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第16讲等腰三角形与证明,总纲目录,泰安考情分析,基础知识过关,知识点一等腰三角形1.等腰三角形的性质(1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”).(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”).(3)等腰三角形是轴对称图形,有一条对称轴,顶角的平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴.温馨提示(1)若题目已知中没有明确边是底边还是腰,角没有明确是顶角还是底角,就需要分类讨论.(2)等腰三角形中“三线合一”是等腰三角形中常见辅助线的作法之一,一般是过顶点作底边上的高.,2.等腰三角形的判定(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形.(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称为“等角对等边”).温馨提示等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据,是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.,知识点二等边三角形1.等边三角形的性质(1)等边三角形具备等腰三角形的所有性质.(2)等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60.2.等边三角形的判定(1)三个角都相等的三角形是等边三角形.(2)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.,知识点三命题、定理与证明1.命题:判断一件事情的语句.(1)命题由题设和结论两部分组成.(2)命题的分类:正确的命题称为真命题;错误的命题称为假命题.(3)反例:符合命题的条件,但不满足命题的结论的实例,叫做反例.举反例是判断假命题的一种方法.只要找到一种情况不符合命题的结论,就可以证明该命题是假命题.(4)互逆命题:在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的题设,那么这两个命题称为互逆命题,每个命题都有互逆命题.,2.定理:经过证明的真命题叫做定理.因为定理的逆命题不一定都是真命题,所以不是所有的定理都有逆定理.推论:推论是由公理或定理推出的正确结论,它是真命题.,3.证明(1)证明的定义:根据题设、定义、公理或定理,经过逻辑推理来判断一个命题是否正确,这一推理过程称为证明.(2)证明的一般步骤:审题,找出命题的已知和结论;由题意画出图形,要有一般性;用数学语言写出已知和求证;分析证明的思路;写出证明过程,推理要严密.(3)反证法:从原命题结论的反面出发,通过正确的逻辑推理过程,导致矛盾的结果,从而肯定原命题结论正确的证明方法.,泰安考点聚焦,考点一等腰三角形的性质与判定例1(2017泰安)如图,四边形ABCD是平行四边形,点E是边CD上一点,且BC=EC,CFBE交AB于点F,P是EB延长线上一点,下列结论:BE平分CBF;CF平分DCB;BC=FB;PF=PC,其中正确结论的个数为(D)A.1B.2C.3D.4,解析BC=EC,CEB=CBE,四边形ABCD是平行四边形,DCAB,CEB=EBF,CBE=EBF,BE平分CBF正确;BC=EC,CFBE,ECF=BCF,CF平分DCB正确;DCAB,DCF=CFB,ECF=BCF,CFB=BCF,BF=BC,正确;FB=BC,CFBE,B点一定在FC的垂直平分线上,即PB垂直平分FC,PF=PC,正确.故选D.,变式1-1如图,在ABC中,A=36,AB=AC,BD是ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有(D)A.2个B.3个C.4个D.5个,解析AB=AC,ABC是等腰三角形;AB=AC,A=36,ABC=C=72,BD是ABC的角平分线,ABD=DBC=ABC=36,A=ABD=36,BD=AD,ABD是等腰三角形;在BCD中,BDC=180-DBC-C=180-36-72=72,C=BDC=72,BD=BC,BCD是等腰三角形;BE=BC,BD=BE,BDE是等腰三角形;BED=(180-36)2=72,ADE=BED-A=72-36=36,A=ADE,DE=AE,ADE是等腰三角形,图中的等腰三角形有5个.故选D.,考点二等边三角形的性质和判定中考解题指导等边三角形是特殊的三角形,三条边相等、三个角都等于60.在遇到等边三角形的问题时,注意从边和角两个方面分析并进行解答.,例2如图,已知ABC和ECD都是等边三角形,B、C、D在一条直线上.(1)求证:BE=AD;(2)求证:CF=CH;(3)求证:FCH是等边三角形;(4)求证:FHBD;(5)求EMD的度数.,解析(1)证明:ABC和ECD都是等边三角形,BCA=DCE=60,BCE=ACD,又ABC和ECD都是等边三角形,BC=AC,CE=CD,BCEACD,BE=AD.(2)证明:由(1)知,BCEACD,BEC=ADC,易知DCE=ECF=60,CD=CE,DCHECF,CF=CH.(3)证明:由(2)知,CF=CH,点B、C、D在一条直线上,ECF=60,FCH是等边三角形.,(4)证明:由(3)知,FCH是等边三角形,FHC=60=HCD,FHBD.(5)由(1)知,BCEACD,MEC=CDH,在BMD中,MBD+MDB=60,EMD=60.,变式2-1ABC是等边三角形,点D是BC上的一个动点(点D不与点B、C重合),ADE是等边三角形,过点E作BC的平行线,分别交AB、AC于点F、G,连接BE.如图所示,当点D在线段BC上时,求证:AEBADC.,证明ABC和ADE都是等边三角形,AE=AD,AB=AC,EAD=BAC=60,又EAB=EAD-BAD,DAC=BAC-BAD,EAB=DAC,在AEB和ADC中,AE=AD,EAB=DAC,AB=AC,AEBADC(SAS).,考点三命题、推理与证明例3(2017新泰模拟)下列命题中,正确的是(C)A.任意三点可以确定一个圆B.菱形的对角线相等C.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D.平行四边形的四条边相等,解析A.在同一直线上的三点不能确定一个圆,故错误;B.菱形的对角线垂直但不一定相等,故错误;C.正确;D.平行四边形的四条边不一定相等,故错误.,变式3-1下列命题中,是真命题的为(A)A.若ab,则c-ay2D.甲、乙两名射击运动员分别射击10次,他们射击成绩的方差分别为=4,=9,乙的发挥比甲稳定,一、选择题1.下列命题中,是真命题的为(B)A.两条对角线相等的四边形是矩形B.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形C.两条对角线互相垂直的四边形是菱形D.两条对角线相等的四边形是等腰梯形,随堂巩固训练,2.等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm,则它的周长为(C)A.16cmB.17cmC.20cmD.16cm或20cm3.已知等腰三角形三边长分别为a、b、2,且a、b正好是关于x的一元二次方程x2-6x+n-1=0的两根,则n的值为(C)A.9B.10C.9或10D.8或10,4.如图,在ABC中,AC=4cm,线段AB的垂直平分线交AC于点N,BCN的周长是7cm,则BC的长为(C)A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm,二、填空题5.如图,已知ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则E=15.,解析由DE=DF,CG=CD,可知ACB=4E=60,所以E=15.,6.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20,则顶角的度数是110或70.,解析根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,即可求得顶角是90+20=110;当等腰三角形的顶角是锐角时,腰上的高在其内部,故顶角是90-20=70.,三、解答题7.以点A为顶点作两个等腰直角三角形(ABC,ADE),如图所示放置,使得一直角边重合,连接BD,CE.(1)求证:BD=CE;(2)延长BD,交CE于点F,求BFC的度数.,解析(1)证明:在ABD和ACE中,AD=AE,DAB=EAC,AB=AC,ABDACE,BD=CE.(2)ABDACE,ABD=ACE.又ADB=CDF,ABD+ADB=ACE+CDF=90,BFC=90.,
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