电子测量02-电子通信.ppt

1,第二章误差理论与测量不确定度,2.1引言2.2随机误差及其统计处理2.3粗大误差的判别与处理2.4系统误差的判别与处理2.5误差的合成与分配2.6测量不确定度2.7测量数据处理,2,2.1引言,一、测量误差的定义及表示方法二、测量误差的分类三、测量结果的表征,3,测量误差：被测量的测量值与真值(或实际值)之间的差值。真值：被测量本身客观存在的值，真值是一个理想的概念。实际值：用更高等级的标准器具测量得到的值。,一、测量误差的定义及表示方法,4,绝对误差：其中：为测量值，为真值绝对误差等于测量值与真值(或实际值)之间的差值，绝对误差有量纲。,测量误差的表示方法,5,真值相对误差：实际相对误差：示值相对误差:满度相对误差：分贝误差：其中：为测量值，为真值，为实际值，为仪表的量程。相对误差没有量纲。,相对误差：,6,满度相对误差主要用于电工仪表，一般用S表示，电工仪表的准确度等级划分为7级:,电工仪表的准确度等级划分,7,二、测量误差的性质与分类,根据测量误差的性质和特点，测量误差通常被分为三大类:系统误差随机误差粗大误差,8,系统误差,在相同测量条件下，多次测量同一量时，测量误差的绝对值和符号都保持不变，或在测量条件改变时按一定规律变化的误差，称为系统误差。例如仪器的刻度误差和零位误差，或随温度变化的误差等。,定义：系统误差的定义：在重复性测量条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。即,9,系统误差产生的主要原因是仪器的制造、安装或使用方法不正确，环境因素（温度、湿度、电源等）影响，测量原理中使用近似计算公式，测量人员不良的读数习惯等。,系统误差产生原因,系统误差表明了一个测量结果偏离其真值或实际值的程度。系统误差越小，测量就越准确。,10,定义:,随机误差,随机误差的定量定义：测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差，即在相同测量条件下，多次重复测量同一量值时，其误差的绝对值和符号都以微小而不规则变化的误差，称为随机误差。,11,随机误差主要由对测量值影响微小但却互不相关的多种因素共同作用造成。这些因素主要包括噪声干扰、电磁场微变、零件的摩擦和配合间隙、热起伏、空气扰动、大地微震、测量人员感官的无规律变化等。,随机误差产生原因,虽然单次测量的随机误差没有规律，但多次测量的总体服从统计规律。所以，必须用统计学的方法分析和处理随机误差。,12,例：对一直流电压在相同情况下，多次测量得到1.235V，1.237V，1.234V，1.236V，1.235V，1.237V。求测量的随机误差。解：,13,粗大误差,定义：测量值显著偏离真值(或实际值)时的测量误差称为粗大误差。含有粗大误差的测量值称为坏值或异常值，在数据处理时，应剔除粗大误差,否则将对测量数据的准确度产生较大影响。,14,粗大误差产生原因,测量操作疏忽和失误如测错、读错、记错、实验条件未达到预定要求进行的实验等。测量方法不当或错误如用普通万用表电压档直接测高内阻电源的开路电压等。测量环境条件的突然变化如电源电压突然增高或降低，雷电干扰、机械冲击等引起测量仪器示值的剧烈变化等。,15,三、测量结果的表征,用正确度表示测量中系统误差的大小系统误差越小,则正确度越高，即测量值与实际值符合的程度越高。用精密度表示测量中随机误差的影响随机误差越小,则精密度越高。随机误差表示测量值分散的程度。用精确度或精度表示测量中两种误差的综合影响精确度越高，表示正确度和精密度都高,意味着系统误差和随机误差都小。,16,在任何一次测量中，系统误差、随机误差一般都是同时存在的。在剔除了粗大误差的情况下,各次测量值的绝对误差等于系统误差和随机误差的代数和：,17,误差示意图,正确度高精密度低,正确度低精密度高,正确度高精密度高即精确度高,18,测量值,是粗大误差,19,2.2随机误差及统计处理,一、随机误差的分布规律二、有限次测量的数学期望和标准偏差估计值三、测量结果的置信问题四、非等精度测量,20,在实际测量中，随机误差是不可避免的。