概率论与数理统计课件PPT.ppt

概率与统计,开课系：非数学专业教师:叶梅燕e-mail:yemeiyan,教材：概率论与数理统计王松桂等编科学出版社2002,参考书：1.概率论与数理统计浙江大学盛骤等编高等教育出版社2.概率论与数理统计魏振军编中国统计出版社,序言,?,概率论是研究什么的？,随机现象：不确定性与统计规律性,概率论研究和揭示随机现象的统计规律性的科学,目录,第一章随机事件及其概率第二章随机变量第三章随机变量的数字特征第四章样本及抽样分布第五章参数估计第六章假设检验,第一章随机事件及其概率,随机事件及其运算概率的定义及其运算条件概率事件的独立性,1.1随机事件及其概率一、随机试验(简称“试验”),随机试验的特点(p1)1.可在相同条件下重复进行；2.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果。随机试验常用E表示,E1:抛一枚硬币，分别用“H”和“T”表示出正面和反面;E2:将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；E3:某城市某年某月内发生交通事故的次数；E4:掷一颗骰子，可能出现的点数；E5:记录某网站一分钟内受到的点击次数；E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;E7:任选一人，记录他的身高和体重。,随机实验的例子,随机事件,二、样本空间(p2),1、样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为=e；2、样本点:试验的单个结果或样本空间的单元素称为样本点,记为e.3.由样本点组成的单点集称为基本事件,也记为e.,幻灯片6,随机事件,1.定义样本空间的任意一个子集称为随机事件,简称“事件”.记作A、B、C等任何事件均可表示为样本空间的某个子集.称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素。2.两个特殊事件:必然事件S、不可能事件.(p3)例如对于试验E2，以下A、B、C即为三个随机事件:A“至少出一个正面”HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH；B=“两次出现同一面”=HHH,TTTC=“恰好出现一次正面”=HTT，THT，TTH再如，试验E6中D“灯泡寿命超过1000小时”x:10000,则P(AB)P(A)P(B|A).(1.4.2)式(1.4.2)就称为事件A、B的概率乘法公式。,式(1.4.2)还可推广到三个事件的情形：P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB).(1.4.3)一般地，有下列公式：P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1).(1.4.4),例3合中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从合中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。,解：设Ai为第i次取球时取到白球，则,三、全概率公式与贝叶斯公式,例4.(p16)市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。,B,定义(p17)事件组A1，A2，An(n可为)，称为样本空间的一个划分，若满足：,A1,A2,An,B,定理1、(p17)设A1，,An是的一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件B有,式(1.4.5)就称为全概率公式。,例5(P17)有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球这六个球手感上不可区别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？,解：设A1从甲袋放入乙袋的是白球；A2从甲袋放入乙袋的是红球；B从乙袋中任取一球是红球；,甲,乙,定理2(p18)设A1，,An是S的一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件BS，有,式(1.4.6)就称为贝叶斯公式。,思考：上例中，若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？,答:,(P22,22.)商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？