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3.2一次函数,中考数学(北京专用),1.(2015北京,9,3分)一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次,若购买会员年卡,可享受如下优惠:,例如,购买A类会员年卡,一年内游泳20次,消费50+2520=550元.若一年内在该游泳馆游泳的次数介于4555次之间,则最省钱的方式为()A.购买A类会员年卡B.购买B类会员年卡C.购买C类会员年卡D.不购买会员年卡,2014-2018年北京中考题组,五年中考,答案C设一年内在该游泳馆游泳x次,消费y元,则:(1)当不购买会员年卡时,y1=30 x;(2)当购买A类会员年卡时,y2=25x+50;(3)当购买B类会员年卡时,y3=20 x+200;(4)当购买C类会员年卡时,y4=15x+400.当x=45时,y1=1350,y2=1175,y3=1100,y4=1075,且y4最小;当x=55时,y1=1650,y2=1425,y3=1300,y4=1225,且y4最小.y1,y2,y3,y4均随x的增大而增大,当购买C类会员年卡时最省钱.,2.(2018北京,23,6分)在平面直角坐标系xOy中,函数y=(x0)的图象G经过点A(4,1),直线l:y=x+b与图象G交于点B,与y轴交于点C.(1)求k的值;(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象G在点A,B之间的部分与线段OA,OC,BC围成的区域(不含边界)为W.当b=-1时,直接写出区域W内的整点个数;若区域W内恰有4个整点,结合函数图象,求b的取值范围.,解析(1)由函数y=(x0)的图象过点A(4,1),得k=14=4.(2)整点个数为3.如图,若b0,当直线过点(1,2)时,b=,当直线过点(1,3)时,b=,b;若b0,当直线过点(4,0)时,b=-1,当直线过点(5,0)时,b=-,-b-1.综上,-b-1或0B.k0,b0D.k0,且y随x的增大而减小,则此函数的图象不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限,答案A由“y随x的增大而减小”可知k0,所以b0,a0,且公共点的坐标为(1,b),代入抛物线方程可得b=a+b+c,所以c=-a,所以一次函数为y=bx-a2,其图象过第一、三、四象限,故选B.,思路分析由抛物线与反比例函数的图象在第一象限有一个公共点可判断b0,a0,由公共点的横坐标为1可得公共点坐标为(1,b),代入抛物线方程可得a,c的关系,从而判断一次函数的图象.,解题关键通过公共点坐标(1,b)得出c=-a是解题的关键.,7.(2016内蒙古呼和浩特,7,3分)已知一次函数y=kx+b-x的图象与x轴的正半轴相交,且函数值y随自变量x的增大而增大,则k,b的取值情况为()A.k1,b1,b0C.k0,b0D.k0,b0,答案A根据题意得解得故选A.,8.(2015河北,14,2分)如图,直线l:y=-x-3与直线y=a(a为常数)的交点在第四象限,则a可能在()A.1a2B.-2a0C.-3a-2D.-10a-4,答案D直线y=-x-3与y轴的交点坐标为(0,-3),若直线y=a与直线y=-x-3的交点在第四象限,则a-3,故选D.,9.(2018云南昆明,5,3分)如图,点A的坐标为(4,2).将点A绕坐标原点O旋转90后,再向左平移1个单位长度得到点A,则过点A的正比例函数的解析式为.,答案y=-4x或y=-x,解析分情况讨论:当点A绕原点O顺时针旋转90时,旋转后得点A(2,-4),向左平移1个单位长度得点(1,-4),代入y=kx(k0)中,得k=-4,所以y=-4x;当点A绕原点O逆时针旋转90时,旋转后得点A(-2,4),向左平移1个单位长度得点(-3,4),代入y=kx(k0)中,得k=-,所以y=-x.所以过点A的正比例函数的解析式为y=-4x或y=-x.,思路分析点A绕坐标原点O旋转90,要分顺时针和逆时针两种情况分别求旋转后所得点的坐标,从而得平移后的点的坐标,再将平移后的点的坐标代入y=kx(k0)求解即可.,易错警示本题考查了点在平面直角坐标系内的旋转和平移、正比例函数解析式的求法,题中旋转未指出旋转方向,需分情况讨论,若考虑不全,则易造成错误,导致失分.,10.