随机误差是由大量微小的没有确定规律的因素引起的，比如外界条件（温度、湿度、气压、电源电压等）的微小波动，电磁场的干扰，大地轻微振动等。多次测量，测量数据或测量数据中的随机误差服从概率统计规律。可用统计学的方法处理测量数据，从而减少随机误差对测量结果的影响。,21,(1)随机变量的数字特征数学期望:反映其平均特性。其定义如下：设X为离散型随机变量：,一、随机误差的分布规律,22,方差和标准偏差方差描述随机变量与其数学期望的离散程度。设随机变量X的数学期望为E(X)，则X的方差定义为：标准偏差定义为：标准偏差同样描述随机变量与其数学期望的分散程度，并且与随机变量具有相同量纲。,23,标准偏差是代表测量数据和测量误差分布离散程度的特征数。标准偏差越小，则曲线形状越尖锐，说明数据越集中；标准偏差越大，则曲线形状越平坦，说明数据越分散。,24,测量中的随机误差通常是多种相互独立的因素造成的许多微小误差的总和。中心极限定理：设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量的和，其中每一个随机变量对于总和只起微小作用，则可认为这个随机变量服从正态分布。研究证明：绝大多数随机误差的分布规律都可以用正态分布来描述。,为什么测量数据和随机误差大多接近正态分布？,(2)测量误差的正态分布,25,正态分布的随机误差和测量数据的概率密度函数为：正态分布的随机误差的数学期望和方差为：,26,随机误差和测量数据的分布形状相同，因为它们的标准偏差相同，只是横坐标相差,随机误差具有：对称性单峰性有界性抵偿性,E(X),E(X),27,随机误差的主要特性：,有界性多次测量，随机误差的绝对值不会超过某一范围。对称性当测量次数足够多时，大小相等、符号相反的正负误差出现的概率相等。抵偿性当测量次数足够多时随机误差的算术平均值趋于零单峰性当测量次数足够多时，随机误差或受随机误差影响的测量数据呈正态分布。,28,常见的非正态分布有均匀分布、三角分布、反正弦分布等。均匀分布：仪器中的刻度盘回差、最小分辨力引起的误差等；“四舍五入”的截尾误差；当只能估计误差在某一范围内，而不知其分布时，一般也可假定为均匀分布。,29,二、有限次测量的数学期望和标准偏差估计值,求被测量的数字特征，理论上需无穷多次测量，但在实际测量中只能进行有限次测量，怎么办？,（1）有限次测量的数学期望的估计值算术平均值,被测量X的数学期望就是测量次数为n时,各次测量值的算术平均值,30,规定使用算术平均值作为数学期望的估计值，即：算术平均值是数学期望的无偏估计值、一致估计值和最大似然估计值。,有限次测量值的算术平均值比测量值更接近真值？,31,（2）有限次测量值的算术平均值的标准偏差,故：算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准偏差小倍。原因是随机误差具有对称性和抵偿性。,32,（3）有限次测量数据的标准偏差的估计值,标准偏差的估计值，由贝塞尔公式证明：其中：称为残差。算术平均值的标准偏差的估计值：,33,【例】用温度计重复测量某个不变的温度，得到11个测量值序列（见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差。,解：平均值用公式计算各测量值残差列于上表中偏差估计值标准偏差估计值,34,三、测量结果的置信度,（1）置信概率与置信区间：置信区间内包含真值的概率称为置信概率。置信限：k置信系数（或置信因子）,置信概率是图中阴影部分面积,35,（2）正态分布的置信概率,当分布和k值确定之后，则置信概率为正态分布,当k=3时,置信区间越宽，置信概率越大.,36,（3）t分布的置信度,t分布与测量次数有关。当n20以后，t分布趋于正态分布。正态分布是t分布的极限分布。当n很小时，t分布的中心值比较小，分散度较大，即对于相同的概率，t分布比正态分布有更大的置信区间。给定置信概率和测量次数n，查表得置信因子kt。,37,（4）非正态分布的置信因子,由于常见的非正态分布都是有限的，设其置信限为，即误差的置信区间为，置信概率为100。