,解:设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.B0,B1,B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品,已知:P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1,由Bayes公式:,例6(p18)数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发端发的是0的概率是多少?,0.067,解：设A-发射端发射0，B-接收端接收到一个“1”的信号,0(0.55),01不清,(0.9)(0.05)(0.05),1(0.45),10不清,(0.85)(0.05)(0.1),条件概率,条件概率小结,缩减样本空间,定义式,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式,1.5事件的独立性一、两事件独立,(P19)定义1设A、B是两事件，P(A)0,若P(B)P(B|A)(1.5.1)则称事件A与B相互独立。式(1.5.1)等价于：P(AB)P(A)P(B)(1.5.2),从一付52张的扑克牌中任意抽取一张，以A表示抽出一张A，以B表示抽出一张黑桃，问A与B是否独立？,定理、以下四件事等价：(1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。,二、多个事件的独立,定义2、(p20)若三个事件A、B、C满足：(1)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立；,若在此基础上还满足：(2)P(ABC)P(A)P(B)P(C),(1.5.3)则称事件A、B、C相互独立。,一般地，设A1，A2，An是n个事件，如果对任意k(1kn),任意的1i1i2ikn，具有等式P(Ai1Ai2Aik)P(Ai1)P(Ai2)P(Aik)(1.5.4)则称n个事件A1，A2，An相互独立。,思考：1.设事件A、B、C、D相互独立，则,2.一颗骰子掷4次至少得一个六点与两颗骰子掷24次至少得一个双六，这两件事，哪一个有更多的机会遇到？,答:0.518,0.496,三、事件独立性的应用,1、加法公式的简化：若事件A1，A2，An相互独立,则(1.5.5),2、在可靠性理论上的应用P23,24如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率。,设A-L至R为通路,Ai-第i个继电器通,i=1,2,5,由全概率公式,EX1:一个学生欲到三家图书馆借一本参考书每家图书馆购进这种书的概率是1/2，购进这种书的图书馆中该书被借完了的概率也是1/2各家图书馆是否购进该书相互独立问该学生能够借到书的概率是多少？,第一章小结本章由六个概念（随机试验、事件、概率、条件概率、独立性），四个公式（加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式）和一个概型（古典概型）组成,第二章随机变量,离散型随机变量随机变量的分布函数连续型随机变量一维随机变量函数的分布二维随机变量的联合分布多维随机变量的边缘分布与独立性条件分布多维随机变量函数的分布,关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的中心内容这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量,2.1随机变量的概念,(p24)定义.设S=e是试验的样本空间，如果量X是定义在S上的一个单值实值函数即对于每一个eS，有一实数X=X(e)与之对应，则称X为随机变量。随机变量常用X、Y、Z或、等表示。,随机变量的特点:,1X的全部可能取值是互斥且完备的,2X的部分可能取值描述随机事件,?,请举几个实际中随机变量的例子,EX引入适当的随机变量描述下列事件：将3个球随机地放入三个格子中，事件A=有1个空格，B=有2个空格，C=全有球。进行5次试验，事件D=试验成功一次，F=试验至少成功一次，G=至多成功3次,随机变量的分类：随机变量,2.2离散型随机变量,(P25)定义若随机变量X取值x1,x2,xn,且取这些值的概率依次为p1,p2,pn,则称X为离散型随机变量，而称PX=xk=pk,(k=1,2,)为X的分布律或概率分布。可表为XPX=xk=pk,(k=1,2,)，或,Xx1x2xKPkp1p2pk,(1)pk0,k1,2,;(2),例1设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。解k可取值0，1，2,2.分布律的性质,例2.某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。,解：设Ai第i次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5则A1,A2,A5,相互独立且P(Ai)=p,i=1,2,5.SX=0,1,2,3,4,5,(1-p)5,几个常用的离散型分布（一）贝努里(Bernoulli)概型与二项分布,1.