(2018安徽,13,5分)如图,正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象有一个交点A(2,m),ABx轴于点B.平移直线y=kx,使其经过点B,得到直线l,则直线l对应的函数表达式是.,答案y=x-3,解析将点A的坐标代入y=,可得m=3,将A(2,3)代入y=kx,可得k=,因为ABx轴,所以点B(2,0),由平移可得直线l对应的函数表达式为y=(x-2)=x-3.,思路分析先把点A的坐标代入y=得m的值,然后求k的值,由ABx轴得点B的坐标,从而由平移及直线l过点B得直线l对应的函数表达式.,11.(2017天津,16,3分)若正比例函数y=kx(k是常数,k0)的图象经过第二、第四象限,则k的值可以是(写出一个即可).,答案-1(答案不唯一,满足k0即可),解析正比例函数y=kx的图象经过第二、第四象限,k0,k可以是任何小于0的数,如-1等.,12.(2016天津,16,3分)若一次函数y=-2x+b(b为常数)的图象经过第二、三、四象限,则b的值可以是(写出一个即可).,答案-2(答案不唯一,满足b0即可),解析函数y=-2x+b(b为常数)的图象经过第二、三、四象限,b0.b的值可以是-2,答案不唯一.,13.(2014四川成都,13,4分)在平面直角坐标系中,已知一次函数y=2x+1的图象经过P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,若x1”“”或“=”),答案0,y随x的增大而增大,又x1x2,y12x+b的解集是.,答案x2x+b的解集是x20时,小明选择哪种付费方式更合算?并说明理由.,解析(1)200,5x+100,180,9x.(2)方式一:5x+100=270,解得x=34.方式二:9x=270,解得x=30.3430,小明选择方式一游泳次数比较多.(3)设方式一与方式二的总费用的差为y元.则y=(5x+100)-9x,即y=-4x+100.当y=0时,即-4x+100=0,得x=25.当x=25时,小明选择这两种方式一样合算.-40,小明选择方式二更合算;当x25时,y20时,把两种付费方式作差比较即可得结论.,方法规律本题考查一次函数的应用,根据题意写出两种付费方式的函数式,代入函数值即可求得自变量的值;比较两函数值的差,结合一次函数的性质,可以确定更合算的付费方式.,7.(2018四川成都,26,8分)为了美化环境,建设宜居成都,我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉.经市场调查,甲种花卉的种植费用y(元)与种植面积x(m2)之间的函数关系如图所示,乙种花卉的种植费用为每平方米100元.(1)直接写出当0x300和x300时,y与x的函数关系式;(2)广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1200m2,若甲种花卉的种植面积不少于200m2,且不超过乙种花卉种植面积的2倍,那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少?最少总费用为多少元?,解析(1)当0x300时,y=130 x;当x300时,y=80 x+15000.(2)甲种花卉的种植面积为xm2,则乙种花卉的种植面积为(1200-x)m2,200x800.设甲、乙两种花卉的种植总费用为w元.当200x300时,w=130 x+100(1200-x)=30 x+120000.当x=200时,wmin=126000;当3000,函数图象与y轴的交点为(0,1),所以图象经过第一、二、三象限.故选A.,2.(2018北京西城一模,14)在平面直角坐标系xOy中,如果当x0时,函数y=kx-1(k0)图象上的点都在直线y=-1上方,请写出一个符合条件的函数y=kx-1(k0)的表达式:.,答案y=x-1(答案不唯一),解析函数y=kx-1经过(0,-1),由题意可知只要图象从左到右上升,即k0即可.,3.(2018北京怀柔一模,22)在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k0)的图象与y轴交于点B(0,1),与反比例函数y=(m0)的图象交于点A(3,-2).(1)求反比例函数的表达式和一次函数的表达式;(2)若点C是y轴上一点,且BC=BA,直接写出点C的坐标.,解析(1)曲线y=(m0)过点A(3,-2),将A(3,-2)代入y=(m0),得-2=,解得m=-6.