,例：均匀分布有故:,38,解：已求得因为是小样本，测量次数为11，应采用t分布，已知：查表得：故测量结果为：,例：求前例中温度的测量结果，要求置信概率取0.95,39,一、粗大误差产生原因以及消除的方法二、粗大误差的判别准则,2.3粗大误差的判别及处理,40,一、粗大误差产生原因以及消除的方法粗大误差的产生原因测量人员的主观原因：操作失误或错误记录；客观外界条件的原因：测量条件意外改变、受较大的电磁干扰，或测量仪器偶然失效等。防止和消除粗大误差的方法粗大误差出现的概率很小，列出可疑数据，分析是否是粗大误差，若是，则应将对应的测量值剔除。重要的是采取各种措施，防止产生粗大误差。,41,二、粗大误差的判别准则,统计学方法的基本思想：给定一个置信概率，确定相应的置信区间，凡超过置信区间的误差就认为是粗大误差，并予以剔除。莱特检验法：肖维纳检验法：格拉布斯检验法：,式中，ch和G值按重复测量次数n及置信概率Pc确定,42,格拉布斯准则,43,应注意的问题,粗大误差的各检验法都是人为主观拟定的，至今无统一的规定。当偏离正态分布和测量次数少时检验并不一定可靠。若有多个可疑数据同时超过检验所定置信区间，应逐个剔除，重新计算后再行判别；若有两个相同数据超出范围时，也应逐个剔除；直至无粗大误差为止。在一组测量数据中，可疑数据应很少。反之，说明系统工作不正常,应认真对待，仔细查明原因。,44,2.4系统误差的判别及处理,一、系统误差的特征二、系统误差的判别方法三、系统误差的消除方法,45,一、系统误差的特征：在相同条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。多次测量求平均不能减少系统误差。,46,47,二、系统误差的判别方法,（1）不变的系统误差(恒值系统误差)：可以通过校准、修正和实验比对：,48,（2）变值系统误差的判别残差观察法将所测数据及其残差按先后次序列表或作图，观察各数据的残差值的大小和符号的变化。适用于系统误差比随机误差大的情况,49,马利科夫判据：若有累进性系统误差，D值应明显异于零。当n为偶数时，当n为奇数时，阿贝赫梅特判据：检验周期性系差的存在。,50,三、系统误差的削弱或消除方法,（1）从产生系统误差根源上采取措施减小系统误差要从测量原理和方法尽力做到正确、严格。测量仪器定期检定和校准，并正确使用仪器。注意周围环境对测量的影响，特别是温度、电磁场等对电子测量的影响较大。尽量减少或消除测量人员主观原因造成的系统误差。应提高测量人员业务技术水平和工作责任心，改进设备。,51,（2）用修正方法减少系统误差修正值误差=(测量值真值)实际值测量值修正值,（3）采用一些专门的测量技术零示法替代法交换法微差法,52,零示法,53,替代法（电桥法）,54,微差法,55,2.5测量误差的合成与分配,一、误差传递公式二、测量误差的合成三、测量误差的分配四、最佳测量方案的选择,56,问题的提出：用间接法测量电阻消耗的功率时，需要测量电阻R、端电压V和电流I三个量中的两个量，如何根据电阻、电压或电流的测量误差来推算功率的测量误差呢？即如何根据各分项误差来确定总合误差，就是误差合成问题。而反之，已知总合误差而要确定各分项误差，即误差分配问题。,57,一、误差传递公式的导出,上式称为误差传递公式。,58,故：,解：已知：,例：电流流过电阻产生的热量Q=0.24I2Rt，若已知测量电流、电阻、时间的相对误差分别是，求热量的相对误差。,59,（1）系统误差的合成,因为：设随机误差已经消除，所以,二、测量误差的合成,60,（2）随机误差及其标准偏差的合成,令,对上式两边求平方、求和、求平均，并令则可得：或,61,（1）等准确度分配,等准确度分配是指分配给各分项的误差相等，即：,三、测量误差的分配,62,（2）等作用分配,等作用分配是指分配给各分项的误差虽然不相等，但它们对总合误差的影响相等，即：,63,（3)抓住主要误差项进行分配,在进行误差分配时，总和误差主要分配给一个或几个主要误差项，而对影响较小的次要误差项则不予考虑。,64,四、最佳测量方案的选择,所谓最佳测量方案，从误差的角度看，就是要求：系统误差越小越好，随机误差的标准偏差或方差越小越好，即,65,最佳函数形式的选择当有多种间接测量方案时，应选择具有总合误差最小的函数形式的测量方案。