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课时18三角形与等腰三角形,第四单元三角形,中考对接,1.2017株洲如图18-1,在ABC中,BAC=x,B=2x,C=3x,则BAD的度数是()A.145B.150C.155D.1602.2018永州一副透明的三角尺如图18-2叠放,直角三角尺的斜边AB,CE相交于点D,则BDC=.,B,75,3.2017长沙若一个三角形的三个内角的度数之比为123,则这个三角形一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形,B,4.2018长沙下列长度的三条线段,能组成三角形的是()A.4cm,5cm,9cmB.8cm,8cm,15cmC.5cm,5cm,10cmD.6cm,7cm,14cm,B,5.2018湘潭如图18-3,在等边三角形ABC中,点D是边BC的中点,则BAD=.图18-3,30,6.2018娄底如图18-4,在ABC中,AB=AC,ADBC于D点,DEAB于点E,BFAC于点F,DE=3cm,则BF=cm.图18-4,【答案】6【解析】如图,过点D作DHAC于H,对ABC用等面积法,得到BF=DE+DH,再根据“三线合一”得到AD是角平分线,进一步得到DE=DH,故答案为6.,7.2017长沙过ABC的顶点A作BC边上的高,以下作法正确的是()图18-5,A,考点自查,三边,内,（续表）,直角顶点,外,定理:(1)三角形的任意两边之和第三边;三角形的任意两边之差第三边.(2)在直角三角形中,斜边任何一条直角边.,大于,小于,大于,180,不相邻的两个内角,不相邻,互余,360,1.定义:的三角形叫做等腰三角形,相等的两边叫做腰,另外一边叫做底边.2.等腰三角形的性质:(1)定理:等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).(2)对称性:等腰三角形是轴对称图形,有条对称轴.(3)三线合一:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边,即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.,两条边相等,1,等角对等边,1.定义:三边都相等的三角形叫做等边三角形.2.性质:等边三角形的各角都,并且每一个角都等于;等边三角形是轴对称图形,有条对称轴.3.判定:(1)三个角都相等的三角形是等边三角形;(2)有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形.,相等,60,3,易错警示,【失分点】1.在运用三角形三边解题的问题中,我们要针对实际进行分析,有些可以不构成三角形,但可以构成直线,我们不能忽视.2.在等腰三角形中,不明确三角形哪两边或哪两角相等的情况下,要分情况进行讨论.,1.甲地离学校4km,乙地离学校1km,记甲、乙两地之间的距离为dkm,则d的取值范围为.,【答案】3d5【解析】(1)若甲、乙都在学校同侧,则d4-1=3;(2)若甲、乙在学校两侧,则d4+1=5.故d的取值范围为3d5.,2.如果等腰三角形的两内角度数相差45,那么它的顶角度数为.,【答案】90或30【解析】设顶角为x,则当底角为x-45时,2(x-45)+x=180,解得x=90,当底角为x+45时,2(x+45)+x=180,解得x=30,顶角度数为90或30.,3.某等腰三角形的三边长分别为x,3,2x-1,则该三角形的周长为.,11或8,例12017陕西如图18-6,在ABC中,BD和CE是ABC的两条角平分线.若A=52,则1+2的度数为.,拓展12018青海小桐把一副直角三角尺按如图18-7的方式摆放在一起,其中E=90,C=90,A=45,D=30,则1+2等于()图18-7A.150B.180C.210D.270,【答案】C【解析】如图,不妨设AB与DF交于点G,与EF交于点H,由三角形的外角性质,可知1=A+AGD,2=B+BHE,因为AGD=FGH,BHE=FHG,所以AGD+BHE=FGH+FHG=180-F=180-(90-D)=120,所以1+2=A+B+AGD+BHE=90+120=210,故选C.,拓展22018黄石如图18-8,在ABC中,AD是BC边上的高,AE,BF分别是BAC、ABC的平分线,BAC=50,ABC=60,则EAD+ACD=()图18-8A.75B.80C.85D.90,【答案】A【解析】根据三角形内角和定理,得:ACD=180-(BAC+ABC)=70,CAD=90-ACD=20.AE是BAC的平分线,CAE=BAC=25.EAD=CAE-CAD=25-20=5.EAD+ACD=5+70=75.,拓展32018宜昌如图18-9,在RtABC中,ACB=90,A=40,ABC的外角CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.(1)求CBE的度数;(2)过点D作DFBE,交AC的延长线于点F.