分类加法计数原理和分步乘法计数原理.ppt

,2008年29届夏季奥运会在北京举行奥运会足球赛共有个队参赛它们先分成个小组进行循环赛，决出强，这个队按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外还决出了第三、第四名问一共安排了多少场比赛？,实际问题,要回答这个问题，就要用到排列、组合的知识在运用排列、组合方法时，经常要用到分类计数原理与分步计数原理,用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？,问题1,问题2.从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4班,汽车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?,分析:从甲地到乙地有3类方法,第一类方法,乘火车，有4种方法;第二类方法,乘汽车，有2种方法;第三类方法,乘轮船,有3种方法;所以从甲地到乙地共有4+2+3=9种方法。,一、分类计数原理,完成一件事，有两类办法.在第1类办法中有m种不同的方法，在第2类方法中有n种不同的方法，则完成这件事共有,2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数.,1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原理又称加法原理,说明,N=m+n种不同的方法,问题3、用前6个大写英文字母和19九个阿拉伯数字，以A1，A2，B1，B2，的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？,字母数字得到的号码A,123456789,A1A2A3A4A5A6A7A8A9,树形图,二、分步计数原理,完成一件事，需要两个步骤。做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，则完成这件事共有,2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数.,1）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数,又称乘法原理,说明,N=mn种不同的方法,联系,区别一,完成一件事情共有n类办法，关键词是“分类”,完成一件事情,共分n个步骤，关键词是“分步”,区别二,每类办法都能独立完成这件事情。,每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能能独立完成这件事情，缺少任何一步也不能完成这件事情，只有每个步骤完成了，才能完成这件事情。,分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题。,区别三,各类办法是互斥的、并列的、独立的,各步之间是相关联的,分类计数与分步计数原理的区别和联系：,解：这名同学在A大学中有5种专业选择，在B大学中有4种专业选择。,根据分类计数原理：这名同学可能的专业选择共有5+49种。,例2、设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？,例3、肥城市的部分电话号码是0538323,后面每个数字来自09这10个数,问可以产生多少个不同的电话号码?,变式:若要求最后4个数字不重复,则又有多少种不同的电话号码?,0538323,分析:,分析:,例4、书架上第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育杂志.,(2)从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同取法?,N43+29,N43224,(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?,解：需先分类再分步.,（3）从书架上取2本不同种的书,有多少种不同的取法?,根据两个基本原理，不同的取法总数是N=43+42+32=26,第一类：从一、二层各取一本，,有43=12种方法；,第二类：从一、三层各取一本，,有42=8种方法；,第三类：从二、三层各取一本，,有32=6种方法；,答:从书架上取2本不同种的书,有26种不同的取法.,例要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？,3,2,4.要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？,第一步：选1人上日班；,第二步：选1人上晚班.,有3种方法,有2种方法,N326（种）,5.从5人中选4人参加数、理、化学科竞赛，其中数学2人，理、化各1人，求共有多少种不同的选法？,5种,4种,3种,N54360（种）,6.三个比赛项目，六人报名参加。）每人参加一项有多少种不同的方法？）每项人，且每人至多参加一项，有多少种不同的方法？）每项人，每人参加的项数不限，有多少种不同的方法？,7.现要安排一份5天值班表，每天有一个人值班。共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不能由同一个人值班，问此值班表由多少种不同的排法？,解：分5步进行：第一步：先排第一天，可排5人中的任一个，有5种排法；第二步：再排第二天，此时不能排第一天的人，有4种排法;第三步：再排第三天，此时不能排第二天的人，有4种排法;第四步：同前第五步：同前由分步计数原理可得不同排法有544441280种,8.个班分别从个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是还是？9.乘积（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有多少项？,10.如图,该电路,从A到B共有多少条不同的线路可通电？