(0-1)分布(p26)若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称X服从(01)分布(两点分布)XPXkpk(1p)1k,(05年还是X5年零1分钟,2.3随机变量的分布函数一、分布函数的概念.,定义(P29)设X是随机变量，对任意实数x，事件Xx的概率PXx称为随机变量X的分布函数。记为F(x)，即F(x)PXx.易知，对任意实数a,b(ab),PaXbPXbPXaF(b)F(a).,二、分布函数的性质(P29),1、单调不减性：若x1x2,则F(x1)F(x2);2、归一性：对任意实数x，0F(x)1，且,3、右连续性：对任意实数x，,反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。,一般地，对离散型随机变量XPX=xkpk,k1,2,其分布函数为,例1设随机变量X具分布律如右表,解,试求出X的分布函数。,例2向0,1区间随机抛一质点，以X表示质点坐标.假定质点落在0,1区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，求X的分布函数解：F(x)=PXx,当x1时,F(x)=1,当0x1时,特别,F(1)=P0x1=k=1,用分布函数描述随机变量不如分布律直观，对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？,?,a,b,2.4连续型随机变量一、概率密度,1.定义(p33)对于随机变量X，若存在非负函数f(x)，(-x+)，使对任意实数x，都有,则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数.常记为Xf(x),(-x+),密度函数的几何意义为,2.密度函数的性质(p34)(1)非负性f(x)0，(-x)；(2)归一性,性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；,EX,设随机变量X的概率密度为,求常数a.,答:,(3)若x是f(x)的连续点，则,EX,设随机变量X的分布函数为求f(x),（4）对任意实数b，若Xf(x)，(-x)，则PX=b0。于是,P(35)例2.3.2.已知随机变量X的概率密度为1)求X的分布函数F(x),2)求PX(0.5,1.5),二、几个常用的连续型分布,1.均匀分布(p36)若Xf(x),则称X在(a,b)内服从均匀分布。记作XU(a,b),对任意实数c,d(ac0时，,=1-在t时刻之前无汽车过桥,于是,正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重要的地位。,3.正态分布,A,B,A，B间真实距离为，测量值为X。X的概率密度应该是什么形态？,其中为实数，0，则称X服从参数为,2的正态分布,记为N(,2)，可表为XN(,2).,若随机变量,(1)单峰对称密度曲线关于直线x=对称；(p38)f()maxf(x).,正态分布有两个特性：,(2)的大小直接影响概率的分布越大，曲线越平坦，越小，曲线越陡峻，。正态分布也称为高斯(Gauss)分布,4.标准正态分布(p38)参数0，21的正态分布称为标准正态分布，记作XN(0,1)。,分布函数表示为,其密度函数表示为,一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅(x)的值。(P226附表1)如，若ZN（0，1）,（0.5)=0.6915,P1.32Z2.43=(2.43)-(1.32)=0.9925-0.9066,注：(1)(x)1(x)；(2)若XN(,2)，则,正态分布表,EX,设随机变量XN(-1,22),P-2.45X2.45=?,P(39)例2.3.5.设XN(,2),求P-3X3的值.如在质量控制中，常用标准指标值3作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报.表明生产出现异常.,正态分布表,(p67)14一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态分布(100,152),某仪器上装有3个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率.,解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数,故,则YB(3,p),其中,正态分布表,一、离散型随机变量函数的分布律,2.5一维随机变量函数的分布,(p55)设X一个随机变量，分布律为XPXxkpk,k1,2,若yg(x)是一元单值实函数，则Yg(X)也是一个随机变量。求Y的分布律.,例:已知,X,Pk,-101,求：Y=X2的分布律,Y,Pk,10,或Yg(X)PYg(xk)pk，k1,2,（其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。）,一般地,X,Pk,Y=g(X),二、连续型随机变量函数的密度函数,1、一般方法(p56)若Xf(x),-x+,Y=g(X)为随机变量X的函数，则可先求Y的分布函数FY(y)PYyPg(X)y,然后再求Y的密度函数,此法也叫“分布函数法”,例1.