所求反比例函数的表达式为y=-.点A(3,-2),B(0,1)在直线y=kx+b(k0)上,所求一次函数的表达式为y=-x+1.(2)C点坐标为(0,3+1)或(0,1-3).提示:以点B为圆心,BA为半径画圆,与y轴有两个交点,又BA=3,所以点C的坐标为(0,3+1)或C(0,1-3).,4.(2017北京朝阳一模,22)在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+b与双曲线y=的一个交点为A(m,2),与y轴交于点B.(1)求m和b的值;(2)若点C在y轴上,且ABC的面积是2,请直接写出点C的坐标.,解析(1)点A(m,2)在双曲线y=上,m=2.点A(2,2)在直线y=x+b上,b=1.(2)(0,3),(0,-1).,5.(2017北京房山一模,27(1)在平面直角坐标系xOy中,直线y=2x-3与y轴交于点A,点A与点B关于x轴对称,过点B作y轴的垂线l,直线l与直线y=2x-3交于点C.求点C的坐标.,解析易知直线y=2x-3与y轴交于点A(0,-3),点A关于x轴的对称点为B(0,3),直线l为y=3,直线y=2x-3与直线l交于点C,点C的坐标为(3,3).,6.(2016北京东城一模,23)在平面直角坐标系xOy中,直线y=k1x+b与x轴交于点B,与y轴交于点C,与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A(3,1),连接OA.(1)求反比例函数y=的解析式;(2)若SAOBSBOC=12,求直线y=k1x+b的解析式.,解析(1)由题意可知1=.k2=3.反比例函数的解析式为y=.(2)由题意知符合题意的有两种情况:直线y=k1x+b经过第一、三、四象限.SAOBSBOC=12,点A(3,1),点C的坐标为(0,-2).所求直线的解析式为y=x-2.直线y=k1x+b经过第一、二、四象限.由题意可求出点C的坐标为(0,2).所求直线的解析式为y=-x+2.,考点二一次函数的应用,1.(2016北京西城二模,9)某商店在节日期间开展优惠促销活动:购买原价超过200元的商品,200元的部分可以享受打折优惠.若购买商品的实际付款金额y(单位:元)与商品原价x(单位:元)的函数关系的图象如图所示,则200元的部分可以享受的优惠是()A.打八折B.打七折C.打六折D.打五折,答案B利用题中图象提供的数据可得,(410-200)(500-200)=0.7,所以超过200元的部分可以享受的优惠是打七折.,2.(2016北京丰台一模,14)某市政府为了增强城镇居民抵御大病风险的能力,积极完善城镇居民医疗保险制度,纳入医疗保险的居民大病住院医疗费用的报销比例标准如下表:,设享受医保的某居民一年的大病住院医疗费用为x元,按上述标准报销的金额为y元.请写出8000,又与y轴交于点(0,-1),则b=-1.答案不唯一,只要满足k0且b=-1即可.,三、解答题(共45分),6.(2018北京东城一模,22)已知函数y=(x0)的图象与一次函数y=ax-2(a0)的图象交于点A(3,m).(1)求实数a的值;(2)设一次函数y=ax-2(a0)的图象与y轴交于点B.若点C在y轴上,且SABC=2SAOB,求点C的坐标.,解析(1)点A(3,m)在函数y=(x0)的图象上,m=1,点A(3,1).直线y=ax-2(a0)过点A(3,1),3a-2=1,解得a=1.(2)由(1)知一次函数为y=x-2,易求得B(0,-2).SAOB=OB|xA|,SABC=BC|xA|,且SABC=2SAOB,BC=2OB=4.C点坐标为(0,2)或(0,-6).,思路分析本题第二问需要借助三角形的面积关系寻找底边的关系.,解题关键解决本题的关键是通过表示面积发现底边的关系,同时在图形位置不确定的时候要分类讨论.,7.(2018北京丰台一模,22)在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+b的图象的交点分别为P(m,2),Q(-2,n).(1)求一次函数的表达式;(2)过点Q作平行于y轴的直线,点M为此直线上的一点,当MQ=PQ时,直接写出点M的坐标.,解析(1)反比例函数y=的图象经过点P(m,2),Q(-2,n),m=1,n=-1.点P,Q的坐标分别为(1,2),(-2,-1).一次函数y=kx+b的图象经过点P(1,2),Q(-2,-1),解得一次函数的表达式为y=x+1.