资源描述
1,第四节随机变量的函数的分布,很多实际问题常常要用以随机变量为自变量的函数来描述,当这个函数满足一定的条件时,它也是随机变量。,一般,假定X或(X,Y)是已知分布的随机变量,g(x)或G(x,y)是实值的一元或二元函数,当g(X)或G(X,Y)是随机变量时,希望通过已知的X或(X,Y)的分布去确定g(X)或G(X,Y)的分布。,2,1.离散型随机变量的函数的分布律,当X或(X,Y)是离散型随机变量时,它们的函数仍然是离散型的随机变量。,例1.设随机变量X具有分布律,求:Y=2X以及Z=sinX的分布律。,3,解.首先由X的可能取值确定Y及Z的取值:,X,Y=2X,Z=sinX,1010,得到随机变量函数Y及Z的分布律为:,4,5,例2.设随机变量(X,Y)具有联合分布律:,求:Z=X+Y的分布律。,6,解.对应于X,Y取值的Z=X+Y的值是,1,0,1,1,2,3,得到Z的分布律为,7,记Z=g(X)或Z=G(X,Y),求Z的分布律的一般步骤是：,(1)确定Z的所有可能取值zk,k=1,2,;,(2)计算概率值PZ=zk,有如下公式,zk=g(xi)或G(xi,yj),8,当Z=g(X)时,9,当随机变量取整数值时,可以得到如下更具体的公式:,设离散型随机变量X、Y的可能取值是0,1,2,则X+Y的分布律是,如果X,Y相互独立还有,k=0,1,2,10,例3.设随机变量X、Y相互独立,均服从泊松分布,XP(1),YP(2),证明:X+YP(1+2),证:X、Y的可能取值都是0,1,2,于是X+Y的可能取值也是0,1,2,并且,11,所以,X+YP(1+2)。,C,ik,12,例3的结论称为泊松分布具有“再生性”。还可以证明,二项分布也具有再生性,设X、Y相互独立,XB(n1,p),YB(n2,p),则有X+YB(n1+n2,p)。,从二项分布的直观背景也可解释其再生性。而且,利用数学归纳法,还可以得到如下的重要结论。,13,设随机变量X1,X2,Xn相互独立,均服从同样的(0-1)分布,即B(1,p),则X1+X2+XnB(n,p),直观上,考虑n重贝努里试验,以Xi表示第i次试验时事件A的发生次数,则X1+X2+Xn就是n重贝努里试验中事件A发生的次数,服从B(n,p)。,14,2.连续型随机变量的函数的分布,当X或(X,Y)是连续型随机变量,它们的函数g(X)或G(X,Y)可以是连续型随机变量,也可以是离散型随机变量。,15,解.X1,X2的可能取值都是0,1;Y的概率密度是,于是PXk=0=PYk=,exdx=1ek,PXk=1=PYk=,exdx=ek,16,再求出(X1,X2)的联合分布律,因为,PX1=0,X2=0=PY1,Y2,1e1,PX1=0,X2=1=PY1,Y2,0,PX1=1,X2=0=P1Y2,e1e2,PX1=1,X2=1=PY1,Y2,e2,17,像例4这种连续型随机变量的函数是离散型随机变量的题目,其核心的运算是利用概率密度计算概率。,下面要解决的主要问题是:,当g(X)或G(X,Y)为连续型随机变量时,由X或(X,Y)的概率密度去确定g(X)或G(X,Y)的概率密度。,18,例5.已知随机变量X的概率密度为连续函数fX(x),求:Y=X2的概率密度fY(y)。,求解思路:首先确定分布函数,然后确定概率密度。,解.FY(y)=PYy=PX2y,有,当y0时,FY(y)=0;,Y=g(X)的概率密度,19,当y0时,对分布函数FY(y)求导,即得到,20,一般的,Y=g(X)时,FY(y)=PYy=Pg(X)y,求解的关键,解决问题的出发点,想办法将不等式“g(X)y”等价转换为关于X的不等式“X”,再利用X的概率密度求出所需结果。,当函数g(x)满足一定条件时,上述等价转换比较容易实现。比如,g(x)为单调函数时,有如下的公式:,21,当g(x)为单调递增函数,g(X)y,Xg1(y),反函数,此时,FY(y)=FXg1(y),当g(x)为单调递减函数,g(X)y,Xg1(y),-此时,FY(y)=1FXg1(y),22,例6.已知随机变量X的概率密度为连续函数fX(x),求:Y=aX+b(a0)的概率密度fY(y)。,解.当a0时,当a0时,23,对y求导得到,24,由的结论,可得到一个重要性质:,例6,例7.设随机变量XN(,2),则X的线性函数Y=aX+b(a0)服从正态分布N(a+b,a22)。,所以,YN(a+b,a22)。,解:,25,特别地,此时,Y服从标准正态分布N(0,1)。,标准化变换,结论:正态分布的线性函数仍然服从正态分布;任意的正态分布可以通过标准化变换,变成标准正态分布。,26,Z=G(X,Y)的概率密度,设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),求解的出发点是,FZ(z)=PZz=PG(X,Y)z,27,注:如果能将不等式G(X,Y)z等价转换为关于X,Y的不等式X和Y,则剩下的工作将不太困难。,例8.设随机变量X1,X2,Xn相互独立,服从同样的区间(0,a)上的均匀分布,求,(1)max(X1,X2,Xn)的概率密度fmax(z);,(2)min(X1,X2,Xn)的概率密度fmin(z);,28,解.(1)设X1,X2,Xn的分布函数和概率密度分别为FX(x)与fX(x),有Fmax(z)=Pmax(X1,X2,Xn)z,=PX1z,X2z,Xnz,=PX1zPX2zPXnz,=FX(z)n,于是fmax(z)=nFX(z)n1fX(z),随机变量极大值分布计算公式,29,因为X1,X2,Xn服从区间(0,a)上的均匀分布,有,因此,30,(2)类似地,有,Fmin(z)=Pmin(X1,X2,Xn)z,=1Pmin(X1,X2,Xn)z,=1PX1z,X2z,Xnz,=1PX1zPX2zPXnz,=11FX(z)n,于是,fmin(z)=n1FX(z)n1fX(z),随机变量极小值分布计算公式,31,因此得到,计算Z=G(X,Y)的概率密度,更多的时候是由通过积分运算而得到。,公式,32,随机变量之和的分布,设随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),Z=X+Y,则有,FZ(z)=PX+Yz,如图所示,x+y=z,x,y,o,33,变换,令x=uy,则,34,于是FZ(z)=,=,由连续型随机变量定义FZ(z)=,得到,fZ(z)=,35,作积分变量替换,令y=ux,然后可得到,fZ(z)=,当随机变量X,Y相互独立时,上述两个公式变化为,36,fZ(z)=,或者,fZ(z)=,这两个公式又称为卷积公式。,利用卷积公式,可以证明,37,正态分布具有再生性,设随机变量X,Y相互独立,并且XN(1,12),YN(2,22)则有X+YN(1+2,12+22)。,38,例9.设随机变量X,Y相互独立,均服从区间(a,b)上的均匀分布,求:Z=X+Y的概率密度fZ(z)。,解:由卷积公式,有,由于,39,因此,被积函数fX(x)fY(zx)当不等式axb与a0同时成立时不为0,否则均为0;满足这个条件的是y0且z0。于是,当z0时,fZ(z)=0;当z0时,50,即得到,
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