多维随机变量及其分布.ppt

4.1二维随机变量4.2边缘分布4.3条件分布4.4相互独立的随机4.5两个随机变量的函数的分布4.6小结,第四节多维随机变量及其分布,4.1.1二维随机变量定义4.1.1若X,Y是两个定义在同一个样本空间S上的随机变量，则称(X,Y)是二维随机变量.同理可定义n维随机变量(随机向量).,4.1二维随机变量,定义4.1.2,4.1.2联合分布函数,F(x,y)=P(Xx)(Yy)P(Xx,Yy),为(X,Y)的分布函数，或称联合分布函数.,(以下仅讨论二维随机变量),任对实数x和y,称,注意：,F(x,y)为(X,Y)落在点(x,y)的左下区域的概率.,X,Y,x,y,(x,y),推论,4.1.2联合分布函数,P(x1Xx2),(y1Yy2)PXx2,Yy2PXx2,Yy1PXx1,Yy2PXx1,Yy1F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y2)F(x1,y1),联合分布函数的基本性质,(1)F(x,y)关于x和y分别单调增.,(2)0F(x,y)1，且,F(,y)=F(x,)=0，,F(+,+)=1.,(3)F(x,y)关于x和y分别右连续.,(4)当ab,cd时，有,F(b,d)F(b,c)F(a,d)+F(a,c)0.,注意：上式左边=P(aXb,cYd).,(单调性),(有界性),(右连续性),(非负性),二维离散随机变量,4.1.3联合分布律,若(X,Y)的可能取值为有限对、或可列对，则称(X,Y)为二维离散随机变量.,二维离散分布的联合分布律,称,pij=P(X=xi,Y=yj)，i,j=1,2,.,为(X,Y)的联合分布律，,其表格形式如下:,Y,X,y1y2yj,x1x2xi,p11p12p1jp21p22p2jpi1pi2pij,联合分布律的基本性质,(1)pij0,i,j=1,2,(2)pij=1.,(非负性),(正则性),确定联合分布律的方法,(1)确定随机变量(X,Y)的所有取值数对.,(2)计算取每个数值对的概率.,(3)列出表格.,例4.1.1将一枚均匀的硬币抛掷4次，X表示正面向上的次数，Y表示反面朝上次数。求(X,Y)的联合分布律.,XY0413223140,P(X=0,Y=4)=,P(X=2,Y=2)=,=1/4,=6/16,P(X=3,Y=1)=,=1/4,P(X=4,Y=0)=0.54=1/16,P(X=1,Y=3)=,0.54=1/16,解：概率非零的(X,Y)可能取值对为:,其对应的概率分别为：,=3/8,X01234,Y01234,表格为：,00001/160001/40006/160001/40001/160000,例4.1.2设随机变量YN(0,1),解:(X1,X2)的可能取值数对及相应的概率如下：,P(X1=0,X2=0)=P(|Y|1,|Y|2),=P(|Y|2),=22(2)=0.0455,P(X1=0,X2=1)=P(|Y|1,|Y|2),=P(1|Y|2),=2(2)(1),=0.2719,P(X1=1,X2=0)=P(|Y|1,|Y|2)=0,P(X1=1,X2=1)=P(|Y|1,|Y|2),=P(|Y|1),=0.6826,求,的联合分布列.,列表为：,X101,X201,0.04550.271900.6826,例4.1.3,设随机变量X在1，2，3，4四个整数中等可能地取值，另一个随机变量Y在1到X中等可能地取一整数值。试求（X,Y）的联合分布律.,设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，若存在非负可积函数f(x,y)，使得,4.1.4联合密度函数,则称(X,Y)为二维连续型随机变量。,称f(x,y)为联合概率密度，或概率密度。,联合密度函数的基本性质,(1)f(x,y)0.