求F的度数.,解:(1)在RtABC中,ACB=90,A=40,ABC=90-A=50.CBD=130.BE是CBD的平分线,CBE=CBD=65.(2)ACB=90,CEB=90-65=25.DFBE,F=CEB=25.,例22017达州在ABC中,AB=5,AC=3,AD是ABC的中线.设AD的长为m,则m的取值范围是.,【答案】1m4【解析】如图,延长AD至点E,使DE=AD,连接EC.BD=CD,ADB=EDC,DE=AD,ABDECD,CE=AB=5.AD=m,AE=2m,22m8,1m4.,方法模型三角形三边构成的原则:较小的两边长之和大于最大的边长.,拓展12018泰州已知三角形两边的长分别为1,5,第三边长为整数,则第三边的长为.,【答案】5【解析】根据三角形的三边关系,得4第三边长6.又第三边长为整数,则第三边的长是5.,拓展22018白银已知a,b,c是ABC的三边长,a,b满足|a-7|+(b-1)2=0,c为奇数,则c=.,【答案】7【解析】a,b满足|a-7|+(b-1)2=0,a-7=0,b-1=0,解得a=7,b=1,7-1=6,7+1=8,6cANB.AMANC.AMAND.AMAN,【答案】D【解析】AM和AN可以看成是直线上一定点到直线上两定点的距离,由垂线段最短,得AMAN,再考虑特殊情况,当AB=AC时,AM=AN,所以AMAN.,拓展22018江西如图18-11,在四边形ABCD中,ABCD,AB=2CD,E为AB的中点.请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹).(1)在图中,画出ABD的BD边上的中线;(2)在图中,若BA=BD,画出ABD的AD边上的高.,例42018桂林如图18-12,在ABC中,A=36,AB=AC,BD平分ABC,则图中等腰三角形的个数是.,【答案】3【解析】A=36,AB=AC,ABC=C=72,又BD平分ABC,ABD=CBD=ABC=36,BDC=72,BCD是等腰三角形,A=ABD=36,ABD是等腰三角形,故有3个等腰三角形.,方法模型等腰三角形的判定与性质:等角对等边,等边对等角.在几何计算与证明中,常采用边角互化实现线段相等的证明与求解.,拓展22018绥化已知等腰三角形的一个外角为130,则它的顶角的度数为.,【答案】50或80【解析】当等腰三角形顶角的外角为130时,顶角为180-130=50;当等腰三角形底角的外角为130时,顶角为180-2(180-130)=80.,拓展32018长春如图18-13,在ABC中,AB=AC.以点C为圆心,以CB长为半径作圆弧,交AC的延长线于点D,连接BD.若A=32,则CDB的大小为度.,【答案】37【解析】AB=AC,A=32,ACB=(180-32)2=74,由尺规作图知,CB=CD,CBD=CDB,又CBD+CDB=ACB,CDB=ACB=37.,图18-13,例52018常州(1)如图18-14,已知EK垂直平分BC,垂足为D,AB与EK相交于点F,连接CF.求证:AFE=CFD.(2)如图,在RtGMN中,M=90,P为MN的中点.用直尺和圆规在GN边上求作点Q,使得GQM=PQN(保留作图痕迹,不要求写作法).在的条件下,如果G=60,那么Q是GN的中点吗?为什么?,解:(1)证明:EK垂直平分BC,点F在EK上,FC=FB,且CFD=BFD,AFE=BFD,AFE=CFD.,例52018常州(2)如图,在RtGMN中,M=90,P为MN的中点.用直尺和圆规在GN边上求作点Q,使得GQM=PQN(保留作图痕迹,不要求写作法).在的条件下,如果G=60,那么Q是GN的中点吗?为什么?,方法模型等边三角形的应用:(1)通常通过作高、中线或角平分线,将三角形转化为含30角的直角三角形去解决问题;(2)应用等腰三角形的轴对称性,通过“三线合一”,转化为直角三角形去解决问题.,拓展12018葫芦岛如图18-15,MON=30,点B1在边OM上,且OB1=2,过点B1作B1A1OM交ON于点A1,以A1B1为边在A1B1的右侧作等边三角形A1B1C1,过点C1作OM的垂线分别交OM,ON于点B2,A2,以B2A2为边在A2B2的右侧作等边三角形A2B2C2,过点C2作OM的垂线分别交OM,ON于点B3,A3,以B3A3为边在A3B3的右侧作等边三角形A3B3C3,按此规律进行下去,则AnAn+1Cn的面积为(用含正整数n的代数式表示).,拓展2如图18-16,在ABC中,AB=AC,BAC=120,点D,F分别为AB,AC的中点,EDAB,GFAC,若BC=15cm,求EG的长.图18-16,解:连接AE,AG,D为AB中点,EDAB,EB=EA,ABE为等腰三角形,又B=30,BAE=30,AEG=60,同理可证AGE=60,AEG为等边三角形,AE=EG=AG,AE=BE,AG=GC,BE=EG=GC,又BE+EG+GC=BC=15cm,EG=5cm.,
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