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,61横截面上的应力62拉压杆的强度计算63斜截面上的应力64拉（压）杆的变形和位移65拉（压）杆的应变能66低碳钢和铸铁受拉伸和压缩时的力学性能67简单的拉、压超静定问题78拉（压）杆接头的计算,第六章拉伸和压缩,6-4拉（压）杆的变形和位移,一、变形,纵向变形,横向变形,纵向线应变,横向线应变,正负号规定：伸长为正，缩短为负。,二、虎克定律,实验表明：当材料在线性弹性范围内，拉（压）杆的纵向变形与轴力和杆的原长成正比，而与横截面面积成反比，即,引入比例常数,虎克定律,E：材料的杨氏弹性模量，其值与材料性质有关，由实验测定，常用单位为Mpa。,将代入虎克定律，可得,EA:抗拉（抗压）刚度,或,虎克定律的又一表达式,当材料在线性弹性范围内，利用虎克定律便可由正应力求得相应的线应变，或由线应变求得相应的正应力。,实验表明：当材料在线性弹性范围内，横向线应变和纵向线应变之间保持一定的比例关系。,设比值之绝对值为，则有,或,三、横向变形系数（泊松比）,：材料的横向变形系数，或泊松比，是一个无量纲的量。其值与材料性质有关，由实验测定。,解：,（1）作杆的轴力图,（2）计算每段杆的伸长,例1：图示为一阶梯形钢杆，已知：钢杆的弹性模量。试求：,（1）每段杆的伸长（纵向变形）；（2）每段杆的纵向线应变；（3）整个杆的总伸长。,小变形,（3）计算每段杆的纵向线应变,（4）计算整个杆的总伸长,例2：图示为一吊架结构的计算简图。CA是钢杆，横截面面积，弹性模量；DB是铜杆，横截面面积，弹性模量。设水平梁AB的刚度很大，其变形可忽略不计,解：,（1）求两吊杆的轴力,取梁AB为研究对象，由平衡条件可得,分析！,。（1）现欲使吊杆变形之后，梁AB仍保持水平，求荷载离DB杆的距离x。（2）在上述条件下，欲使水平梁的竖向位移不超过2mm，求荷载P的最大值。,（2）求两吊杆的变形,（3）求x,欲使梁AB保持水平，则要求A点和B点的竖向位移相等，也就是要求两吊杆的变形相同。即,解得,（4）求荷载的最大值,将x代入，得,欲使,即有,例3：图示为一等截面直杆，已知杆长L，横截面面积A，材料容重，弹性模量E。试求由自重引起的横截面上的正应力和杆的总伸长。,解：,（1）计算轴力并作轴力图,作横截面m-m，设距下端为x，并取下面杆段为研究对象，则有,即轴力随截面位置而线性变化，轴力图如图所示。且,（2）计算横截面上的正应力,（3）计算杆的总伸长,取长为dx的微段作为研究对象，画出受力图。,如果略去高阶微量，则微段的轴力就为常量。于是微段的伸长为,整个杆的总伸长为,或：,结论：等直杆由自重引起的伸长，等于将自重作为集中荷载作用于杆端时所引起的伸长的一半。,说明,公式仅适用于横截面面积和轴力均为常量的情况。,当杆件轴力沿轴线变化或（和）横截面沿轴线平缓变化时，应用下式计算杆件的变形。,6-5拉（压）杆内的应变能,一、应变能的概念,固体（这里仅讨论弹性体）在外力作用下，因变形而储存的能量称为应变能或变形能。,二、拉（压）杆内的应变能U,当荷载由0缓慢增至P，则荷载所作总功为,如果忽略动能（荷载缓慢增加）、热能等能量，则根据能量守恒原理，可得杆件内的应变能,若杆件轴力和刚度均为常量，则由虎克定律，上式又可改写为,说明：,（1）适应范围：材料在线性弹性范围内。否则，公式中的系数就不是。,（2）单位：焦耳（J）。,复习,变形与轴力的一次方成正比。当轴力为拉力时，变形为拉伸变形（杆段伸长）；当轴力为压力时，变形为压缩变形（杆段缩短）。因此，整个杆件的总伸长应为各杆段变形的代数和。,应变能与轴力的二次方成正比。不管轴力为拉力还是为压力，都存储应变能，且整个杆件（系统）内的应变能应为各杆段（杆件）内应变能的和。,1、比能的定义,单位体积内所存储的应变能。,2、计算公式,当N和A均为常量即应力均匀,三、拉（压）杆内的比能,3、单位：,例5：试求例2中托架系统内的应变能及外力所作的功。,解：,（1）先求系统内的应变能,由例2得知,代入得,（2）再求外力作功,由例2得知,故有,由此可见，外力作功等于杆件系统内的应变能，满足能量守恒原理。,反过来，我们也可以在求得应变能的基础上，利用，求位移。,能量法,例6：图示为一简易起重机。BD杆为无缝钢管，外径90mm，壁厚2.5mm，杆长。弹性模量。BC是两条横截面面积为172的钢索，弹性模量。若不考虑立柱的变形，试求B点的垂直位移。设P=30kN。,解：,（1）计算钢索和杆的长度和面积,由几何关系求得,（2）计算钢索和杆的轴力,取节点B为研究对象，由平衡条件可得,（3）计算系统的应变能,（4）计算位移,例7：图示为一等直杆，其抗拉（压）刚度为EA,受力情况如图所示。,问题一,总伸长是否为？,问题二,应变能是否为？,问题三,若，（常量），则应变能的最大值和最小值分别为多少？,当时：,当时：,作业：P119120713715（1）718,由于B点固定，A点的位移即。,说明：,（1）若求得杆段的纵向变形为正，则该杆段伸长；反之，该杆段缩短。,如：AB段伸长，BC段缩短，整个杆也是缩短的。,（2）杆段的纵向变形也就是该杆段两个端截面之间的相对纵向位移。,（相互离开）,（相互靠拢）,思考：,如何求某截面的绝对纵向位移？,四、位移,1、定义,杆件各截面（或点）位置的移动称为位移。,2、与变形的关系,位移和变形既有联系，又有区别。,位移可分为绝对位移和相对位移。,相对位移就等于变形，而绝对位移除变形外，还与杆件的外部约束有关。,例2：图示为一简单托架。BC杆为圆钢，直径d=20mm，BD杆为8号槽钢。已知：。试求B点的位移。,解：,（1）求两杆轴力,取节点为研究对象，有,（2）求两杆变形,（3）求B点的位移,假想将托架在节点B处拆开，并使CB杆伸长至，DB杆缩短至。因变形微小，故在点作的垂线，在点作的垂线，两垂线之交点即为点B变形后的位置，即为所求位移。,B点的水平位移,B点的竖直位移,B点的位移,
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