,A,B,解:从总体上看由A到B的通电线路可分三类,第一类,m1=3条第二类,m2=1条第三类,m3=22=4,条所以,根据分类原理,从A到B共有N=3+1+4=8条不同的线路可通电。,在解题时有时既要分类又要分步。,1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.,2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题,完成一件事，共有n类办法，关键词“分类”,区别1,完成一件事，共分n个步骤，关键词“分步”,区别2,区别3,每类办法都能独立地完成这件事情，它是独立的、一次的、且每次得到的是最后结果，只须一种方法就可完成这件事。,每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事。,各类办法是互相独立的。,各步之间是互相关联的。,即：类类独立，步步关联。,例1.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？,解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成这一事件故报名方法种数为44444=种.,（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种故有n=5=种.,例2.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字符要求用字母AG或UZ，后两个要求用数字19，问最多可以给多少个程序命名？,分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步，选首字符；第二步，先中间字符；第三步，选末位字符。,解：首字符共有7+613种不同的选法，,答：最多可以给1053个程序命名。,中间字符和末位字符各有9种不同的选法,根据分步计数原理，最多可以有13991053种不同的选法,例3.核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据，总共有个不同的碱基，分别用A，C，G，U表示，在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA分子？,分析:用100个位置表示由100个碱基组成的长链，每个位置都可以从A、C、G、U中任选一个来占据。,解：100个碱基组成的长链共有100个位置，在每个位置中，从A、C、G、U中任选一个来填入，每个位置有4种填充方法。根据分步计数原理，共有,种不同的RNA分子.,例4.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计数法，即二进制，为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由个二进制位构成，问（1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？（2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？,如00000000，10000000，11111111.,例5.计算机编程人员在编写好程序以后要对程序进行测试。程序员需要知道到底有多少条执行路（即程序从开始到结束的线），以便知道需要提供多少个测试数据。一般的，一个程序模块又许多子模块组成，它的一个具有许多执行路径的程序模块。问：这个程序模块有多少条执行路径？另外为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试方式，以减少测试次数吗？,分析：整个模块的任意一条路径都分两步完成：第1步是从开始执行到A点；第2步是从A点执行到结束。而第步可由子模块1或子模块2或子模块3来完成；第二步可由子模块4或子模块5来完成。因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理。,再测试各个模块之间的信息交流是否正常，需要测试的次数为：3*2=6。如果每个子模块都正常工作，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就正常。,这样，测试整个模块的次数就变为172+6=178（次）,2）在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块。这样，他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常。总共需要的测试次数为：,18+45+28+38+43=172。,例6.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有个不重复的英文字母和个不重复的阿拉伯数字，并且个字母必须合成一组出现，个数字也必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照?,课堂练习,1、乘积展开后共有几项？,2、某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？,3.如图,该电路,从A到B共有多少条不同的线路可通电？,A,B,课堂练习,所以,根据分类原理,从A到B共有N=3+1+4=8条不同的线路可通电。,在解题有时既要分类又要分步。,解:从总体上看由A到B的通电线路可分三类,第一类,m1=3条,第二类,m2=1条,第三类,m3=22=4,条,4、如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路可以走，从丙地到丁地有2条路。从甲地到丁地共有多少种不同地走法？,变式1:要把3个球放入2两个不同的口袋,有几种不同的放法?,变式2:要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？