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第6讲一元二次方程,总纲目录,泰安考情分析,基础知识过关,知识点一一元二次方程的相关概念,1.一元二次方程:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a0),其中ax2叫做二次项,a叫做二次项系数,bx叫做一次项,b叫做一次项系数,c叫做常数项.温馨提示判定一个方程是不是一元二次方程时要注意以下三点:(1)只含有一个未知数;(2)未知数的最高次数是2;(3)方程是整式方程.一元二次方程的一般形式要注意二次项系数a0这一条件.,2.一元二次方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根.,知识点二一元二次方程的解法,温馨提示解一元二次方程时,要根据方程的特点灵活选择合适的方法,一般优先考虑直接开平方法,然后考虑因式分解法,再次考虑公式法、配方法,公式法和配方法可以解所有判别式大于或等于零的一元二次方程.,知识点三一元二次方程的根的判别式及其应用关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式为b2-4ac,一般用符号表示.(1)b2-4ac0方程ax2+bx+c=0(a0)有两个不相等的实数根;(2)b2-4ac=0方程ax2+bx+c=0(a0)有两个相等的实数根;(3)b2-4ac.,解析关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+(k2-1)=0无实数根,=b2-4ac,故k的取值范围是k.易错警示若一元二次方程有实数根,则应该包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况,同时满足二次项系数不能为零,要注意考虑问题的全面性.,考点四一元二次方程根与系数的关系中考解题指导(1)已知x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根,求关于x1,x2的某个代数式的值,先把这个代数式变形为含有x1+x2和x1x2的式子,再把x1+x2和x1x2的值整体代入.(2)若给出了关于x1和x2的某个代数式的值或范围,要求未知字母系数的值或范围,先把这个代数式进行变形,转化为用x1+x2和x1x2表示的式子,然后根据所给的值或取值范围构造方程或不等式,从而求出未知字母系数的值或范围.,例4(2018潍坊)已知关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+=0有两个不相等的实数根x1,x2,若+=4m,则m的值是(A)A.2B.-1C.2或-1D.不存在,解析由题意得=-(m+2)2-4m=4m+40,且m0,解得m-1且m0,由题意知x1+x2=,x1x2=,所以+=4m,化简得m2-m-2=0,解得m1=2,m2=-1(舍去),所以m的值为2,故选A.,变式4-1(2017泰山模拟)一元二次方程x2-3x-2=0的两根为x1,x2,则下列结论正确的是(C)A.x1=-1,x2=2B.x1=1,x2=-2C.x1+x2=3D.x1x2=2,解析方程x2-3x-2=0的两根为x1,x2,x1+x2=3,x1x2=-2,C选项正确.,考点五一元二次方程的应用中考解题指导列方程解实际问题的关键:(1)找到等量关系.(2)在得到方程的解后,要检验它是否符合实际意义.考向1列方程解决实际问题,例5某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系,每盆植3株时,平均每株盈利4元;若每盆增加1株,平均每株盈利减少0.5元,要使每盆的盈利达到15元,每盆应多植多少株?设每盆多植x株,则可以列出的方程是(A)A.(x+3)(4-0.5x)=15B.(x+3)(4+0.5x)=15C.(x+4)(3-0.5x)=15D.(x+1)(4-0.5x)=15,解析由题意得每盆有这种花卉(x+3)株,平均每株盈利(4-0.5x)元,所以可列出的方程为(x+3)(4-0.5x)=15.考向2增长率(降低率)问题的考查,例6烟台市某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本,其中固定成本每年均为4万元,可变成本逐年增长,已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元,设可变成本平均每年增长的百分率为x.(1)第3年的可变成本用含x的代数式表示为2.6(1+x)2万元;(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元,求可变成本平均每年增长的百分率x.,解析(1)2.6(1+x)2.由第1年的可变成本为2.6万元可以表示出第2年的可变成本,为2.6(1+x)万元,则第3年的可变成本为2.6(1+x)2万元.