(非负性),(2),注意：,(正则性),例4.1.4,若(X,Y),试求常数A.,解:,所以,A=6,=A/6,例4.1.5,若(X,Y),试求FX2,Y1.,解:FX2,Y1,2,1,x2,y1,例4.1.6,若(X,Y),试求P(X,Y)D,其中D为2x+3y6.,3,2,2x+3y=6,解:,一、多项分布,4.1.5常用多维分布,若每次试验有r种结果：A1,A2,Ar,记P(Ai)=pi,i=1,2,r,记Xi为n次独立重复试验中Ai出现的次数.,则(X1,X2,Xr)的联合分布律为：,二、多维超几何分布,从中任取n只，,记Xi为取出的n只球中，第i种球的只数.,口袋中有N只球，分成r类。,第i种球有Ni只，N1+N2+Nr=N.,则(X1,X2,Xr)的联合分布律为：,三、二维均匀分布,若二维连续随机变量(X,Y)的联合密度为：,则称(X,Y)服从D上的均匀分布，,记为(X,Y)U(D).,其中SD为D的面积.,四、二维正态分布,若二维连续随机变量(X,Y)的联合密度为：,则称(X,Y)服从二维正态分布，,记为(X,Y)N().,4.2边缘分布,问题：已知二维随机变量(X,Y)的分布，,如何求出X和Y各自的分布？,4.2.1边缘分布函数,巳知(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，,则,YFY(y)=F(+,y).,XFX(x)=F(x,+),称为关于X和Y的边缘分布函数,4.2.2边缘分布律,巳知(X,Y)的联合分布律为pij，,则,X的边缘分布律为：,Y的边缘分布律为：,X,Y,4.2.3边缘密度函数,巳知(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)，,则,X的边缘密度函数为：,Y的边缘密度函数为：,由联合分布可以求出边缘分布.但由边缘分布一般无法求出联合分布.所以联合分布包含更多的信息.,注意点(1),二维正态分布的边缘分布是一维正态分布：若(X,Y)N()，,注意点(2),则XN()，,YN().,二维均匀分布的边缘分布不一定是一维均匀分布.,例4.2.2设二维随机变量(X,Y)的密度函数为,求概率PX+Y1.,解:,PX+Y1=,y=x,x+y=1,1/2,例4.2.1设(X,Y)服从区域D=(x,y),x2+y21时，p(x,y)=0，所以p(x)=0,当|x|1时,不是均匀分布,对二维随机变量(X,Y),在给定Y取某个值的条件下,X的分布;在给定X取某个值的条件下,Y的分布.,4.3条件分布,(1)条件分布律：,4.3.1条件分布,(2)条件概率密度：,(4)条件分布函数：,若满足以下之一:i)F(x,y)=FX(x)FY(y)，通式ii)pij=pi.p.j，离散随机变量iii)f(x,y)=fX(x)fY(y)，连续随机变量则称X与Y是独立的，,4.4相互独立的随机变量,(1)变量X与Y是独立的其本质是：,注意点,任对实数a,b,c,d，有,(2)X与Y是独立的，则g(X)与h(Y)也是独立的.,例4.4.1,(X,Y)的联合分布律为:,问X与Y是否独立？,解:边缘分布律分别为:,X01P0.70.3,Y01P0.50.5,因为,所以不独立,例4.4.2,已知(X,Y)的联合密度为,问X与Y是否独立？,所以X与Y独立。,注意：f(x,y)可分离变量.,解:边缘分布密度分别为:,注意点(1),(1)(X,Y)服从矩形上的均匀分布，则X与Y独立.,(2)(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，则X与Y不独立.见前面例子,(3)联合密度f(x,y)的表达式中，若x的取值与y的取值有关系，则X与Y不独立.体现在变量的取值范围。,注意点(2),(4)若联合概率密度f(x,y)可分离变量，即f(x,y)=g(x)h(y)则X与Y独立。,(5)若(X,Y)服从二元正态N()则X与Y独立的充要条件是=0.,4.4.2n维随机变量,设n维随机变量(X1,X2,Xn)的分布函数为F(x1,x2,xn)，则,则称f(x1,x2,xn)为n维概率密度函数。,F(x1,x2,xn)=P(X1x1,X2x2,Xnxn),n维随机变量的边缘分布,设n维随机变量(X1,X2,Xn)关于X1，关于(X1,X2)的边缘分布函数分别为：,n维随机变量的独立性,则称X1,X2,Xn是相互独立的;,则称随机变量和是相互独立的。