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河北武邑中学2016-2017学年上学期高二第二次月考数学（理科）试题 注意事项：1. 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。2. 答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”的规定答题；3. 选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上做答无效.第I卷（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上。1已知a、b、c为三条不重合的直线，下面有三个结论：若ab，ac，则bc；若ab，ac则bc；若ab，bc，则ac. 其中正确的个数为()A0个B1个 C2个 D3个2 已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上若AB3，AC4，ABAC，AA112.则球O的半径为()A. B2 C. D33下列命题中错误的是()A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么直线l平面D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面4 如图所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么mn()A8 B9 C10 D115 一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()6在空间中，过点A作平面的垂线，垂足为B，记Bf(A)设，是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1ff(P)，Q2ff(P)，恒有PQ1PQ2，则()A平面与平面垂直B平面与平面所成的(锐)二面角为45C平面与平面平行D平面与平面所成的(锐)二面角为607棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱AA1、DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为()A. B1 C1 D.8 已知m，n为异面直线，m平面，n平面，直线l满足lm，ln，l，l，则()A且l B且lC与相交，且交线垂直于l D与相交，且交线平行于l9已知直线m，n和平面，则mn的一个必要非充分条件是()Am且n Bm且nCm且n Dm，n与成等角10.如图所示，在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是()A平面ABD平面ABC B平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDC D平面ADC平面ABC11如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧面A1ABB1BC，且A1C与底面成45角，ABBC2，则该棱柱体积的最小值为A4B3 C4 D312已知四棱锥SABCD的底面是中心为O的正方形，且SO底面ABCD，SA2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为()A1 B. C2 D3二、填空题13已知直线l平面，直线m平面，给出下列命题：lm；lm；lm；lm.其中正确命题的序号是_14. 如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD平面ABE，已知AB2，AEBE，且当规定主(正)视图方向垂直平面ABCD时，该几何体的左(侧)视图的面积为.若M、N分别是线段DE、CE上的动点，则AMMNNB的最小值为_15 若某几何体的三视图(单位：cm)如图13所示，则此几何体的体积等于_cm3.16正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是_三、解答题17 如图，四棱锥PABCD中，ABCBAD90，BC2AD，PAB和PAD都是等边三角形(1)证明：PBCD；(2)求二面角APDC的大小 18如图14所示，在四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2 ，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ3QC.(1)证明：PQ平面BCD.(2)若二面角CBMD的大小为60，求BDC的大小19 如图16所示，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，ABDC，AA11，AB3k，AD4k，BC5k，DC6k(k0)(1)求证：CD平面ADD1A1；(2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值；(3)现将与四棱柱ABCDA1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱规定：若拼接成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案问：共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f(k)，写出f(k)的解析式(直接写出答案，不必说明理由)20(2011北京)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2，BAD60.