义及|BC|CF2|可得|CF1|CF2|BF1|2a，|BF2|BF1|2a|BF2|4a，故cosCF1F2b22ab2a20()22()201，故双曲线的渐近线方程为y(1)x.思维升华(1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围跟踪演练2(1)设椭圆C：1(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则椭圆C的离心率为()A. B. C. D.(2)(2015重庆)设双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于a，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A(1,0)(0,1) B(，1)(1，)C(，0)(0，) D(，)(，)答案(1)D(2)A解析(1)因为PF2F1F2，PF1F230， 所以|PF2|2ctan 30c，|PF1|c.又|PF1|PF2|c2a，所以，即椭圆C的离心率为.(2)由题作出图象如图所示由1可知A(a,0)，F(c,0)易得B，C.kAB，kCD.kAC，kBD.lBD：y(xc)，即yx，lCD：y(xc)，即yx.xDc.点D到BC的距离为.aac，b4b2，01.01.热点三直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数例3(2015江苏改编)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的离心率为，且右焦点F到直线l：x的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若|PC|2|AB|，求直线AB的方程解(1)由题意，得且c3，解得a，c1，则b1，所以椭圆的标准方程为y21.(2)当ABx轴时，|AB|，又|CP|3，不合题意当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入椭圆方程，得(12k2)x24k2x2(k21)0，则x1,2，C的坐标为，且|AB|.若k0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与直线l平行，不合题意从而k0，故直线PC的方程为y，则P点的坐标为，从而|PC|.因为|PC|2|AB|，所以，解得k1.此时直线AB的方程为yx1或yx1.思维升华解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解跟踪演练3(1)设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围为()A， B2,2C1,1 D4,4(2)设椭圆C：1与函数ytan 的图象相交于A1，A2两点，若点P在椭圆C上，且直线PA2的斜率的取值范围是2，1，那么直线PA1斜率的取值范围是_答案(1)C(2)，解析(1)由题意知抛物线的准线为x2，Q(2,0)，显然，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为yk(x2)，由得k2x24(k22)x4k20，当k0时，x0，此时交点为(0,0)，当k0时，0，即4(k22)216k40，解得1k0或00，b0)的一条渐近线与直线3xy30垂直，以C的右焦点F为圆心的圆(xc)2y22与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为()A1 B2 C. D2押题依据圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近线是高考命题的热点答案D解析由直线垂直的条件，求出渐近线的斜率，从而得到渐近线方程，根据圆心到渐近线的距离等于半径，求得b，进而求出焦距2c.由已知，得()1，所以，由点F(c,0)到渐近线yx的距离d，可得c，2c2，故选D.2已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且点(1，)在该椭圆上(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若AOB的面积为，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程押题依据椭圆及其性质是历年高考的重点，直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注解(1)由题意可得e，又a2b2c2，所以b2a2.因为椭圆C经过点(1，)，所以1，解得a2，所以b23，故椭圆C的方程为1.(2)由(1)知F1(1,0)，设直线l的方程为xty1，由消去x，得(43t2)y26ty90，显然0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2，所以|y1y2| ，所以SAOB|F1O|y1y2|，化简得18t4t2170，即(18t217)(t21)0，解得t1，t(舍去)，又圆O的半径r，所以r，故圆O的方程为x2y2.A组专题通关1点F为椭圆1(ab0)的一个焦点，若椭圆上存在点A使AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为()A. B.C. D.1答案D解析如图所示，设F为椭圆的右焦点，点A在第一象限，由已知得直线OA的斜率为ktan 60，点A的坐标为.点A在椭圆上，1，即1.b2c23a2c24a2b2，又b2a2c2，4a48a2c2c40，e48e240，e242，又e(0,1)，e1.故选D.2(2016浙江)已知椭圆C1：y21(m0)与双曲线C2：y21(n0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则()Amn且e1e21 Bmn且e1e21Cmn且e1e21 Dmn且e1e21答案A解析由题意可得：m21n21，即m2n22，又m0，n0，故mn.