例习题设计山东省青岛2中分校高峰.ppt

例习题设计山东省青岛2中分校高峰,教材：人民教育出版社B版教材课题：必修四3.1和角公式（第一课时-两角和与差的余弦）,一、教材分析,1、地位作用：在本章，学生将用向量方法推导两角和与差的余弦公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等变换，本节课的内容分三节，第一节是在学生学习了任意角的三角函数和平面向量的有关知识的基础上，进一步研究两角和差的三角函数与单角三角函数的关系，为导出其他公式铺平了道路。,一、教材分析,2、教学定位：重视学生在三角变换中的思维过程，重视这些过程中的思维活动和指导这些活动的思想方法是课程标准的基本理念之一，三角恒等变换既可以看成是一种三角函数的运算、也可以看成是一种演绎的论证方法，所以本节的教学体现了公理化方法和推理论证在教学研究中的作用，有助于学生体会数学运算的意义，领会运算推理在探索、发现数学结论以及建立数学体系中的作用，从而发展学生的运算能力和推理能力。,一、教材分析,3、学情分析：本章内容三角恒等变换公式较多，三角恒等变换主要侧重在变换，在学生解题时往往存在不知如何变换的问题，也就是学生不能掌握转化的数学思想。具体表现在学生不知道选用哪些公式来解题，特别是公式的逆用和变用。其次，余弦二倍角公式的变形以及降幂扩角公式应用也不够熟练等等。,二、目标定位,知识与技能目标：经历用向量的数量积推导出两角和与差的余弦公式的过程，进一步体会向量法的作用，并会灵活运用公式。过程与方法目标：培养学生逆向思维的意识和习惯；培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识；以及观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。,二、目标定位,情感态度与价值观目标：通过观察、对比体会公式的线形美，对称美；让学生体会到从发现问题、分析问题、到最后解决问题的乐趣，并培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。设计依据：建构主义理论认为，学生的能力培养不是单方面的知识教育，而应该是知识、能力、情感三维一体的一个完整体系，因此，在教学中设计三方面的目标要求。其中知识目标是近期目标，另两个目标是远期目标。,重点：,两角和与差的余弦公式的推导，使学生掌握公式的用法，提高学生分析解决问题能力。设计依据：由于两角和与差的余弦公式的推导和应用，对后几节内容能否掌握具有决定意义，在三角变换、三角恒等式的证明、三角函数式的化简求值等方面有着广泛的应用，因此是本节的一个重点。由于其推导方法的特殊性和推导过程的复杂性，所以也是一个难点。,难点：认识三角函数变换的特点，并能应用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力，达到灵活运用。,三、教学方法：,创设情境-引入课题探索尝试-启发引导-解决问题。,四、学法指导：,1、要求学生做好用角的余弦和正弦表示终边上点的坐标这些必要的知识准备。(体现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律。)2、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序；角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美。,五、教学过程,创设情境采用本章教材开头部分提到的观览车问题：能否由，的正弦和余弦值，求出cos（+），sin（+）？,3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式,3.1.1两角差的余弦公式,引入课题,引言：同学们，前面我们学习了任意角的三角函数，我们知道它也是一种运算。在以前的运算中有乘法对加法的分配律：a(b-c)=ab-ac，那么：cos（-）=cos-cos是否也成立呢？如果成立为什么？如果不成立，它又等于什么呢？这正是我们今天要研究的内容。板书课题：3.1.1两角和与差的余弦。,探究公式结构,思考1：“cos（-）=cos-cos是否成立”这个问题之前，让学生先讨论“cos（300-300）=cos300-cos300是否成立？”