(2)点M的坐标为(-2,-1+3)或(-2,-1-3).提示:因为P,Q两点的坐标分别为(1,2),(-2,-1),所以PQ=3,又因为MQ=PQ,所以MQ=3,且点M的横坐标为-2,所以点M的坐标为(-2,-1+3)或(-2,-1-3).,8.(2018北京延庆一模,22)在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+b(k0)与x轴交于点A,与y轴交于点B,与反比例函数y=(m0)的图象在第一象限交于点P(1,3),连接OP.(1)求反比例函数y=(m0)的表达式;(2)若AOB的面积是POB的面积的2倍,求直线y=kx+b(k0)的表达式.,解析(1)y=(m0)的图象经过点P(1,3),3=,m=3,即y=.(2)如图,作PEOB于E,则PE=1.SAOB=2SPOB,OA=2PE=2,A(2,0),将A(2,0),P(1,3)代入y=kx+b(k0),可得直线AB的表达式为y=-3x+6.,图同理,如图,直线AB的表达式为y=x+2.,图综上,直线AB的表达式为y=-3x+6或y=x+2.,9.(2018北京西城二模,23)如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y=(x0)的图象经过点A(-4,n),ABx轴于点B,点C与点A关于原点O对称,CDx轴于点D,ABD的面积为8.(1)求m,n的值;(2)若直线y=kx+b经过点C,且与x轴,y轴的交点分别为点E,F,当CF=2CE时,求点F的坐标.,解析(1)点A的坐标为A(-4,n),点C与点A关于原点O对称,点C的坐标为C(4,-n).ABx轴于点B,CDx轴于点D,B,D两点的坐标分别为(-4,0),(4,0).ABD的面积为8,且SABD=ABBD=(-n)8=-4n,-4n=8,解得n=-2.函数y=(xk2x+2恒成立,请写出一个满足题意的k2的值.,解析(1)直线l1:y=k1x+b过A(0,-3),B(5,2),直线l1的表达式为y=x-3.(2)答案不唯一,满足k2-即可.,11.(2017北京西城一模,22)在平面直角坐标系xOy中,直线y=x-1与y轴交于点A,与双曲线y=交于点B(m,2).(1)求点B的坐标及k的值;(2)将直线AB平移,使它与x轴交于点C,与y轴交与点D.若ABC的面积为6,求直线CD的表达式.,解析(1)点B(m,2)在直线y=x-1上,m-1=2.解得m=3.B(3,2).又点B(3,2)在双曲线y=上,k=6.(2)设平移后的直线的表达式为y=x+b,则它与y轴交于点D(0,b).ABCD,SABD=SABC.SABD=ADxB=6.AD=4.b+1=4或-1-b=4.b=3或b=-5.,平移后的直线的表达式为y=x+3或y=x-5.,思路分析(1)由点在图象上求解.(2)可以先表示出点D的坐标,然后利用坐标表示面积,通过方程来解决.,解题关键解决本题的关键是要通过点D的坐标表示面积,由于点D的位置不确定,所以要分类讨论.,12.(2016北京西城一模,22)在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+1与x轴交于点A,且与双曲线y=的一个交点为B.(1)求点A的坐标和双曲线y=的表达式;(2)若BCy轴,且点C到直线y=x+1的距离为2,求点C的纵坐标.,解析(1)对于直线y=x+1,令y=0,得x=-,点A的坐标为.点B在直线y=x+1上,+1=m,解得m=3.点B在双曲线y=上,k=8.双曲线的表达式为y=.(2)当点C在直线AB的上方时,过点C作CDAB于点D,延长CB交x轴于点E,如图.,由(1)知OA=.BCy轴,CEx轴.BEA=90,OE=,BE=3.AE=AO+OE=4.在RtABE中,BE=3,AE=4,AB=5.sinABE=.,CDAB于点D,点C到直线AB的距离为2,CDB=90,CD=2.CBD=ABE,在RtCDB中,sinCBD=.CB=.CE=CB+BE=.点C的纵坐标为.当点C在直线AB下方时,如图,同理可求得CB=,则CE=BE-CB=.点C的纵坐标为.综上所述,点C的纵坐标为或.,难点剖析第(2)问中,求C的纵坐标可转化为求BC的长,由“距离”构造直角三角形,解直角三角形求解.,解题关键要充分理解距离的含义,同时在图形的位置不确定时要考虑分类讨论.,
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