设XU(-1,1),求Y=X2的分布函数与概率密度。,当y0时,当0y1时,当y1时,例2.设X的概率密度为fX(x),y=g(x)关于x处处可导且是x的严格单减函数，求Y=g(X)的概率密度。解：Y的分布函数为,FY(y)=PYy=Pg(X)y=PXg-1(y)=1-FX(g-1(y),Y的概率密度为fY(y)=F(g-1(y)=fX(g-1(y)g-1(y),2、公式法：一般地若XfX(x),y=g(x)是单调可导函数，则,注：1只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用以上公式推求Y的密度函数。2注意定义域的选择,其中h(y)为yg(x)的反函数.,例3.已知XN(,2),求,解：,的概率密度,关于x严单,反函数为,故,例4设XU(0,1),求Y=ax+b的概率密度.(a0),解:Y=ax+b关于x严单,反函数为,故,而,故,小结.,习题课,一、填空：1.设随机变量X服从参数为（2,p）的二项分布，随机变量Y服从参数（3,p）的二项分布，若，则PY1=,2.设随机变量X服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量Y=X2在（0，4）内的密度函数为fY(y)=,3.设随机变量XN（2，2），且P（2X4）=0.3，则P(X0)=,二.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3.以Y表示汽车在第一次停止之前所通过的交通岗数,求Y的分布律.(假定汽车只在遇到红灯或到达火车站时停止),三、某射手对靶射击，单发命中概率都为0.6，现他扔一个均匀的骰子，扔出几点就对靶独立射击几发，求他恰好命中两发的概率。,四.已知随机变量X的概率密度为,求：Y=1-X2的概率密度,2.6二维随机变量的联合分布一、多维随机变量,1.定义(p41)将n个随机变量X1，X2，.,Xn构成一个n维向量(X1,X2,.,Xn)称为n维随机变量。,一维随机变量XR1上的随机点坐标二维随机变量(X,Y)R2上的随机点坐标n维随机变量(X1,X2,Xn)Rn上的随机点坐标多维随机变量的研究方法也与一维类似，用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律,(p41)设(X,Y)是二维随机变量，(x,y)R2,则称F(x,y)=PXx,Yy为(X,Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。,二.联合分布函数,几何意义：分布函数F()表示随机点(X,Y)落在区域中的概率。如图阴影部分：,对于(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1x2，y1y2),则Px1Xx2，y1yy2F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)F(x1,y1).,(x1,y1),(x2,y2),(x2,y1),(x1,y2),分布函数F(x,y)具有如下性质：(p41-42),且,(1)归一性对任意(x,y)R2,0F(x,y)1,(2)单调不减对任意yR,当x1x2时，F(x1,y)F(x2,y)；对任意xR,当y1y2时，F(x,y1)F(x,y2).,(3)右连续对任意xR,yR,(4)矩形不等式对于任意(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1x2，y1y2),F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)F(x1,y1)0.,反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。,例2.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为,1)求常数A，B，C。2)求P0X2,00、|1，则称(X,Y)服从参数为1,2,1,2,的二维正态分布，可记为,(2)二维正态分布N(1,2,1,2,)若二维随机变量(X,Y)的密度函数为(P101),分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形。事实上，对n维随机变量(X1,X2,Xn)，F(x1,x2,xn)P(X1x1,X2x2,Xnxn)称为的n维随机变量(X1,X2,Xn)的分布函数，或随机变量X1,X2,Xn的联合分布函数。,定义2.4.6.n维随机变量(X1,X2,.Xn)，如果存在非负的n元函数f(x1,x2,.xn)使对任意的n元立方体,定义2.4.7.若(X1,X2,.Xn)的全部可能取值为Rn上的有限或可列无穷多个点，称(X1,X2,.Xn)为n维离散型的，称PX1=x1,X2=x2,.Xn=xn，(x1,x2,.xn)为n维随机变量(X1,X2,.Xn)的联合分布律。