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无穷级数,无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究性质,数值计算,数项级数,幂级数,傅里叶级数,第十一章,常数项级数的概念和性质,一、常数项级数的概念,二、无穷级数的基本性质,三、级数收敛的必要条件,第一节,一、常数项级数的概念,引例.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.,定义：,给定数列,将各项依次相加，,即,称上式为无穷级数，,其中第n项,叫做级数的一般项,简记为,级数的前n项和,称为级数的部分和.,收敛,则称无穷级数,称s为级数的和,记作,则称无穷级数发散.,为级数的余项.,显然,称差值,余项的绝对值称为误差.,例2.判别下列级数的敛散性:,拆项相消,例1.讨论下述等比级数,(又称几何级数)的敛散性:,例3.判断级数的敛散性:,发散.,放缩法,二、无穷级数的基本性质,性质1.若级数,收敛于s,则各项,乘以常数k所得级数,也收敛,说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.,即,其和为ks.,性质2.设有两个收敛级数,则级数,也收敛,其和为,性质4.,收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原级数,的和.,推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.,注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,性质3.,在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数,的敛散性.,三、级数收敛的必要条件,设收敛级数,则必有,推论:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.,注意:,并非级数收敛的充分条件.,例4.判断级数的敛散性:,发散.,性质5.,调和级数,例5.判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:,=3.,作业P2543(2)(3)4(1)(3)(5),
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