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,小结与复习,第三章圆,要点梳理,考点讲练,课堂小结,课后作业,一、圆的基本概念及性质,1.定义:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.,2.有关概念:,(1)弦、直径(圆中最长的弦),(2)弧、优弧、劣弧、等弧,(3)弦心距,要点梳理,3.不在同一条直线上的三个点确定一个圆.,二、点与圆的位置关系,A,B,C,O,d,r,dr,d=r,dr,三、圆的对称性,1.圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴.,2.圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合,即圆具有旋转不变性.,3.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等,4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等,AM=BM,若CD是直径,CDAB,垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.,四、垂径定理及推论,垂径定理的逆定理,CDAB,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.,M,定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角.,圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半.,五、圆周角和圆心角的关系,BAC=BOC,推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.,ADB与AEB、ACB是同弧所对的圆周角,ADB=AEB=ACB,推论：直径所对的圆周角是直角；,90的圆周角所对的弦是圆的直径.,推论：圆的内接四边形的对角互补.,六、直线和圆的位置关系,l,d,r,0,切线,dr,2,dr,d=r,1,割线,七、切线的判定与性质,1.切线的判定一般有三种方法：a.定义法：和圆有唯一的一个公共点b.距离法：d=rc.判定定理：过半径的外端且垂直于半径,2.切线的性质圆的切线垂直于过切点的半径.,切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.,切线长：从圆外一点引圆的切线，这个点与切点间的线段的长称为切线长.,3.切线长及切线长定理,八、三角形的内切圆及内心,1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.,2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.,3.三角形的内心就是三角形的三条角平分线的交点.,三角形的内心到三角形的三边的距离相等.,重要结论,问题1,O,C,D,A,B,M,半径R,圆心角,弦心距r,弦a,圆心,中心角,A,B,C,D,E,F,O,半径R,边心距r,中心,类比学习,圆内接正多边形,外接圆的圆心,正多边形的中心,外接圆的半径,正多边形的半径,每一条边所对的圆心角,正多边形的中心角,弦心距,正多边形的边心距,M,九、圆内接正多边形,1.正n边形的中心角=,3.正n边形的边长a，半径R，边心距r之间的关系：,a,R,r,4.边长a，边心距r的正n边形面积的计算：,其中l为正n边形的周长.,2.正多边形的内角=,（1）弧长公式：（2）扇形面积公式：,十、弧长及扇形的面积,例1如图，在O中，ABC=50，则CAO等于（）,A30B40C50D60,B,例2在图中，BC是O的直径，ADBC,若D=36,则BAD的度数是（）A.72B.54C.45D.36,B,例3O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分别是方程x26x80的两根，则点A与O的位置关系是（）A点A在O内部B点A在O上C点A在O外部D点A不在O上,解析：此题需先计算出一元二次方程x26x80的两个根，然后再根据R与d的之间的关系判断出点A与O的关系.,D,1.如图所示，在圆O中弦ABCD，若ABC=50，则BOD等于（）A50B40C100D80,C,针对训练,135,2.如图a，四边形ABCD为O的内接正方形，点P为劣弧BC上的任意一点（不与B,C重合），则BPC的度数是.,例4工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为mm.,8,C,D,O,解析设圆心为O，连接AO,作出过点O的弓形高CD，垂足为D,可知AO=5mm,OD=3mm,利用勾股定理进行计算，AD=4mm，所以AB=8mm.,针对训练,D,P,例5如图，在RtABC中，ABC=90，以AB为直径的O交AC于点D，连接BD.,解：（1）AB是直径，ADB=90.,AD=3，BD=4，AB=5.,CDB=ABC，A=A，ADBABC，,即BC=,（1）若AD=3，BD=4，求边BC的长.,又OBD+DBC=90，C+DBC=90，,C=OBD，BDO=CDE.,AB是直径，ADB=90，,BDC=90，即BDE+CDE=90.,BDE+BDO=90，即ODE=90.ED与O相切.,（2）证明：连接OD，在RtBDC中，,E是BC的中点，CE=DE，C=CDE.,又OD=OB，ODB=OBD.,（2）取BC的中点E，连接ED，试证明ED与O相切.,例6（多解题）如图，直线AB,CD相交于点O，AOD=30,半径为1cm的P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm,如果P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么秒钟后P与直线CD相切.,4或8,解析：根本题应分为两种情况：(1)P在直线CD下面与直线CD相切；(2)P在直线CD上面与直线CD相切.,A,B,D,C,P,P2,P1,E,o,解析连接BD，则在RtBCD中，BEDE，利用角的互余证明CEDC.,例7如图，在RtABC中，ABC=90，以AB为直径的O交AC于点D，过点D的切线交BC于E.