多元函数微分法的应用.ppt

第六讲多元函数微分法的应用,一、多元函数微分学的几何应用,二、方向导数与梯度,三、多元函数的极值及其求法,1、空间曲线的切线与法平面,过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法,机动目录上页下页返回结束,位置.,空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限,平面.,点击图中任意点动画开始或暂停,一、几何应用,(1).曲线方程为参数方程的情况,切线方程,机动目录上页下页返回结束,切线的方向向量:,称为曲线的切向量.,法平面方程,例1.,求圆柱螺旋线,对应点处的切线方程和法平面方程.,切线方程,法平面方程,即,即,解:由于,对应的切向量为,在,机动目录上页下页返回结束,故,(2)曲线为一般式的情况,光滑曲线,曲线上一点,处的切向量为,例3.求曲线,在点,M(1,2,1)处的切线方程与法平面方程.,解令,则,切向量,机动目录上页下页返回结束,切线方程,即,法平面方程,即,2、曲面的切平面与法线,设有光滑曲面,通过其上定点,任意引光滑曲线,可以证明:,此平面称为在该点的切平面.,机动目录上页下页返回结束,上过点M的任何曲线在该点的切线都在同一,平面上.,过点M与切平面垂直的直线称为法线,曲面在点M的法向量,法线方程,切平面方程,复习目录上页下页返回结束,时,则在点,法线方程,令,特别,当光滑曲面的方程为显式,切平面方程,机动目录上页下页返回结束,的法向量,例4.求曲面,在点(1,2,3)处的切,平面及法线方程.,解:,所以曲面在点(1,2,3)处有:,切平面方程,即,法线方程,法向量,令,机动目录上页下页返回结束,思考与练习,1.如果平面,与椭球面,相切,提示:设切点为,则,机动目录上页下页返回结束,(二法向量平行),(切点在平面上),(切点在椭球面上),2.求曲线,在点(1,1,1)的切线,解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为,因此切线的方向向量为,由此得切线:,法平面:,即,与法平面.,机动目录上页下页返回结束,1、方向导数,定义:若函数,则称,为函数在点P处沿方向l的方向导数.,在点,处,沿方向l(方向角为,)存在下列极限:,机动目录上页下页返回结束,记作,二、方向导数与梯度,定理:,则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,证明:由函数,且有,在点P可微,得,机动目录上页下页返回结束,故,机动目录上页下页返回结束,对于二元函数,为,)的方向导数为,特别:,当l与x轴同向,当l与x轴反向,向角,例1.求函数,在点P(1,1,1)沿向量,3)的方向导数.,机动目录上页下页返回结束,例2.求函数,从点P(1,0)到点,的方向导数.,解:,机动目录上页下页返回结束,2、梯度,方向导数公式,令向量,说明,方向：f变化率最大的方向,模:f的最大变化率之值,机动目录上页下页返回结束,定义,即,同样可定义二元函数,称为函数f(P)在点P处的梯度,记作,(gradient),在点,处的梯度,机动目录上页下页返回结束,说明:,的方向为函数增大最快的方向,向量,例3.设函数,求梯度,解:,例4.设函数,求函数在点,增加最快的方向，,并求沿这个方,向的方向导数。,解:沿梯度方向函数增加最快,所求方向为,例5.设函数,(1)求函数在点M(1,1,1)处沿曲线,在该点切线方向的方向导数;,(2)求函数在M(1,1,1)处的梯度,机动目录上页下页返回结束,解:,(1),曲线,在点,M(1,1,1)处切线的方向向量,机动目录上页下页返回结束,三、多元函数的极值,定义:若函数,则称函数在该点取得极大值(极小值).,例如:,在点(0,0)有极小值;,在点(0,0)有极大值;,在点(0,0)无极值.,极大值和极小值,统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,的某邻域内有,机动目录上页下页返回结束,1、极值的定义及求法,说明:使偏导数都为0的点称为驻点.,例如,定理1(必要条件),函数,偏导数,证:,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.,取得极值,取得极值,取得极值,但驻点不一定是极值点.,有驻点(0,0),但在该点不取极值.,且在该点取得极值,则有,存在,故,机动目录上页下页返回结束,时,具有极值,定理2(充分条件),的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且,令,则:1)当,A0时取极小值.,2)当,3)当,时,没有极值.,时,不能确定,需另行讨论.,若函数,机动目录上页下页返回结束,例1.,求函数,解:第一步求驻点.,得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).,第二步判别.,在点(1,0)处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,机动目录上页下页返回结束,在点(3,0)处,不是极值;,在点(3,2)处,为极大值.,在点(1,2)处,不是极值;,机动目录上页下页返回结束,第二步求驻点,定解,第一步找目标函数,确定定义域,2.函数的最值问题,机动目录上页下页返回结束,第三步,由问题的实际背景可知最值在区域内部取得,且只有一个驻点P时,则,为最小值,(大),例2.,解:设水箱长,宽分别为x,ym,则高为,则水箱所用材料的面积为,令,得驻点,某厂要用铁板做一个体积为2,根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?,因此可,断定此唯一驻点就是最小值点.,即当长、宽均为,高为,时,水箱所用材料最省.,机动目录上页下页返回结束,3、条件极值,极值问题,无条件极值:,条件极值:,条件极值的求法:,方法1代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,例如,机动目录上页下页返回结束,例3.,解:由约束条件有,得：,故,时，函数有极小值,方法2拉格朗日乘数法.,步骤：,2.解方程组，求驻点,机动目录上页下页返回结束,1.引入辅助函数,3.定解,辅助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.,利用拉格,朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.,例4.,要设计一个容量为,则问题为求x,y,令,解方程组,解:设x,y,z分别表示长、宽、高,下水箱表面积,最小.,z使在条件,水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？,的长方体开口水箱,试问,机动目录上页下页返回结束,得唯一驻点,由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省.,因此,当高为,机动目录上页下页返回结束,已知平面上两定点A(1,3),B(4,2),试在椭圆,圆周上求一点C,使,ABC面积S最大.,解:,设C点坐标为(x,y),则,机动目录上页下页返回结束,例5.,设拉格朗日函数,解方程组,得唯一驻点,故,在点C处三角形的面积最大,机动目录上页下页返回结束,