(2)由养殖成本=固定成本+可变成本,得4+2.6(1+x)2=7.146,解得x1=0.1,x2=-2.1(不符合题意,舍去).所以可变成本平均每年增长的百分率为10%.,考向3利润问题的考查例7某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次,第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件,每件利润为10元.调查表明:生产的蛋糕产品每提高一个档次,该产品每件的利润增加2元.(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元,则此批次蛋糕属于第几档次的产品?(2)由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天产量会减少4件.若生产的某档次产品一天的总利润为1080元,则该烘焙店生产的是第几档次的蛋糕产品?,解析(1)根据生产的蛋糕产品每提高一个档次,每件产品的利润增加2元得(14-10)2+1=3,所以每件利润14元的蛋糕为第三档次产品.(2)设烘焙店生产的是第x档次的蛋糕产品,根据题意得2(x-1)+1076-4(x-1)=1080,整理得x2-16x+55=0,解得x1=5,x2=11(不合题意,舍去).答:该烘焙店生产的是第五档次的蛋糕产品.,考向4几何问题的考查例8王叔叔从市场上买了一块长80cm、宽70cm的矩形铁皮,准备制作一个工具箱.如图,他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为xcm的正方形后,剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方体工具箱,根据题意列方程为(C)A.(80-x)(70-x)=3000B.8070-42=3000C.(80-2x)(70-2x)=3000D.8070-42-(70+80)x=3000,解析由题意得剩余部分围成的工具箱的底面是长(80-2x)cm,宽(70-2x)cm的长方形,则由题意得(80-2x)(70-2x)=3000.,考向5单(双)循环问题的考查例9学校要组织足球比赛,赛制为单循环形式(每两队之间赛一场).计划安排21场比赛,应邀请多少支球队参赛?设邀请x支球队参赛.根据题意,下面所列方程正确的是(B)A.x2=21B.x(x-1)=21C.x2=21D.x(x-1)=21,解析邀请x个队参赛,则每个队都要进行(x-1)场比赛,但两队之间只有一场比赛,由题意得:x(x-1)=21.方法技巧列一元二次方程解决实际问题时,首先是将问题进行归类,明确其中的等量关系,其次是判断所求的解是否符合题意,舍去不合题意的解.,一、选择题1.(2017岱岳二模)将一元二次方程x2-6x-5=0配方后可变形为(A)A.(x-3)2=14B.(x-3)2=4C.(x+3)2=14D.(x+3)2=4,随堂巩固训练,2.(2017肥城一模)下列选项中,使关于x的一元二次方程ax2-4x+c=0一定有实数根的是(D)A.a0B.a=0C.c0D.c=0,3.(2017烟台)若x1,x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根,且x1+x2=1-x1x2,则m的值为(D)A.-1或2B.1或-2C.-2D,二、填空题,4.(2018德州)若x1,x2是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根,则x1+x2+x1x2=-3.,5.(2017新泰模拟)已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是a0,解得a0),所以x=,所以方程的两个根互为相反数,即m+1+2m-4=0,解得m=1,所以方程的两个根为2和-2,所以=2,故=4.,三、解答题7.2016年某市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售,因为楼盘滞销,房地产开发商为了加快资金周转,决定进行降价促销,经过连续两年下调,2018年的均价为每平方米5265元.(1)求平均每年下调的百分率;(2)假设2019年的均价仍然下调相同的百分率,张强准备购买一套100平方米的住房,他持有现金20万元,可以在银行贷款30万元,张强的愿望能否实现?(房价每平方米按照均价计算),解析(1)设平均每年下调的百分率为x,根据题意得,6500(1-x)2=5265,解得x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去).故平均每年下调的百分率为10%.(2)由题意可知2019年的均价为每平方米5265(1-10%)=4738.5元,则100平方米的住房总房款为1004738.5=47.385万元,因20+3047.385,所以张强的愿望能够实现.,
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