。得出cos（450+300）cos450+cos300。进而得出cos（+）cos+cos这个结论。此时再次提出那么cos（+）又等于什么呢？,思考2：我们设想cos()的值与，的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什么发现？,思考3：一般地，你猜想cos()等于什么？,cos()coscossinsin,思考4：根据coscossinsin的结构特征，你能联想到一个相关计算原理吗？思考5：如图，设角，的终边与单位圆的交点分别为P、Q，则向量、的坐标分别是什么？其数量积是什么？思考6：向量与的夹角与、有什么关系？根据数量积定义，等于什么？由此可得什么结论？,思考7：公式cos()coscossinsin称为差角的余弦公式，记作，该公式有什么特点？如何记忆？同名之积相加减，运算符号左右反。,思考8：能否用转化的思想，尝试推导cos(+)的公式？cos(+)=cos-(-)=coscos-sinsin,探究一：公式的正用,例1（保留）求cos105及cos15的值.分析：这道题属于给角求值问题本题的解题思路是将非特殊角转化成特殊角来求值，设计这道题的目的是培养学生转化的数学思想。设计意图:例1（保留）的作用一方面让学生熟练两角和与差的余弦公式，另一方面也向学生展示了公式的一种实际应用价值，即：将非特殊角转化为特殊角的和与差。,例2（保留）已知cos=，（，）求分析：这是给值求值问题，关键是观察角的关系设计意图:例2（保留）的目的在于熟悉公式，同时对同角三角函数关系有复习的作用，其难度不大，学生应当能够完成,例题添加,探究二：公式的逆用例3（新加）计算(1)cos15cos105sin15sin105；(2)sinxsin(xy)cosxcos(xy)；(3)cos(35)cos(25)sin(35)sin(25)设计意图:例3（新加）的目的在于体现转化的数学思想，培养学生逆向思维的能力,探究三：公式的变用,思考1：若已知和的三角函数值，如何求cos的值？coscos()cos()cossin()sin思考2：利用()可得cos等于什么？coscos()cos()cossin()sin.,例4（新加）已知cos()，cos()，且，.求cos2，cos2,例题添加,例4（新加）的目的在于体现两角差的余弦公式的变通，既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，如，2()()等.,例题修改意见：,教材的例3是运用公式推导学过的诱导公式，目的是使学生了解三角恒等式的证明方法不唯一，也是学生认识到诱导公式实际上是和角公式的特例。但加上证明题，易使本节课重点分散，建议放在练习中思考，或课下探究即可。,练习题的配备,教材P135页练习A第一题是学生对公式认识上的出错点-保留第二题是为推导两角和的正弦公式做准备的保留第三题运用公式推导学过的诱导公式，目的是使学生了解三角恒等式的证明方法不唯一保留并添加例3练习B第一题两角和的余弦公式的逆用，配合新例3保留第二题是公式正用，配合例2保留第三题是公式正用，配合例2保留第四题是公式的灵活应用，化简题型保留第四题是公式的灵活应用，证明题型保留,小结,本节课我们学习了下面两组公式，在公式的记忆上，我们应注意函数和符号的变化。1、两角和的余弦：2、两角差的余弦：（同名之积相加减，运算符号左右反。）cos（+）=coscos-sinsincos（-）=coscos+sinsin,课后反思：,第一，运用公式时，要注意公式成立的条件，熟练掌握公式的正用、逆用、变形用，还要注意做题技巧，掌握角的演变规律。第二，三角函数式的求值的类型一般可分为给角求值，给值求值，以及给值求角。,例题设计修改说明：,要注意的是灵活角的变形和公式的变形。重视角的范围对三角函数的影响。在教学中，教师应该使学生明白三角恒等变换与代数变换实际是一样的，都是一种数学运算，而三角恒等变换常常需要考虑各个角之间的关系，然后以这种关系为依据来选择适当的三角公式进行变换。教学中应引导学生以一般的数学变换思想为指导，加强对三角函数式特点的观察，在类比划归特殊化等思想方法上多做引导。通过本堂课的学习，学生也能基本掌握公式的用法，在今后遇到这四种题型也能够找到解决问题的突破口，从而使问题得到解决。通过本堂课的教学，很好的解决学生在应用时用什么以及怎么用公式的问题。,