最佳测量点的选择当函数形式确定以后，应选择使相对误差获得最小值的测量点。,66,2.6测量的不确定度,一、不确定度的定义二、不确定度的计算方法三、测量不确定度的应用与实例,67,1996年1月，我国国家技术监督局制定了“检定、校准证书”格式来统一全国测量结果的不确定度的表达。1999年颁布测量不确定度评定与表示(JJF1059-1999）计量技术规范。对测量不确定度说明如下：不确定度作为表征测量误差的数字指标，当给出测量结果时，必须同时说明其测量结果的不确定度的定量表述。测量结果的不确定度可以用合成标准不确定度或扩展不确定度表示。,68,一、不确定度的定义不确定度作为表征测量误差的数字指标，表示由于测量误差的存在而对测量结果准确性的可信程度的定量表述。不确定度可以用标准偏差表示，也可以用标准偏差的倍数或用某置信概率的置信区间的半宽度表示。测量不确定度一般由若干个分量组成，各个不确定度分量都会影响测量结果。,69,70,（1）标准不确定度：用概率分布的标准偏差表示的不确定度称为标准不确定度。A类标准不确定度：用统计学方法计算得到的标准不确定度为A类标准不确定度。B类标准不确定度：用非统计方法计算得到的不确定度为B类标准不确定度。,71,（2）合成标准不确定度由各不确定度分量合成的标准不确定度称为合成标准不确定度。用合成标准不确定度表示各不确定度分量联合影响测量结果的一个最终的、完整的标准不确定度（因为测量结果是受若干因素联合影响）。,72,（3）扩展不确定度用合成标准不确定度的倍数表示的测量不确定度称为扩展不确定度，又称总不确定度。即用置信因子乘以合成标准不确定度得到的一个区间半宽度。置信因子的取值决定了扩展不确定度的置信水平。,73,(4)不确定度的来源,被测量定义的不完善，实现被测量定义的方法不理想，被测量样本不能代表所定义的被测量。测量装置或仪器的分辨力、抗干扰能力、控制部分稳定性等影响。测量环境的不完善对测量过程的影响以及测量人员技术水平等影响。计量标准和标准物质的值本身的不确定度，在数据简化算法中使用的常数及其他参数值的不确定度，以及在测量过程中引入的近似值的影响。在相同条件下，由随机因素所引起的被测量本身的不稳定性。,74,(5)测量不确定度与测量误差的关系,75,(6)自由度的概念,自由度的定义：在方差计算中，和的项数减去对和的限制数即为自由度。,76,.A类标准不确定度的计算方法在同一条件下对被测量进行n次测量，测量值为xi(i=1,2,n)，(A)计算样本算术平均值，作为被测量X的估计值.(B)计算标准偏差估计值(C)计算A类不确定度,二、不确定度的计算（评定）方法,77,.B类标准不确定度的计算方法B类方法评定的主要信息来源是以前测量的数据、生产厂的技术证明书、仪器的鉴定证书或校准证书、国际公布的常数常量等。根据实际情况分析，假设被测量值的概率分布，确定测量值的误差区间(，-)，由要求的置信水平估计置信因子k，则B类标准不确定度uB为其中a区间的半宽度；k置信因子，正态分布通常在23之间。,78,正态分布时概率与置信因子的关系,几种非正态分布的置信因子k,79,设为正态分布，查表得：k=2.58电阻的B类标准不确定度为：电阻的相对标准不确定度为：,解：由校准证书的信息可知：,例：,80,(3)合成标准不确定度的计算方法,1）直接测量量的标准不确定度的计算方法:,2）间接测量量的标准不确定度的计算方法:,81,（2）计算B类标准不确定度：区间半宽：设为均匀分布，查表得：（3）计算合成标准不确定度为：,解：（1）已知A类标准不确定度为：,例：,82,(4)扩展不确定度的确定方法扩展不确定度U由合成标准不确定度C与置信因子的乘积得到测量结果表示为YU，即其中：y是被测量Y的最佳估计值，k由置信概率（常取0.95或0.99）和概率分布确定。,83,对测量设备进行校准或检定后，要出具校准或检定证书；对某个被测量进行测量后也要报告测量结果，并说明测量不确定度。明确被测量的定义和数学模型及测量条件，明确测量原理、方法，以及测量标准、测量设备等；分析不确定度来源；分别采用A类和B类评定方法，评定各不确定度分量。A类评定时要剔除异常数据；计算合成标准不确定度；计算扩展不确定度；报告测量结果。