（1）求证：BC=2DE.,解：（1）证明：连接BD，,AB为直径，ABC=90，BE切O于点B.,又DE切O于点D，DE=BE，EBD=EDB.,ADB=90，EBD+C=90，BDE+CDE=90.C=CDE，DE=CE.BC=BE+CE=2DE.,（2）DE=2，BC=2DE=4.,在RtABC中，,AB=BC=,在RtABC中，,又ABDACB，,即,（2）若tanC=,DE=2，求AD的长.,例8如图，已知灯塔A的周围7海里的范围内有暗礁，一艘渔轮在B处测得灯塔A在北偏东60的方向，向东航行8海里到达C处后，又测得该灯塔在北偏东30的方向，如果渔轮不改变航向，继续向东航行，有没有触礁的危险？请通过计算说明理由.（参考数据=1.732）,解析：灯塔A的周围7海里都是暗礁，即表示以A为圆心，7海里为半径的圆中，都是暗礁.渔轮是否会触礁，关键是看渔轮与圆心A之间的距离d的大小关系.,D,解：如图，作AD垂直于BC于D，根据题意，得BC=8.设AD为x.ABC=30，AB=2x.BD=x.ACD=90-30=60，AD=CDtan60，CD=.BC=BD-CD=8.解得x=,即渔船继续往东行驶，有触礁的危险.,5.如图b，线段AB是直径，点D是O上一点，CDB=20,过点C作O的切线交AB的延长线于点E,则E等于.,50,针对训练,6.如图，以ABC的边AB为直径的O交边AC于点D，且过点D的切线DE平分边BC.问：BC与O是否相切？,解：BC与O相切理由：连接OD，BD，DE切O于D，AB为直径，EDOADB90.又DE平分CB，DEBCBE.EDBEBD.又ODBOBD，ODBEDB90，OBDDBE90，即ABC90.BC与O相切,例9如图，四边形OABC为菱形，点B、C在以点O为圆心的圆上,OA=1,AOC=120，1=2，求扇形OEF的面积？,解：四边形OABC为菱形OC=OA=1AOC=120，1=2FOE=120又点C在以点O为圆心的圆上,8.一条弧所对的圆心角为135，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为.,40cm,针对训练,9.如图，在正方形ABCD内有一条折线段，其中AEEF，EFFC，已知AE=6，EF=8，FC=10，求图中阴影部分的面积.,解：将线段FC平移到直线AE上，此时点F与点E重合，点C到达点C的位置.连接AC，如图所示.,根据平移的方法可知，四边形EFCC是矩形.,AC=AE+EC=AE+FC=16，CC=EF=8.,在RtACC中，得,正方形ABCD外接圆的半径为,正方形ABCD的边长为,例10若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的面积为_.,10.如图，正六边形ABCDEF内接于半径为5的O，四边形EFGH是正方形求正方形EFGH的面积；,解：正六边形的边长与其半径相等，EF=OF=5.四边形EFGH是正方形，FG=EF=5，正方形EFGH的面积是25.,针对训练,正六边形的边长与其半径相等，OFE=600.正方形的内角是900，OFG=OFE+EFG=600+900=1500.由得OF=FG，OGF=（1800-OFG）=（1800-1500）=150.,连接OF、OG，求OGF的度数,例11如图，在平面直角坐标系中，P经过x轴上一点C，与y轴分别交于A，B两点，连接AP并延长分别交P，x轴于点D，E，连接DC并延长交y轴于点F，若点F的坐标为（0，1），点D的坐标为（6，1）.（1）求证：CD=CF；（2）判断P与x轴的位置关系，并说明理由；（3）求直线AD的函数表达式.,解：（1）证明：过点D作DHx轴于H，则CHD=COF=90，如图所示.点F（0，1），点D（6，-1），DH=OF=1.FCO=DCH，FOCDHC，CD=CF.（2）P与x轴相切.理由如下：连接CP，如图所示.AP=PD，CD=CF，CPAF.PCE=AOC=90.P与x轴相切.,（3）由（2）可知CP是ADF的中位线.AF=2CP.AD=2CP，AD=AF.连接BD，如图所示.AD为P的直径，ABD=90.,BD=OH=6，OB=DH=OF=1.设AD=x，则AB=AFBF=ADBF=AD(OB+OF）=x2.在RtABD中，由勾股定理，得AD2=AB2+BD2，即x2=（x2）2+62，解得x=10.OA=AB+OB=8+1=9.点A（0，9）.设直线AD的函数表达式为y=kx+b，把点A（0，9），D（6，1）代入，得解得直线AD的函数表达式为.,圆,圆的有关性质,与圆有关的位置关系,与圆有关的计算,垂径定理,添加辅助线,连半径，作弦心距，构造直角三角形,圆周角定理,添加辅助线,作弦，构造直径所对的圆周角,点与圆的位置关系,点在圆环内：rdR,直线与圆的位置的关系,添加辅助线证切线,有公共点，连半径，证垂直；无公共点，作垂直，证半径；见切点，连半径，得垂直.,正多边形和圆,转化,直角三角形,弧长和扇形,灵活使用公式,课堂小结,
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