又ee11，e1e21.3已知双曲线C：y21的左，右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，且点P的横坐标为2，则PF1Q的周长为()A. B5C. D4答案A解析因为双曲线C：y21，所以a，b1，c2，故F1(2,0)，F2(2,0)由于点P的横坐标为2，则PQx轴令x2，则有y21，即y.故|QF2|PF2|，|PQ|，|QF1|PF1|PF2|2a.则PF1Q的周长为|PF1|QF1|PQ|.故选A.4设抛物线E：y22px(p0)的焦点为F，点M为抛物线E上一点，|MF|的最小值为3，若点P为抛物线E上任意一点，A(4,1)，则|PA|PF|的最小值为()A4 B7C42 D10答案B解析由题意，|MF|的最小值为3，3，p6，抛物线E：y212x，抛物线y212x的焦点F的坐标是(3,0)；设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|PD|，要求|PA|PF|取得最小值，即求|PA|PD|取得最小值，当D，P，A三点共线时|PA|PD|最小，为4(3)7，故选B.5已知双曲线1(a0，b0)与抛物线y28x有一个共同的焦点F，两曲线的一个交点为P，若|PF|5，则点F到双曲线的渐近线的距离为()A. B2C. D3答案A解析抛物线y28x的焦点为F(2,0)，双曲线1(a0，b0)的一个焦点F的坐标为(2,0)，c2a2b24.P是两曲线的一个交点，且|PF|5，xp25，xp3，y24.P(xp，yp)在双曲线1上，1.联立解得a21，b23.双曲线的方程为x21.又双曲线的渐近线方程为yx，点F(2,0)到渐近线的距离为.6已知点A(2,4)在抛物线y22px(p0)上，且抛物线的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，若双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为_答案x21解析点A(2,4)在抛物线y22px(p0)上，164p，解得p4.抛物线的准线方程为x2.又抛物线的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，c2，又e2，a1，则b2c2a2413，双曲线的方程为x21.7一动圆与已知圆O1：(x3)2y21外切，与圆O2：(x3)2y281内切，则动圆圆心的轨迹方程为_答案1解析两定圆的圆心和半径分别是O1(3,0)，r11；O2(3,0)，r29.设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，则由题设条件，可得|MO1|R1，|O2M|9R.|MO1|MO2|10|O1O2|6.由椭圆的定义知点M在以O1，O2为焦点的椭圆上，且2a10,2c6，b216.动圆圆心的轨迹方程为1.8过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则AOB的面积为_答案解析由已知得直线方程为y2(x1)由得3y22y80，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2，|y1y2|，SAOB1.9已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线x21的焦点重合，过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点(1)求椭圆C的方程；(2)求的取值范围解(1)由双曲线x21得其焦点为(0，)，b.又由e，a2b2c2，得a24，c1.故椭圆C的方程为1.(2)由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x4)，由消去y，得(4k23)x232k2x64k2120，由(32k2)24(4k23)(64k212)0，得k2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，y1y2k2(x14)(x24)k2x1x24k2(x1x2)16k2，x1x2y1y2(1k2)4k216k225.0k2，290，b0)的左焦点F，且与双曲线的右支交于点P，若()，则双曲线的离心率是_答案解析如图所示，设双曲线的右焦点为H，连接PH，由题意可知|OE|，由()，可知E为FP的中点由双曲线的性质，可知O为FH的中点，所以OEPH，且|OE|PH|，故|PH|2|OE|.由双曲线的定义，可知|PF|PH|2a(P在双曲线的右支上)，所以|PF|2a|PH|.因为直线l与圆相切，所以PFOE.又OEPH，所以PFPH.在RtPFH中，|FH|2|PH|2|PF|2，即(2c)2()2()2，整理得，即e.13经过椭圆1的右焦点的直线l交抛物线y24x于A、B两点，点A关于y轴的对称点为C，则_.答案5解析由椭圆1知右焦点为(1,0)，当直线l的斜率为0时，不符合题意，故可设直线l的方程为xmy1.由得y24my40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24，x1x21.由题意知C(x1，y1)，(x2，y2)(x1，y1)x1x2y1y2145.14已知椭圆C的长轴左，右顶点分别为A，B，离心率e，右焦点为F，且1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若P是椭圆C上的一动点，点P关于坐标原点的对称点为Q，点P在x轴上的射影点为M，连接QM并延长交椭圆于点N，求证：QPN90.(1)解依题意，设椭圆C的方程为1(ab0)，则A(a,0)，B(a,0)，F(c,0)，由e，得ac.由1，得(ca,0)(ca,0)c2a21.联立，解得a，c1，所以b21，故椭圆C的标准方程为y21.(2)证明设P(x1，y1)，N(x2，y2)，由题意知xi0，yi0(i1,2)，且x1x2， 又Q(x1，y1)，M(x1,0)由Q，M，N三点共线，知kQMkQN，所以.又kPQkPN11.把代入，得kPQkPN11.因为点P，N在椭圆上，所以x2y2，x2y2，把代入，得kPQkPN10，即kPQkPN1，所以QPN90.
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