,则称(X1,X2,.Xn)为n维连续型随机变量，称f(x1,x2,.xn)为(X1,X2,.Xn)的概率密度。,求：（1）PX0,(2)PX1,(3)PYy0,EX:随机变量（X，Y）的概率密度为,x,y,D,答:PX0=0,FY(y)F(+,y)PYy称为二维随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数.,2.7.边缘分布与独立性一、边缘分布函数(p46),FX(x)F(x,+)PXx,称为二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数；,边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些)低维分量的分布。,例1.已知(X,Y)的分布函数为,求FX(x)与FY(y)。,二、边缘分布律,若随机变量X与Y的联合分布律为(p47)(X,Y)PXxi,Yyj,pij，i,j1,2,则称PXxipi.，i1,2,为(X,Y)关于X的边缘分布律；,PYyjp.j，j1,2,为(X,Y)关于Y的边缘分布律。边缘分布律自然也满足分布律的性质。,例2.已知(X,Y)的分布律为xy1011/103/1003/103/10求X、Y的边缘分布律。,解：xy10pi.11/103/1003/103/10p.j,故关于X和Y的分布律分别为：X10Y10P2/53/5P2/53/5,2/5,3/5,2/5,3/5,三、边缘密度函数,为(X,Y)关于Y的边缘密度函数。,设(X,Y)f(x,y),(x,y)R2,则称(p48),为(X,Y)关于X的边缘密度函数；同理，称,易知N(1,2,12,22,)的边缘密度函数fX(x)是N(1,12)的密度函数，而fX(x)是N(2,22)的密度函数，故二维正态分布的边缘分布也是正态分布。,例3.设(X,Y)的概率密度为,（1）求常数c;(2)求关于X的边缘概率密度,解:(1)由归一性,设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布，求关于X的和关于Y的边缘概率密度,x=y,x=-y,EX,四、随机变量的相互独立性,定义2.4.1称随机变量X与Y独立，如果对任意实数ab,cd，有(p49)paXb,cYd=paXbpcYd即事件aXb与事件c0,称,为Xxi的条件下，Y的条件分布律;,EX.设某昆虫的产卵数X服从参数为50的泊松分布，又设一个虫卵能孵化成虫的概率为0.8,且各卵的孵化是相互独立的，求此昆虫产卵数X与下一代只数Y的联合分布律.,二连续型随机变量的条件概率密度,定义.给定y，设对任意固定的正数0，极限,存在，则称此极限为在条件条件下X的条件分布函数.记作,可证当时,若记为在Y=y条件下X的条件概率密度，则由(3.3.3)知,当时，.,类似定义，当时,例2.已知(X,Y)的概率密度为,(1)求条件概率密度,(2)求条件概率,x,y,1,解:,=p55,2.8多维随机变量函数的分布一、二维离散型随机变量函数的分布律,设二维离散型随机变量（X，Y），(X,Y)P(Xxi,Yyj)pij，i,j1,2,则Zg(X,Y)PZzkpk,k1,2,或,EX设随机变量X与Y独立，且均服从0-1分布，其分布律均为X01Pqp(1)求WXY的分布律;(2)求Vmax(X,Y)的分布律；(3)求Umin(X,Y)的分布律。(4)求w与V的联合分布律。,0,1,1,2,0,1,1,1,0,0,0,1,V,W,01,012,0,0,0,二、多个随机变量函数的密度函数,1、一般的方法：分布函数法(p60)若(X1,X2,Xn)f(x1,x2,xn),(x1,x2,xn)Rn,Y=g(X1,X2,Xn),则可先求Y的分布函数:,然后再求出Y的密度函数:,2、几个常用函数的密度函数(1)和的分布已知(X,Y)f(x,y),(x,y)R2,求ZXY的密度。,zx+y=zx+yz,若X与Y相互独立，则ZXY的密度函数,例1.设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布，求证：Z=X+Y服从N（0，2）分布。,一般地，设随机变量X1,X2，.,Xn独立且Xi服从正态分布N(i,i2),i=1,.,n,则,p62,例2.卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X(kg)服从N(50,2.52)分布,该卡车的额定载重量为2000kg,问最多装多少袋水泥,可使卡车超载的概率不超过0.05.,解:设最多装n袋水泥,Xi为第i袋水泥的重量.则,由题意,令,查表得,(2)商的分布已知(X,Y)f(x,y),(x,y)R2,求Z的密度。,yG10 xG2,特别，当X，Y相互独立时，上式可化为,其中fX(x),fY(y)分别为X和Y的密度函数。,3、极大(小)值的分布设X1,X2,Xn相互独立，其分布函数分别为F1(x1),F2(x2),Fn(xn)，记MmaxX1,X2,Xn,NminX1,X2,Xn则，M和N的分布函数分别为：,FM(z)F1(z)Fn(z),特别，当X1,X2,Xn独立同分布(分布函数相同)时，则有FM(z)F(z)n;FN(z)11F(z)n.