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第1讲等差数列与等比数列1(2016课标全国乙)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100等于()A100 B99 C98 D97答案C解析由等差数列性质，知S99a527，得a53，而a108，因此公差d1，a100a1090d98，故选C.2(2016北京)已知an为等差数列，Sn为其前n项和若a16，a3a50，则S6_.答案6解析a3a52a40，a40.又a16，a4a13d0，d2.S666(2)6.3(2016江苏)已知an是等差数列，Sn是其前n项和若a1a3，S510，则a9的值是_答案20解析设等差数列an公差为d，由题意可得：解得则a9a18d48320.4(2016课标全国乙)设等比数列an满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_答案64解析设等比数列an的公比为q，解得a1a2an(3)(2)(n4)nN*，当n3或4时，取到最小值6，此时取到最大值2664，a1a2an的最大值为64.1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力.热点一等差数列、等比数列的运算1通项公式等差数列：ana1(n1)d；等比数列：ana1qn1.2求和公式等差数列：Snna1d；等比数列：Sn(q1)3性质若mnpq，在等差数列中amanapaq；在等比数列中amanapaq.例1(1)已知数列an中，a3，a7，且是等差数列，则a5等于()A. B. C. D.(2)已知等比数列an的各项都为正数，其前n项和为Sn，且a1a79，a42，则S8等于()A15(1) B15C15 D15(1)或15(1)答案(1)B(2)D解析(1)设等差数列的公差为d，则4d，4d，解得d2.2d10，解得a5.(2)由a42，得a1a7a8，故a1，a7是方程x29x80的两根，所以或因为等比数列an的各项都为正数，所以公比q0.当时q，所以S815(1)；当时，q，所以S815.故选D.思维升华在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量跟踪演练1(1)(2015浙江)已知an是等差数列，公差d不为零若a2，a3，a7成等比数列，且2a1a21，则a1_，d_.(2)已知数列an是各项均为正数的等比数列，a1a21，a3a42，则log2_.答案(1)1(2)1 006解析(1)a2，a3，a7成等比数列，aa2a7，即(a12d)2(a1d)(a16d)，a1d.2a1a21，2a1a1d1，即3a1d1，a1，d1.(2)在等比数列中，(a1a2)q2a3a4，即q22，所以a2 013a2 014a2 015a2 016(a1a2a3a4)q2 012321 006，所以log21 006.热点二等差数列、等比数列的判定与证明数列an是等差数列或等比数列的证明方法(1)证明数列an是等差数列的两种基本方法：利用定义，证明an1an(nN*)为一常数；利用中项性质，即证明2anan1an1(n2)(2)证明an是等比数列的两种基本方法：利用定义，证明(nN*)为一常数；利用等比中项，即证明aan1an1(n2)例2已知数列an的前n项和为Sn (nN*)，且满足anSn2n1.(1)求证：数列an2是等比数列，并求数列an的通项公式；(2)求证：.证明(1)anSn2n1，令n1，得2a13，a1.anSn2n1，an1Sn12(n1)1 (n2，nN*)两式相减，得2anan12，整理anan11，an2(an12)(n2)，数列an2是首项为a12，公比为的等比数列，an2n，an2.(2)，()()().思维升华(1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前n项和公式，但不能作为证明方法(2)q和aan1an1(n2)都是数列an为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零跟踪演练2(1)已知数列an中，a11，an12an3，则an_.(2)已知数列bn的前n项和为Tn，若数列bn满足各项均为正项，并且以(bn，Tn) (nN*)为坐标的点都在曲线ayx2xb (a为非零常数)上运动，则称数列bn为“抛物数列”已知数列bn为“抛物数列”，则()Abn一定为等比数列Bbn一定为等差数列Cbn只从第二项起为等比数列Dbn只从第二项起为等差数列答案(1)2n13(2)B解析(1)由已知可得an132(an3)，又a134，故an3是以4为首项，2为公比的等比数列an342n1，an2n13.(2)由已知条件可知，若数列bn为“抛物数列”，设数列bn的前n项和为Tn，则数列bn满足各项均为正项，并且以(bn，Tn)(nN*)为坐标的点都在曲线ayx2xb (a为非零常数)上运动，即aTnbbnb，当n1时，aT1bb1bab1bb1bbb1b0abab12b0，即b1；当n2时，由aTnbbnb，及aTn1bbn1b，两式相减得abn(bb)(bnbn1)(bb)(bnbn1)0，由各项均为正项，可得bnbn11(n2)，由等差数列的定义可知bn一定为等差数列热点三等差数列、等比数列的综合问题解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解例3已知等差数列an的公差为1，且a2a7a126.