高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 导数实际生活中的应用习题 苏教版选修2-2

【创新设计】2016-2017学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 导数实际生活中的应用习题 苏教版选修2-2明目标、知重点1了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题1生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题2利用导数解决优化问题的实质是求函数最值3解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.情境导学生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题？这些问题通常称为优化问题通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题探究点一面积、体积的最值问题思考如何利用导数解决生活中的优化问题？答(1)函数建模，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式yf(x)(2)确定定义域，一定要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围(3)求最值，此处尽量使用导数法求出函数的最值(4)下结论，回扣题目，给出圆满的答案例 1 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？解设版心的高为x dm，则版心的宽为 dm，此时四周空白面积为S(x)(x4)1282x8，x0.求导数，得S(x)2.令S(x)20，解得x16(x16舍去)于是宽为8.当x(0,16)时，S(x)0.因此，x16使函数S(x)取得极小值，也是最小值所以，当版心高为16 dm，宽为8 dm时，能使海报四周空白面积最小答当版心高为16 dm，宽为8 dm时，海报四周空白面积最小反思与感悟(1)在求最值时，往往建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的(2)在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域跟踪训练1如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为_答案32米，16米解析要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为x米，则长为米，新墙壁总长度L2x(x0)，则L2.令L0，得x16.x0，x16.当x16时，Lmin64，此时堆料场的长为32(米)探究点二利润最大问题例 2某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料瓶子的制造成本是0.8r2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.则瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？解由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是yf(r)0.2r30.8r20.8，0r6.令f(r)0.8(r22r)0.当r2时，f(r)0.当r(0,2)时，f(r)0.因此，当半径r2时，f(r)0，它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；半径r2时，f(r)0，它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低所以，半径为6 cm时，利润最大半径为2 cm时，利润最小，这时f(2)0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有(1)利润收入成本；(2)利润每件产品的利润销售件数跟踪训练2某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解(1)因为x5时，y11，所以1011，所以a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)10(x6)2210(x3)(x6)2,3x6.从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当x变化时，f(x)和f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x4使函数f(x)在区间(3,6)内取得极大值，也是最大值所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值为42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大探究点三费用(用材)最省问题例 3已知A、B两地相距200 km，一只船从A地逆水行驶到B地，水速为8 km/h，船在静水中的速度为v km/h(80)，则y1kv2，当v12时，y1720，720k122，得k5.设全程燃料费为y，由题意，得yy1，y.令y0，得v16，当v016，即v16 km/h时全程燃料费最省，ymin32 000(元)；当v016，即v(8，v0时，y0，即y在(8，v0上为减函数，当vv0时，ymin(元)综上，当v016时，v16 km/h全程燃料费最省，为32 000元；当v016，即vv0时全程燃料费最省，为元反思与感悟本题在解题过程中容易忽视定义域，误以为v16时取得最小值本题的关键是弄清极值点是否在定义域范围内跟踪训练3现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？解(1)依题意得y(9600.6x2)300x，且由题意知，函数的定义域为(0,35，即y300x(0x35)(2)由(1)知，y300，令y0，解得x40或x40(舍去)因为函数的定义域为(0,35，所以函数在定义域内没有极值点又当0x35时，y0)已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去设存款利率为x，x(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为_答案0.032 4解析依题意，存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x(0,0.048 6)所以银行的收益是y0.048 6kx2kx3(0x0.048 6)，则y0.097 2kx3kx2.令y0，得x0.032 4或x0(舍去)当0x0；当0.032 4x0.048 6时，y0)S(x34V)令S0，得x.4统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为yx3x8(0x120)已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)x2(0x120)，h(x)(0x120)令h(x)0，得x80.因为x(0,80)时，h(x)0，h(x)是增函数，所以当x80时，h(x)取得极小值h(80)11.25(升)因为h(x)在(0,120上只有一个极小值，所以它是最小值答汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升呈重点、现规律正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确给出函数表达式；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.一、基础过关1炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：)为f(x)x3x28(0x5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是_答案1解析原油温度的瞬时变化率为f(x)x22x(x1)21(0x5)，所以当x1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值1.2从边长为10 cm16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为_ cm3.答案144解析设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm.则y(102x)(162x)x (0x0，r可以使V取得极大值，也是最大值当r时，V取得最大值，最大值为3.4用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为_ cm3.答案128 000解析设水箱底边长为x cm(0x20，y25.两栏面积之和为2(x20)18 000，由此得y25.广告的面积Sxyx(25)25x.S2525.令S0得x140，令S0得20x0)，每月库存货物的运费y2k2x(k20)，其中x是仓库到车站的距离，于是由2，得k120；由810k2，得k2.因此两项费用之和为y，y.令y0，得x5(x5舍去)，可使y取得最小值故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小9做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27，且用料最省，则圆柱的底面半径为_答案3解析设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则VR2L27，L，要使用料最省，只须使圆柱表面积最小，由题意，得S表R22RLR22，S(R)2R0，R3，则当R3时，S表最小10.为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为a米，高为b米已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a_，b_时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)答案63解析设y为流出的水中杂质的质量分数，则y，其中k(k0)为比例系数依题意，即所求的a，b值使y值最小，根据题设，4b2ab2a60(a0，b0)得b(0a30)于是y.令y0，得a6或a10(舍去)本题只有一个极值，此极值即为最值当a6时，b3，即当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小11某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解(1)设需新建n个桥墩，则(n1)xm，即n1.所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xm2m256.(2)由(1)知，f(x)mx(x512)令f(x)0，得x512，所以x64.当0x64时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64x0，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x64处取得最小值此时n119.故需新建9个桥墩才能使y最小12.一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？解设速度为x km/h，甲、乙两城距离为a km.则总费用f(x)(kx3200)a(kx2)由已知条件，得40k203，k，f(x)a(x2)令f(x)0，得x10.当0x10时，f(x)0；当10x0.当x10时，f(x)有最小值，即速度为10 km/h时，总费用最少答火车以103 km/h的速度行驶，才能使从甲城开往乙城的总费用最少三、探究与拓展13.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c3)千元设该容器的建造费用为y千元(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.解(1)设容器的容积为V，由题意知Vr2lr3，又V，故lr(r)由于l2r，因此0r2.所以建造费用y2rl34r2c2r(r)34r2c，因此y4(c2)r2，0r2.(2)由(1)得y8(c2)r(r3)，03，所以c20.当r30时，r .令 m，则m0，所以y(rm)(r2rmm2)当0m时，令y0，得rm.当r(0，m)时，y0，所以rm使函数y取得极小值，也是最小值当m2，即3c时，当r(0,2时，y0，函数单调递减，所以r2使函数y取得最小值综上所述，当3时，建造费用最小时r .