(1)求证：BD平面PAC；(2)若PAAB，求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长21在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ACB90，EA平面ABCD，EFAB，FGBC，EGAC，AB2EF.(1)若M是线段AD的中点，求证：GM平面ABFE； (2)若ACBC2AE，求二面角ABFC的大小22如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点(1)求证：AF平面BCE； (2)求证：平面BCE平面CDE；(3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值数学第二次月考答案1-5 BCDAA 6-10 ADDDD 11-12 CC13 142415. 16. 3017解：(1)取BC的中点E，联结DE，则四边形ABED为正方形过P作PO平面ABCD，垂足为O.联结OA，OB，OD，OE.由PAB和PAD都是等边三角形知PAPBPD，所以OAOBOD，即点O为正方形ABED对角线的交点，故OEBD，从而PBOE.因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OECD.因此PBCD.(2)解法一：由(1)知CDPB，CDPO，PBPOP，故CD平面PBD.又PD平面PBD，所以CDPD.取PD的中点F，PC的中点G，连FG.则FGCD，FGPD.联结AF，由APD为等边三角形可得AFPD.所以AFG为二面角APDC的平面角联结AG，EG，则EGPB.又PBAE，所以EGAE.设AB2，则AE2 ，EGPB1，故AG3，在AFG中，FGCD，AF，AG3.所以cosAFG.因此二面角APDC的大小为arccos.解法二：由(1)知，OE，OB，OP两两垂直以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设|2，则A(，0，0)，D(0，0)，C(2 ，0)，P(0，0，)，(2 ，)，(0，)，(，0，)，(，0)设平面PCD的法向量为n1(x，y，z)，则n1(x，y，z)(2 ，)0，n1(x，y，z)(0，)0，可得2xyz0，yz0.取y1，得x0，z1，故n1(0，1，1)设平面PAD的法向量为n2(m，p，q)，则n2(m，p，q)(，0，)0，n2(m，p，q)(，0)0，可得mq0，mp0.取m1，得p1，q1，故n2(1，1，1)于是cosn1，n2.由于n1，n2等于二面角APDC的平面角，所以二面角APDC的大小为arccos.18解：方法一：(1)证明：取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF3FC.联结OP，OF，FQ.因为AQ3QC，所以QFAD，且QFAD.因为O，P分别为BD，BM的中点，所以OP是BDM的中位线，所以OPDM，且OPDM.又点M为AD的中点，所以OPAD，且OPAD.从而OPFQ，且OPFQ，所以四边形OPQF为平行四边形，故PQOF.又PQ平面BCD，OF平面BCD，所以PQ平面BCD.(2)作CGBD于点G，作GHBM于点H，联结CH.因为AD平面BCD，CG平面BCD，所以ADCG.又CGBD，ADBDD，故CG平面ABD，又BM平面ABD，所以CGBM.又GHBM，CGGHG，故BM平面CGH，所以CHBM.所以CHG为二面角CBMD的平面角，即CHG60.设BDC，在RtBCD中，CDBDcos 2 cos ，CGCDsin 2 cos sin ，BGBCsin 2 sin2，在RtBDM中，HG.在RtCHG中，tanCHG.所以tan ，从而60，即BDC60.方法二：(1)证明：如图所示，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知A(0，2)，B(0，0)，D(0，0)设点C的坐标为(x0，y0，0)，因为3，所以Qx0，y0，.因为M为AD的中点，故M(0，1)又P为BM的中点，故P0，0，.所以x0，y0，0.又平面BCD的一个法向量为n(0，0，1)，故n0.又PQ平面BCD，所以PQ平面BCD.(2)设m(x，y，z)为平面BMC的一个法向量由(x0，y0，1)，(0，2 ，1)，知取y1，得m，1，2 .又平面BDM的一个法向量为n(1，0，0)，于是|cosm，n|，即23.又BCCD，所以0，故(x0，y0，0)(x0，y0，0)0，即xy2.联立，解得(舍去)或所以tanBDC.又BDC是锐角，所以BDC60.19解：(1)证明：取CD的中点E，联结BE.ABDE，ABDE3k，四边形ABED为平行四边形，BEAD且BEAD4k.