(1)求数列an的通项公式an与前n项和Sn；(2)将数列an的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列bn的前3项，记bn的前n项和为Tn，若存在mN*，使对任意nN*，总有SnTm恒成立，求实数的取值范围解(1)由a2a7a126得a72，a14，an5n，从而Sn.(2)由题意知b14，b22，b31，设等比数列bn的公比为q，则q，Tm81()m，()m随m增加而递减，Tm为递增数列，得4Tm8.又Sn(n29n)(n)2，故(Sn)maxS4S510，若存在mN*，使对任意nN*总有SnTm，则106.即实数的取值范围为(6，)思维升华(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便(2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题(3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解跟踪演练3已知数列an的前n项和为Sn，且Sn13(an1)，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn满足若bnt对于任意正整数n都成立，求实数t的取值范围解(1)由已知得Sn3an2，令n1，得a11，又an1Sn1Sn3an13anan1an，所以数列an是以1为首项，为公比的等比数列，所以ann1.(2)由得所以bn1bn(n1)nnn1(2n)，所以(bn)maxb2b3，所以t.1设等差数列an的前n项和为Sn，且a10，a3a100，a6a70的最大自然数n的值为()A6 B7C12 D13押题依据等差数列的性质和前n项和是数列最基本的知识点，也是高考的热点，可以考查学生灵活变换的能力答案C解析a10，a6a70，a70，a1a132a70，S130的最大自然数n的值为12.2已知各项不为0的等差数列an满足a42a3a80，数列bn是等比数列，且b7a7，则b2b12等于()A1 B2C4 D8押题依据等差数列、等比数列的综合问题可反映知识运用的综合性和灵活性，是高考出题的重点答案C解析设等差数列an的公差为d，因为a42a3a80，所以a73d2a3(a7d)0，即a2a7，解得a70(舍去)或a72，所以b7a72.因为数列bn是等比数列，所以b2b12b4.3已知各项都为正数的等比数列an满足a7a62a5，存在两项am，an使得 4a1，则的最小值为()A. B.C. D.押题依据本题在数列、方程、不等式的交汇处命题，综合考查学生应用数学的能力，是高考命题的方向答案A解析由a7a62a5，得a1q6a1q52a1q4，整理有q2q20，解得q2或q1(与条件中等比数列的各项都为正数矛盾，舍去)，又由4a1，得aman16a，即a2mn216a，即有mn24，亦即mn6，那么(mn)()(5)(2 5)，当且仅当，mn6，即n2m4时取得最小值.4定义在(，0)(0，)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列an，f(an)仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”现有定义在(，0)(0，)上的如下函数：f(x)x2；f(x)2x；f(x)；f(x)ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为()A BC D押题依据先定义一个新数列，然后要求根据定义的条件推断这个新数列的一些性质或者判断一个数列是否属于这类数列的问题是近年来高考中逐渐兴起的一类问题，这类问题一般形式新颖，难度不大，常给人耳目一新的感觉答案C解析等比数列性质，anan2a，f(an)f(an2)aa(a)2f2(an1)；f(an)f(an2)f2(an1)；f(an)f(an2)ln|an|ln|an2|(ln|an1|)2f2(an1)故选C.A组专题通关1在等差数列an中，若a4a6a8a10a12120，则2a10a12的值为()A20 B22C24 D28答案C解析由a4a6a8a10a12(a4a12)(a6a10)a85a8120，解得a824，a8a122a10，2a10a12a824.2已知在等差数列an中，a1120，d4，若Snan (n2)，则n的最小值为()A60 B62C70 D72答案B解析由题意可知，Snna1d2n2122n，ana1(n1)d1244n，由Snan得2n2126n124，解得n1或n62，又n2，n62，故选B.3在等比数列an中，a14，公比为q，前n项和为Sn，若数列Sn2也是等比数列，则q等于()A2 B2C3 D3答案C解析由题意可得q1，由数列Sn2是等比数列，可得S12，S22，S32成等比数列，所以(S22)2(S12)(S32)，所以(64q)224(1qq2)12，q3(q0舍去)故选C.4(2016四川)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)()A2018年 