,变式3:要把1,2,3,4四个数放入下面三个格子里,数字不可重复,有多少种不同的放法？,变式4:体育彩票中的排列5中奖号码有5位数码，每位数若是0-9这十个数字中任一个，则产生中奖号码所有可能的种数是多少？,变式5：0-9这十个数一共可以组成多少5位数字？,注意：分步乘法计数关键要算好每一步的方法数,变式6：0-9这十个数一共可以组成多少个数字不重复的5位数字？,变式7:如图,要给下面A、B、C、D四个区域分别涂上5种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？,N=5434=240,注意：分步乘法计数关键要算好每一步的方法数,变式8：五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？,N=44444,注意：分步乘法计数关键要算好每一步的方法数,2、某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？,课堂练习：,1、一个商店销售某种型号的电视机，其中本地的产品有4种，外地的产品有7种，要买1台这种型号的电视机，有多少种不同的选法？,3、如图,要给下面四个区域分别涂上5种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？,例1一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字号码？,N1010101010000（种）,典例讲评,例2要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？,第一步：选1人上日班；,第二步：选1人上晚班.,有3种方法,有2种方法,N326（种）,典例讲评,例3某班有5人会唱歌，另有4人会跳舞，还有2人能歌善舞，从中任选1人表演一个节目，共可表演多少个节目？,N542213（种）,第1类：从会唱歌者中选1人唱歌；,第2类：从会跳舞者中选1人跳舞；,第3类：从能歌善舞者中选1人唱歌或跳舞；,例4有架楼梯共6级，每次只允许上一级或两级，求上完这架楼梯共有多少种不同的走法？,第1类：走3步第2类：走4步第3类：走5步第4类：走6步,N165113（种）,例5由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的三位数？,5种,4种,5种,N554100（种）,典例讲评,例6从5人中选4人参加数、理、化学科竞赛，其中数学2人，理、化各1人，求共有多少种不同的选法？,5种,4种,3种,N54360（种）,典例讲评,例7在1，2，3，200这些自然数中，各个数位上都不含数字8的自然数共有多少个？,不含8的一位数不含8的二位数不含8的三位数,N87282162（个）,N5433180（种）,5,4,3,3,例9将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点颜色不同，如果只有5种颜色可供使用，求共有多少种不同的染色方法？,涂S点涂A点涂D点涂B、C点,N5437420（种）,例10从3，2，1，0，1，2，3中任取三个不同的数作为抛物线y=ax2+bx+c(a0)的系数，如果抛物线过原点，且顶点在第一象限，问这样的抛物线共有多少条？,c取值a取值b取值,N3319（种）,c1a0b0,例11某4名田径运动员报名参加100m，200m和400m三项短跑比赛.（1）每人限报1个项目，共有多少种不同的报名方法？（2）每个项目限报1人，共有多少种不同的报名方法？,（1）3481种；,（2）4364种.,例12630的正约数（包括1和630）共有多少个？,63023257,正约数:2a3b5c7d,232224（个）,典例讲评,例13将20个大小相同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子内的球数不小于该盒子的编号数，求共有多少种不同的放法？,151421120（种）,典例讲评,例14某电视节目中有A、B两个信箱，分别存放着先后两次竞猜中入围的观众来信，其中A信箱中有30封来信，B信箱中有20封来信.现由主持人从A信箱或B信箱中抽取1名幸运观众，再由该幸运观众从A、B两个信箱中各抽取1名幸运伙伴，求共有多少种不同的可能结果？,302920201930174001140028800（种）,课堂小结,相同点:回答的都是有关做一件事的不同方法总数的问题,分类计数原理与分步计数原理的异同:,区别在于：分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事,分类计数原理：针对的是“分类”问题。各类方法相互独立。,分步计数原理：针对的是“分步”问题。每步相互依存。,若完成一件事情可以有n类方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类中有m2种不同的方法,在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事情有:,若完成一件事情需要n个步骤，在第一步中有m1种不同的方法，在第二步中有m2种不同的方法，在第n步方法中有mn种不同的方法，那么完成这件事情有：,一般归纳：,分类加法计数原理,分步乘法计数原理,1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理，都是解决完成一件事的方法数的计数问题，其不同之处在于，前者是针对“分类”问题的计数方法，后者是针对“分步”问题的计数方法.,2.在“分类”问题中，各类方案中的每一种方法相互独立，选取任何一种方法都能完成这件事；在“分步”问题中，各步骤中的方法相互依存，只有各步骤各选一种方法才能完成这件事.,课堂小结,3.在应用分类加法计数原理时，分类方法不惟一，但分类不能重复，也不能遗漏.在应用分步乘法计数原理时，分步方法不惟一，但分步不能重叠，也不能缺少.,课堂小结,