进一步地，若X1,X2,Xn独立且具相同的密度函数f(x)，则M和N的密度函数分别由以下二式表出fM(z)nF(z)n1f(z)；fN(z)n1F(z)n1f(z).,例3.设系统L由两个相互独立的子系统联接而成，联接的方式分别为(i)串联，(ii)并联，如图所示设L1,L2的寿命分别为X与Y，已知它们的概率密度分别为,其中0，0,试分别就以上两种联结方式写出L的寿命Z的概率密度,小结,第三章随机变量的数字特征,随机变量的数学期望随机变量的方差随机变量的协方差和相关系数大数定律中心极限定理,3.1数学期望一.数学期望的定义,例1设某班40名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示：分数4060708090100人数1691572则学生的平均成绩是总分总人数(分)。即,数学期望描述随机变量取值的平均特征,定义1.若XPX=xk=pk,k=1,2,n,则称,定义2.(p73)若XPX=xk=pk,k=1,2,且,为r.v.X的数学期望，简称期望或均值。,，则称,为r.v.X的数学期望,例2掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X的数学期望。,定义3若Xf(x),-x0),(p77)定理2若Xf(x),-x,则Y=g(X)的期望,推论若(X,Y)f(x,y),-x,-0，则,称为X与Y的相关系数.注：若记,称为X的标准化，易知EX*=0，DX*=1.且,2.相关系数的性质(1)|XY|1；(2)|XY|=1存在常数a,b使PY=aX+b=1；(3)X与Y不相关XY=0;,1.设(X,Y)服从区域D:0x1,00，则,即若任给0,使得,证明:由切比雪夫不等式,这里,故,2.伯努里大数定律设进行n次独立重复试验，每次试验中事件A发生的概率为p，记fn为n次试验中事件A发生的频率，则,证明:设,第i次试验事件A发生,第i次试验事件A不发生,则,由切比雪夫大数定理,3.辛钦大数定律若Xk,k=1.2,.为独立同分布随机变量序列,EXk=,k=1,2,则,推论:若Xi,i=1.2,.为独立同分布随机变量序列,E(X1k)=,则,3.6.3.中心极限定理一.依分布收敛,设Xn为随机变量序列，X为随机变量，其对应的分布函数分别为Fn(x),F(x).若在F(x)的连续点，有,则称Xn依分布收敛于X.可记为,二.几个常用的中心极限定理,1.独立同分布中心极限定理(Levy-Lindeberg)设Xn为独立同分布随机变量序列，若EXk=，DXk=2，k=1,2,则Xn满足中心极限定理。根据上述定理，当n充分大时,例1.将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于500的概率是多少？,解:设Xk为第k次掷出的点数,k=1,2,100,则X1,X100独立同分布.,由中心极限定理,设随机变量n(n=1,2,.)服从参数为n,p(0p1)的二项分布，则,2.德莫佛-拉普拉斯中心极限定理(DeMoivre-Laplace),证明:设,第i次试验事件A发生,第i次试验事件A不发生,则,由中心极限定理,结论得证,例2在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问：(1)保险公司亏本的概率有多大？(2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于60000元，赔偿金至多可设为多少？,解设X表示一年内死亡的人数，则XB(n,p),其中n=10000，p=0.6%，设Y表示保险公司一年的利润，Y=1000012-1000X于是由中心极限定理(1)PY60000=PX60000/a0.9;,（2）设赔偿金为a元，则令,由中心极限定理,上式等价于,第四章样本及抽样分布,引言随机样本抽样分布,run,4.1随机样本一、总体与样本,1.总体：研究对象的全体。通常指研究对象的某项数量指标。组成总体的元素称为个体。,从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随机变量的分布。,2.样本：来自总体的部分个体X1，Xn如果满足：,（1）同分布性：Xi，i=1,n与总体同分布.（2）独立性：X1，Xn相互独立；则称为容量为n的简单随机样本，简称样本。而称X1，Xn的一次实现为样本观察值，记为x1，xn,来自总体X的随机样本X1，Xn可记为,显然，样本联合分布函数或密度函数为,或,3.总体、样本、样本观察值的关系,总体,样本,样本观察值,？,理论分布,统计是从手中已有的资料样本观察值，去推断总体的情况总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体,二、统计量,定义：称样本X1，Xn的函数g(X1，Xn)是总体X的一个统计量,如果g(X1，Xn)不含未知参数,几个常用的统计量：,3.样本k阶矩,4.2抽样分布,一、2分布,统计量的分布称为抽样分布。