格林公式及其应用.ppt

,8-3格林公式.平面第二型曲线积分与路径无关的条件,单连通与多连通区域,设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域.通俗地说，平面单连通区域是不含有“洞”（包括点“洞”）的区域,复连通区域是含有“洞”（包括点“洞”）的区域.例如，平面上的圆形区域,上半平面都是单连通域.,定义规定平面区域D的边界曲线L的正向如下：当观测者沿L的这个方向行走时，D内在他近处的那一部分总在他的左边.如图,定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,则有,(格林公式),函数,在D上具有连续一阶偏导数,1.格林公式,证先证,根据区域D的不同，我们分三种情况进行证明：,（1）,根据曲线积分的性质及计算法，有,另一方面，根据二重积分的计算法，有,比较上面两式，即得所要的公式（8.4）,(2)若D是单连通区域,但D的边界线L与平行于y轴的直线之交点多于两个.,则可通过加辅助线将其分割,为有限个上述形式的区域,如图,证毕,(3)D是多连通区域,类似地可证,将前面已证明的关于及的公式相加，即得到格林公式.,解利用格林公式，,例2求椭圆的面积D.,解椭圆的边界方程为,D的面积,例3求曲线积分,解,为利用格林公式，故需分两种,情况讨论.,(1)当L所围成的区域D内不包含原点时,P(x,y),Q(x,y),在D内有连续的一阶偏导数，这时可用格林公式.易算出,(2)当L所围的区域D包含原点作为其内点时，由于P(x,y),Q(x,y)在D内一点（即原点）处无定义，也就不满足格林公式成立的条件，故不能在区域D上用格林公式.,为了能用格林公式，需要把原点“挖掉”.为此以原点为圆心，充分小的r(0)为半径作一小圆C，使C整个包含在D内.在挖掉小圆域C之后的多连通区域上，可利用格林公式.设C的边界曲线为，则有,此式说明，沿任意一条将原点包围在其内部的光滑正向闭曲线L的积分，都等于沿以原点为圆心的正向圆周的积分.,其中表示函数u(x,y)沿L的外法线方向的方向导数，,应满足,其中为z轴正方向的单位向量.由于,说明的方向余弦为.于是由方向导数的定义，有,例5设区域D的边界为闭曲线L.某稳定流体(即流体的流速与时间无关，只与点的位置有关)在上每一点(x,y)处的速度为,其中P(x,y),Q(x,y)在上有一阶连续偏导数.该流体通过闭曲线L的流量定义为,其中为L的外法线方向的单位向量.试证明,证设的切向量的方向余弦为由例4知,（格林公式的另一种形式）,称函数为平面向量场,的散度.,物理意义：稳定流体通过某一闭曲线的流量，等,于其散度在该闭曲线所的区域上的二重积分之值.,提示,格林公式:,设区域D的边界曲线为L则,在格林公式中令PyQx则有,用格林公式计算区域的面积,2.平面第二型曲线积分与路径无关的条件,设G是一个开区域P(xy)、Q(xy)在区域G内具有一阶连续偏导数,这是因为设L1和L2是D内任意两条从点A到点B的曲线则L1(L2-)是D内一条任意的闭曲线而且有,定理2(曲线积分与路径无关的判断方法),证,充分性,已知上述等式在D内处处成立.在D内任,必要性我们假定上述积分与路径无关，要证明等式,上述等式不成立，不妨设,由假设可知函数在D内连续.因而在D内存在以为圆心以充分小的正数r为半径的小圆域，使在整上，有设的边界线为，在上用格林公式，有,但是D内的简单闭曲线，由证明假设及前面命题，应有于是发生矛盾.证毕,.,应用定理2应注意的问题,(1)区域D是单连通区域(2)函数P(xy)及Q(xy)在D内具有一阶连续偏导数如果这两个条件之一不能满足那么定理的结论不能保证成立,讨论,提示,在例4中已看到,当L所围成的区域含有原点时,上面的闭路积分不等于0,其原因在于区域内含有破坏函数P,Q,及,连续性条件的点O.,例6求曲线积分,解,因为,又它们在全平面上连续，所以积分与路径,无关.取下列直线段为积分路径：,当曲线积分与路径无关时，它只是起点A与点的函数，可记作,下面我们给出第二型曲线积分与路径无关的另一个充分条件.,定理3,设函数P(xy)及Q(xy)在单连通域D内具有一阶连续偏导数则等式,du(x,y)=P(xy)dxQ(xy)dy,证充分性,已知存在函数u(x,y),使du=PdxQdy.于是,由此可得,必要性,已知等式在D内处处成立，由定理,2，曲线积分,与路径无关.,现在我们固定起点而点B(x,y)可在D移动，则上述曲线积分就是点(x,y)的函数，用u(x,y)表示这个函数，即令,现在，我们来证明有上式所确定的函数u(x,y)满足关系式：,在D内任意取定点B(x,y),再任取且使也在D内.由于积分与路径无关，因此,其中介于x与之间.,另一方面，P(x,y),Q(x,y)的连续性意味着的连续性，从而推出函数u(x,y)在D可微且,推论设函数P(xy)及Q(xy)在单连通域D内具有一阶连续偏导数对任意两点曲线积分与路径无关的充要条件是：P(xy)dxQ(xy)dy恰是某一函数u(xy)的全微分，此外，当PdxQdy是u(xy)的全微分时，有,(8.7),其中u(A)表示函数u(x,y)在A点处的函数值，u(B)的含意类似.,证现证公式(8.7).,过A，B两点在D内任意作一曲线,设的参数方程为,如果函数u(xy)满足du(xy)=P(xy)dxQ(xy)dy则函数u(xy)称为P(xy)dxQ(xy)dy的原函数.,例7求曲线积分,解,又P(x,y),Q(x,y)在任一包含点,A，B且不与y轴相交的单连通区域D内有连续的一阶偏导数，所以曲线积分在D内与路径无关.,于是,方法一,方法二,(1)先固定,将看作是的函数,为了求的原函数,显然,令,对积分可求出,方法三:,凑全微分法,分无关；,对平面上任意两点A，B，证明与积,例8,(2)求的原函数u(x,y);,(3)求曲线积分,解,(1)由于P(x,y),Q(x,y)在全平面上有一阶连续偏导数,且所以曲线积分与路径无关.,(2)方法一用曲线积分法.选坐标原点为曲线积分的起点，对平面上任意一点B(x,y),取积分路径为折线OCB，其中C(x,0).,方法二固定y,关于对x求不定积分，得其一原函数,这样，的原函数u(x,y)可表成,其中是一待定函数.再由,得求原函数得其中C为任意常数.代入上述u的表示式得,方法三,所以,