B2019年C2020年 D2021年答案B解析设x年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，130(112%)x200，解得xlog1.123.80，因资金需超过200万，则x取4，即2019年故选B.5函数f(x)若数列an满足anf(n) (nN*)，且an是递增数列，则实数a的取值范围是()A. B.C(2,3) D(1,3)答案C解析因为anf(n) (nN*)，an是递增数列，所以函数f(x)为增函数需满足三个条件解不等式组得实数a的取值范围是(2,3)，故选C.6若数列n(n4)n中的最大项是第k项，则k_.答案4解析设最大项为第k项，则有故k4.7数列an中，a12，a23，an (nN*，n3)，则a2 017_.答案2解析因为a12，a23，所以a3，a4，a5，a6，a72，a83，所以数列an是以6为周期的周期数列，所以a2 017a33661a12.8已知数列an的首项为a12，且an1(a1a2an) (nN*)，记Sn为数列an的前n项和，则Sn_，an_.答案2n1解析由an1(a1a2an) (nN*)，可得an1Sn，所以Sn1SnSn，即Sn1Sn，由此可知数列Sn是一个等比数列，其中首项S1a12，公比为，所以Sn2n1，由此得an9已知数列an是等比数列，并且a1，a21，a3是公差为3的等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设bna2n，记Sn为数列bn的前n项和，证明：Sn.(1)解设等比数列an的公比为q，因为a1，a21，a3是公差为3的等差数列，所以即解得a18，q.所以ana1qn18()n124n.(2)证明因为，所以数列bn是以b1a24为首项，为公比的等比数列所以Sn1()n.10(2015四川)设数列an(n1,2,3，)的前n项和Sn满足Sn2ana1，且a1，a21，a3成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)记数列的前n项和为Tn，求使得|Tn1|成立的n的最小值解(1)由已知Sn2ana1，有anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2)，从而a22a1，a32a24a1.又因为a1，a21，a3成等差数列，即a1a32(a21)，所以a14a12(2a11)，解得a12，所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列，故an2n.(2)由(1)可得，所以Tn1.由|Tn1|，得，即2n1 000，因为295121 0001 024210，所以n10，于是，使|Tn1|成立的n的最小值为10.B组能力提高11已知an是等差数列，Sn为其前n项和，若S21S4 000，O为坐标原点，点P(1，an)，Q(2 011，a2 011)，则等于()A2 011 B2 011 C0 D1答案A解析由S21S4 000得a22a23a4 0000，由于a22a4 000a23a3 9992a2 011，所以a22a23a4 0003 979a2 0110，从而a2 0110，而2 011a2 011an2 011.12若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则ln a1ln a2ln a20_.答案50解析数列an为等比数列，且a10a11a9a122e5，a10a11a9a122a10a112e5，a10a11e5，ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a10a11)10ln(e5)10ln e5050.13已知数列an，bn满足a1，anbn1，bn1 (nN*)，则b2 015_.答案解析anbn1，且bn1，bn1，a1，且a1b11，b1，bn1，1.又b1，2.数列是以2为首项，1为公差的等差数列，n1，bn.则b2 015.14已知数列an的前n项和为Sn，且(a1)Sna(an1)(a0)(nN*)(1)求证数列an是等比数列，并求其通项公式；(2)已知集合Ax|x2a(a1)x，问是否存在实数a，使得对于任意的nN*，都有SnA？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由解(1)当n1时，(a1)S1a(a11)，a1a(a0)当n2时，由(a1)Sna(an1)，得(a1)Sn1a(an11)，得(a1)ana(anan1)，整理得a(n2)，故an是首项为a，公比为a的等比数列，anan.(2)当a1时，A1，Snn，只有n1时，SnA，a1不符合题意当a1时，Ax|1xa，S2aa2，S2A.即当a1时，不存在满足条件的实数a.当0a1时，Ax|ax1而Snaa2an(1an)a，)，因此对任意的nN*，要使SnA，只需解得0a.综上得实数a的取值范围是(0，
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