数理统计中常用到如下三个分布：2分布、t分布和F分布。,2.2分布的密度函数f(y)曲线,3.分位点设X2(n)，若对于：011).,例2：设X1，X10是取自N（0，0.32)的样本,求,例3：设X1，Xn是取自N（,2)的样本,求样本方差S2的期望与方差。,第五章参数估计,点估计估计量的评选标准区间估计正态总体参数的区间估计,5.2,5.1点估计一、参数估计的概念,定义设X1，Xn是总体X的一个样本，其分布函数为F(x;),。其中为未知参数,为参数空间,若统计量g(X1，Xn)可作为的一个估计,则称其为的一个估计量，记为,注：F(x;)也可用分布律或密度函数代替.,若x1，xn是样本的一个观测值。,由于g(x1，xn)是实数域上的一个点，现用它来估计，故称这种估计为点估计。点估计的经典方法是矩估计法与极大似然估计法。,二、矩估计法（简称“矩法”）,关键点：1.用样本矩作为总体同阶矩的估计，即,2.约定：若是未知参数的矩估计，则g()的矩估计为g(),例1：设X1，Xn为取自总体B(m,p),的样本，其中m已知，0p0为一给定实数。求p=PX0未知，求参数的极大似然估计。,5.2估计量的评选标准一、一致性,例1.设已知00,a+b=1统计量都是E（X）的无偏估计，并求a,b使所得统计量最有效,5.3区间估计一、概念,定义：设总体X的分布函数F(x；)含有未知参数，对于给定值（00,若取拒绝域为,则犯第一类错误的概率为,于是,故,是H0：0；H1：0,的水平为的拒绝域,例1：设某厂生产一种灯管,其寿命XN(,2002),由以往经验知平均寿命=1500小时,现采用新工艺后,在所生产的灯管中抽取25只,测得平均寿命1675小时,问采用新工艺后,灯管寿命是否有显著提高。(=0.05),解:,这里,拒绝H0,左边HT问题,H0：=0；H1：4.55,则拒绝域为,由U=-3.780,或,H0：0；H1：0,由pTt(n1)=,得水平为的拒绝域为,Tt(n1),(P173,7)某厂生产镍合金线，其抗拉强度的均值为10620(kg/mm2)今改进工艺后生产一批镍合金线，抽取10根,测得抗拉强度(kg/mm2)为:10512,10623,10668,10554,10776,10707,10557,10581,10666,10670.认为抗拉强度服从正态分布,取=0.05,问新生产的镍合金线的抗拉强度是否比过去生产的合金线抗拉强度要高?,解:H0：=10620；H1：10620,由pTt0.05(9)=0.05,得拒绝域为,Tt0.05(9)=1.8331,这里,接受H0,左边HT问题H0：=0；H1：0,或,H0：0；H1：0,由pT-t(n1)=,得水平为的拒绝域为,T-t(n1),EX设正品镍合金线的抗拉强度服从均值不低于10620(kg/mm2)的正态分布,今从某厂生产的镍合金线中抽取10根,测得平均抗拉强度10600(kg/mm2),样本标准差为80.,问该厂的镍合金线的抗拉强度是否不合格?(=0.1),解:H0：10620；H1：10620,由pT-t0.1(9)=0.1,得拒绝域为,T-t0.1(9)=1.383,这里,接受H0,二、单总体方差的假设检验,假定未知,双边检验:对于假设,得水平为的拒绝域为,(P173,11.)电工器材厂生产一批保险丝，取10根测得其熔化时间（min）为42,65,75,78,59,57,68,54,55,71.问是否可以认为整批保险丝的熔化时间的方差小于等于80?(=0.05),熔化时间为正态变量.),得水平为=0.05的拒绝域为,这里,接受H0,设保险丝的融化时间服从正态分布，取9根测得其熔化时间（min）的样本均值为62,标准差为10.(1)是否可以认为整批保险丝的熔化时间服从N(60,92)?(=0.05)(2)是否可以认为整批保险丝的熔化时间的方差显著大于70?(=0.05),EX,答:(1)|t|=0.62.306,接受60;2.18X2=9.87717.535,接受10,(2)X2=11.421.3304,故拒绝H0,认为甲安眠药比乙安眠药疗效显著,EX2,上题中,试检验是否乙安眠药比甲安眠药疗效显著?,二、方差比的假设检验,两样本独立,给定检验水平,由观测值,假定1,2未知,由pFF1/2(n11,n21)或FF/2(n11,n21)=,F1/2,F/2,得拒绝域,FF1/2(n11,n21)或FF/2(n11,n21),而对应的单边问题,拒绝域为,FF(n11,n21),FF1(n11,n21),拒绝域为,P174,21.有甲乙两种机床,加工同样产品,从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干产品,测得产品直径为(单位:mm):甲:20.5,19.8,19.7,20.4,20.1,20.9,19.6,19.9.乙:19.7,20.8,20.5,19.8,19.4,20.6,19.2.假定甲,乙两台机床的产品直径都服从正态分布,试比较甲,乙两台机床加工的精度有无显著差异?(=0.05),解:,拒绝域为FF10.025(7,6)=1/5.12=0.1953或FF0.025(7,6)=5.7,这里:,接受H0,