高考大题分层练 8 解析几何、函数与导数(D组) 理 新人教版

高考大题分层练 8.解析几何、函数与导数(D组)大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！1.设椭圆C：+=1(ab0)，定义椭圆C的“相关圆”方程为x2+y2=，若抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.(1)求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程.(2)过“相关圆”E上任意一点P作“相关圆”E的切线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点.证明AOB为定值.【解析】(1)因为若抛物线y2=4x的焦点为(1，0)与椭圆C的一个焦点重合，所以c=1，又因为椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以b=c=1，故椭圆C的方程为+y2=1，“相关圆”E的方程为x2+y2=.(2)当直线l的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为x=，则A，B，所以AOB=.当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组得x2+2(kx+m)2=2，即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0，=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=8(2k2-m2+1)0，即2k2-m2+10(*)，因为直线与相关圆相切，所以d=，所以3m2=2+2k2，所以x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=-+m2=0，所以OAOB，所以AOB=为定值.2.已知函数f(x)=x-1-a(x-1)2-lnx(aR).(1)当a=0时，求函数f(x)的单调区间.(2)若存在k(1，2)，使得当x(0，k时，f(x)的值域是f(k)，+)，求a的取值范围.(注：自然对数的底数e=2.71828)【解析】(1)f(x)的定义域为(0，+)当a=0时，f(x)=1-=.由f(x)0，解得0x0，解得x1.所以，函数f(x)的增区间为(1，+)，减区间为(0，1).(2)f(x)=1-2a(x-1)-=-=-.当a0时，0.当0x1时，f(x)1时，f(x)0，f(x)在(1，+)上为增函数.所以，当x(0，k(1k2)时，f(x)min=f(1)=00时，f(x)=-.(i)当时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下：x1(1，+)f(x)-0+0-f(x)减函数极小值增函数极大值减函数若满足题意，只需满足ff(2)，即-1-a-ln1-a-ln2.整理得+ln2a+ln2-10.令F(a)=+ln2a+ln2-1，当a时，F(a)=-=0，所以F(a)在上为增函数，所以，当a时，F(a)F=ln2-ln-=0.可见，当a时，ff(2)恒成立.故若a，当x(0，k(1k满足题意.()当=1，即a=时，f(x)=-0，当且仅当x=1时取等号.所以f(x)在(0，+)上为减函数.从而f(x)在(0，k上为减函数.符合题意.()当1，即0a时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，1)1f(x)-0+0-f(x)减函数极小值增函数极大值减函数若满足题意，只需满足f(2)f(1)，且1-ln2，且a.又1-ln2，所以a1-ln2.此时，1-ln2a1-ln2.所以实数a的取值范围是(1-ln2，+).