,Y=ykuc,三、测量不确定度的应用与实例,84,【例】用电压表直接测量一个标称值为200的电阻两端的电压，以便确定该电阻承受的功率。测量所用电压表的技术指标由使用说明书得知，其最大允许误差为1，经计量鉴定合格，证书指出它的自由度为10。(当证书上没有有关自由度的信息时，就认为自由度是无穷大。)标称值为200的电阻经校准，校准证书给出其校准值为199.99，校准值的扩展不确定度为0.02（包含因子k为2）。用电压表对该电阻在同一条件下重复测量5次，测量值分别为：2.2V、2.3V、2.4V、2.2V、2.5V。测量时温度变化对测量结果的影响可忽略不计。求功率的测量结果及其扩展不确定度（P=0.95）。,电压的B类不确定度,电阻的B类不确定度,电压的A类不确定度,85,解：（1）数学模型（2）计算测量结果的最佳估计值（3）测量不确定度的分析,本例测量不确定度主要来源：电压表不准确；电阻不准确；由于各种随机因素影响所致电压测量的不确定性。,86,（4）标准不确定度分量的计算电压测量引入的标准不确定度电压表不准引入的标准不确定度分量u1(V)，按B类标准评定，均匀分布。a1=2.32V1%=0.023V,87,(b)电压测量重复性引入的标准不确定度u2(V)。按A类标准评定。,88,(c)电压分量的合成标准不确定度:电压的有效自由度如下：,89,电阻不准引入的标准不确定度分量u(R)由电阻的校准证书得知，其校准值的扩展不确定度UR0.02，且k=2，则u(R)可由B类评定得到:,90,（5）计算功率的合成标准不确定度uC(P),其中输入量V(电压)和R(电阻)不相关计算灵敏系数c1和c2，得计算功率的合成标准不确定度uC(P)，得,91,（6）确定功率的扩展不确定度U计算合成标准不确定度的有效自由度veff：电压的自由度4.3，电阻的自由度可设为，则根据P0.95，veff5，查t分布，得扩展不确定度U0.95为,92,功率P（0.0270.004）W（置信水平P0.95）置信因子k为2.57，有效自由度为5。,（7）报告最终测量结果,93,2.7测量数据处理,一、有效数字的处理由于测量数据和测量结果均是近似数，其位数各不相同。为了使测量结果的表示准确唯一，计算简便，在数据处理时，需对测量数据和所用常数进行修约处理。数据修约规则：（1）小于5舍去末位不变。（2）大于5进1在末位增1。（3）等于5时，取偶数当末位是偶数，末位不变；末位是奇数，在末位增1（将末位凑为偶数）。,94,例：将下列数据舍入到小数第二位。12.434412.4363.7350163.740.694990.6925.325025.3217.695517.70123.1150123.12需要注意的是，舍入应一次到位，不能逐位舍入。上例中0.69499，正确结果为0.69，错误做法是：0.694990.69500.6950.70。在“等于5”的舍入处理上，采用取偶数规则，是为了在比较多的数据舍入处理中，使产生正负误差的概率近似相等。,95,有效数字若截取得到的近似数其截取或舍入误差的绝对值不超过近似数末位的半个单位，则该近似数从左边第一个非零数字到最末一位数为止的全部数字，称之为有效数字。例如：3.142四位有效数字，极限误差0.00058.700四位有效数字，极限误差0.00058.7103二位有效数字，极限误差0.05103,96,测量数据的绝对值比较大（或比较小），而有效数字又比较少的测量数据，应采用科学计数法，即a10n，a的位数由有效数字的位数所决定。测量结果（或读数）的有效位数应由该测量的不确定度来确定，即测量结果的最末一位应与不确定度的位数对齐。例如，某物理量的测量结果的值为63.44，且该量的测量不确定度u0.4，测量结果表示为63.40.4。,97,近似运算法则保留的位数原则上取决于各数中准确度最差的那一项。（1）加法运算以小数点后位数最少的为准（各项无小数点则以有效位数最少者为准），其余各数可多取一位。例如：（2）减法运算：当两数相差甚远时，原则同加法运算；当两数很接近时，有可能造成很大的相对误差，因此，第一要尽量避免导致相近两数相减的测量方法，第二在运算中多一些有效数字。