在BCE中，BE4k，CE3k，BC5k，BE2CE2BC2，BEC90，即BECD，又BEAD，所以CDAD.AA1平面ABCD，CD平面ABCD，AA1CD.又AA1ADA，CD平面ADD1A1.(2)以D为原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4k，0，0)，C(0，6k，0)，B1(4k，3k，1)，A1(4k，0，1)，所以(4k，6k，0)，(0，3k，1)，(0，0，1)设平面AB1C的法向量n(x，y，z)，则由得取y2，得n(3，2，6k)设AA1与平面AB1C所成角为，则sin |cos，n|，解得k1，故所求k的值为1.(3)共有4种不同的拼接方案f(k)(1)证明C是底面圆周上异于A，B的任意一点，且AB是圆柱底面圆的直径，BCAC.AA1平面ABC，BC平面ABC，AA1BC.(4分)AA1ACA，AA1平面AA1C，AC平面AA1C，BC平面AA1C.(5分)(2)解设ACx，在RtABC中，BC (0x2)，(7分)故VA1ABCSABCAA1ACBCAA1x (0x2)，(9分)即VA1ABCx.0x2,0x24，当x22，即x时，三棱锥A1ABC的体积最大，最大值为. (12分)21解析 (1)证明法一因为EFAB，FGBC，EGAC，ACB90，所以EGF90，ABCEFG.由于AB2EF，因此BC2FG.连接AF，由于FGBC，FGBC，在ABCD中，M是线段AD的中点，则AMBC，且AMBC，因此FGAM且FGAM，所以四边形AFGM为平行四边形，因此GMFA.又FA平面ABFE，GM平面ABFE，所以GM平面ABFE.法二因为EFAB，FGBC，EGAC，ACB90，所以EGF90，ABCEFG，由于AB2EF，所以BC2FG.取BC的中点N，连接GN，因此四边形BNGF为平行四边形，所以GNFB.在ABCD中，M是线段AD的中点，连接MN，则MNAB.因为MNGNN，ABFBB，所以平面GMN平面ABFE.又GM平面GMN，所以GM平面ABFE.(2)法一因为ACB90，所以CAD90，又EA平面ABCD，所以AC，AD，AE两两垂直分别以AC，AD，AE所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设ACBC2AE2，则由题意得A(0,0,0)，B(2，2,0)，C(2,0,0)，E(0,0,1)，所以(2，2,0)，(0,2,0)又EFAB，所以F(1，1,1)，(1,1,1)设平面BFC的法向量为m(x1，y1，z1)，则m0，m0，所以取z11，得x11，所以m(1,0,1)设平面ABF的法向量为n(x2，y2，z2)，则n0，n0，所以取y21，得x21，则n(1,1,0)，所以cosm，n.因此二面角ABFC的大小为60.法二由题意知，平面ABFE平面ABCD，取AB的中点H，连接CH，因为ACBC，所以CHAB，则CH平面ABFE.过H向BF引垂线交BF于R，连接CR，则CRBF，所以HRC为二面角ABFC的平面角由题意，不妨设ACBC2AE2.在直角梯形ABFE中，连接FH，则FHAB，又AB2，所以HFAE1，BH，因此在RtBHF中，HR.由于CHAB，所以在RtCHR中，tanHRC，因此二面角ABFC的大小为60.22 解析 方法一：(1)证法一：取CE的中点G，连接FG、BG.F为CD的中点，GFDE且GFDE，AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE，GFAB.又ABDE，GFAB.又DE2AB，四边形GFAB为平行四边形，则AFBG.AF平面BCE，BG平面BCE，AF平面BCE.证法二：取DE的中点M，连接AM、FM，F为CD的中点，FMCE.AB平面ACD，DE平面ACD，DEAB.又ABDEME，四边形ABEM为平行四边形，则AMBE.FM、AM平面BCE，CE、BE平面BCE，FM平面BCE，AM平面BCE.又FMAMM，平面AFM平面BCE.AF平面AFM，AF平面BCE.(2)证明：ACD为等边三角形，F为CD的中点，AFCD.DE平面ACD，AF平面ACD，DEAF.又CDDED，故AF平面CDE.BGAF，BG平面CDE.BG平面BCE，平面BCE平面CDE.(3)在平面CDE内，过F作FHCE于H，连接BH，平面BCE平面CDE，FH平面BCE.FBH为BF和平面BCE所成的角设ADDE2AB2a，则FHCFsin45a，BF2a，在RtFHB中，sinFBH.直线BF和平面BCE所成角的正弦值为.方法二：设ADDE2AB2a，建立如图所示的坐标系Axyz，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)F为CD的中点，F.(1)证明：，(a，a，a)，(2a,0，a)，()，AF平面BCE，AF平面BCE.(2)证明：，(a，a,0)，(0,0，2a)，0，0，.平面CDE，又AF平面BCE，平面BCE平面CDE.(3)设平面BCE的法向量为n(x，y，z)，由n0，n0可得xyz0,2xz0，取n(1，2)又，设BF和平面BCE所成的角为，则sin.直线BF和平面BCE所成角的正弦值为.
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