,4.5两个随机变量的函数的分布,问题：已知二维随机变量(X,Y)的分布，,如何求出Z=g(X,Y)的分布？,(1)设(X1,X2,Xn)是n维离散随机变量，而Z=g(X1,Xn)是一维离散随机变量.,4.5.1多维离散随机变量函数的分布,(2)多维离散随机变量函数的分布是容易求的：,i)对(X1,X2,Xn)的各种可能取值对，写出Z相应的取值.,ii)对Z的相同的取值，合并其对应的概率.,4.5.2连续函数的卷积公式,定理4.5.1设连续随机变量X与Y独立，则Z=X+Y的密度函数为,离散函数的卷积公式,设离散随机变量X与Y独立，则Z=X+Y的分布律为,卷积公式的应用,例4.5.1X与Y是独立同分布的标准正态变量，求Z=X+Y的分布.,解：,所以Z=X+YN(0,2).,进一步的结论见后,例4.5.2设X与Y独立，XU(0,1),YExp(1).试求Z=X+Y的密度函数.,解:,被积函数的非零区域为：,00,用卷积公式：,(见下图),x,z,1,z=x,因此有,(1)z0时,fZ(z)=0;,(2)0z1时,fZ(z)=,(3)1z时,fZ(z)=,1,分布的可加性,若同一类分布的独立随机变量和的分布仍是此类分布，则称此类分布具有可加性.,二项分布的可加性,若Xb(n1,p)，Yb(n2,p)，,注意：若Xib(1,p)，且独立，则Z=X1+X2+Xnb(n,p).,且独立，,则Z=X+Yb(n1+n2,p).,泊松分布的可加性,若XP(1)，YP(2)，,注意：XY不服从泊松分布.,且独立，,则Z=X+YP(1+2).,正态分布的可加性,若XN()，YN()，,注意：XY不服从N().,且独立，,则Z=XYN().,XYN().,独立正态变量的线性组合仍为正态变量.(见下),独立正态变量的线性组合仍为正态变量,XiN(i,i2),i=1,2,.n.且Xi间相互独立,实数a1,a2,.,an不全为零,则,伽玛分布的可加性*,若XGa(1,)，YGa(2,)，,注意：XY不服从Ga(12,).,且独立，,则Z=X+YGa(1+2,).,注意点,(1)独立的0-1分布随机变量之和服从二项分布.,(2)独立的指数分布随机变量之和服从伽玛分布.,4.5.3最大值与最小值分布,例4.5.3设X与Y独立，且X,Y等可能地取值0和1.求Z=max(X,Y)的分布律.,解:,X01P1/21/2,Y01P1/21/2,Z=max(X,Y)的取值为:0,1,P(Z=0)=P(X=0,Y=0),=P(X=0)P(Y=0),=1/4,P(Z=1),=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1),=3/4,设X1,X2,Xn,独立同分布，其分布函数和密度函数分别为FX(x)和fX(x).,一般情况,若记,Y=max(X1,X2,Xn),Z=min(X1,X2,Xn),则,Y的分布函数为:,FY(y)=FX(y)n,Y的密度函数为:,fY(y)=nFX(y)n1fX(y),Z的分布函数为:,FZ(z)=11FX(z)n,Z的密度函数为:,fZ(z)=n1FX(z)n1fX(z),4.5.4变量变换法*,已知(X,Y)的分布，(X,Y)的函数,求(U,V)的分布.,变量变换法的具体步骤,有连续偏导、存在反函数,则(U,V)的联合密度为,若,其中J为变换的雅可比行列式：,增补变量法,可增补一个变量V=g2(X,Y)，,若要求U=g1(X,Y)的密度pU(u)，,先用变量变换法求出(U,V)的联合密度fUV(u,v)，,用此方法可以求出卷积公式、积的公式、商的公式,然后再由联合密度fUV(u,v)，去求出边际密度fU(u),4.6小结,基本概念：二维随机变量、分布函数、离散型二维随机变量及其分布律合和边缘分布律、连续型二维随机变量及其概率密度和边缘概率密度、条件分布函数、条件分布律、条件概率密度、两个随机变量的独立性、Z=X+Y的概率密度、最大最小概率密度；分布函数的计算：二维随机变量的分布函数：F(x,y)=P(Xx,Yy)Z=X+Y的概率密度：卷积公式最大最小概率密度：公式见P64,