,98,（3）乘除法运算以有效数字位数最少的数为准，其余参与运算的数字及结果中的有效数字位数与之相等。例如：也可比有效数字位数最少者多保留一位有效数字。例如上面例子中的517.43和4.08各保留至517和4.08，结果为35.5。（4）乘方、开方运算：运算结果比原数多保留一位有效数字。例如：（27.8）2772.8(115)21.322104,99,二、测量数据的表示方法,(1)列表法根据测试的目的和内容，设计出合理的表格。列表法简单、方便，数据易于参考比较，虽然它对数据变化的趋势不如图解法明了和直观，但列表法是图示法和经验公式法的基础。例：,100,(2)图示法图示法的最大优点是形象、直观，从图形中可以很直观地看出函数的变化规律，如递增或递减、最大值和最小值及是否有周期性变化规律等。,作图时采用直角坐标或极座标。一般是先按成对数据（x，y）描点，再连成光滑曲线，并尽量使曲线于所有点接近，不强求通过各点，要使位于曲线两边的点数尽量相等,101,(3).经验公式法经验公式法就是通过对实验数据的计算，采用数理统计的方法，确定它们之间的数量关系，即用数学表达式表示各变量之间关系。有时又把这种经验公式称为数学模型。类型：有些一元非线性回归可采用变量代换，将其转化为线性回归方程来解。,y=a+bx,102,【例】对某电压进行了16次等精度测量，测量数据中已记入修正值列于表中。要求给出包括误差在内的测量结果表达式。,103,104,105,本章小结,1.随机误差随机误差是测量过程中由大量微小而没有确定规律的因素引起的，一般无法避免和控制。但可以采用统计处理的方法减少随机误差对测量结果的影响。算术平均值残差实验标准偏差（贝塞尔公式）算术平均值标准偏差的估计值根据概率分布和置信概率确定置信因子，得到测量结果的置信区间。正态分布或n20时，k=23；n20时，查t分布表得k；均匀分布时k。测量结果为：,106,2系统误差系统误差的特点是固定不变的或按确定规律变化，主要由测量仪器、测量方法、测量环境和测量人员等因素引起。多次测量并不能减少系统误差。系统误差的发现方法有：校准判别方法、残差观察法、马利科夫判据和阿贝赫梅特判据。系统误差的削弱或消除方法：（1）从产生系统误差根源上采取措施；（2）修正方法；（3）采用专门的测量方法，如替代法、交换法、对称测量法、半周期法。,107,3粗大误差粗大误差是由于测量人员的偶然出错和外界条件的改变、干扰和偶然失效等造成，应采取各种措施，防止产生粗大误差。对测量中的可疑数据可采用莱特检验法或拉布斯检验法判断是否是粗大误差，若是，应剔除不用。4测量结果的处理应区别对待等精度测量和不等精度测量，不等精度测量的测量结果用加权平均值表示，标准偏差越小，权值越大。对测量数据进行处理时，应首先检查和修正系统误差，判别并剔除粗大误差。,108,5.测量不确定度概念和A类B类标准不确定度,109,6.合成不确定度由各不确定度分量合成的标准不确定度，称为合成标准不确定度。其评定方法是：,7.扩展不确定度扩展不确定度U由合成标准不确定度与包含因子的乘积得到：UkuC，的选取由置信概率（常取0.95或0.99）和概率分布（正态、均匀、t分布等）确定。,110,8.测量不确定度的评定步骤明确被测量的定义和数学模型及测量条件，明确测量原理、方法，以及测量标准、测量设备等；分析不确定度来源；分别采用A类和B类评定方法，评定各不确定度分量。计算合成标准不确定度；计算扩展不确定度；报告测量结果。,111,9有效数字处理和测量数据的表示方法（1）数据修约规则：“四舍五入，等于五取偶数”；（2）有效数字与数据的准确度密切相关，测量结果（或读数）的有效位数应由该测量的不确定度来确定；（3）把测量数据处理成一定的函数关系，通常采用方法有列表法、图示法和经验公式,112,测量结果的处理步骤：对测量值进行系统误差修正，将数据依次列成表格；求出算术平均值列出残差，并验证按贝塞尔公式计算标准偏差的估计值按莱特准则或格拉布斯准则检查和剔除粗大误差直至无粗大误差为止；判断有无系统误差。如有系统误差，应查明原因，修正或消除系统误差后重新测量；计算算术平均值的标准偏差；写出最后结果的表达式，即（单位）。,