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第三节平面向量的数量积,第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入,考纲要求,1理解平面向量数量积的含义及其物理意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.,课前自修,知识梳理,一、平面向量的数量积的定义1向量a，b的夹角：已知两个非零向量a，b，过O点作，则AOB(0180)叫做向量a，b的夹角当且仅当两个非零向量a，b同方向时，0，当且仅当a，b反方向时，180，同时0与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题,2a与b垂直：如果a，b的夹角为90，则称a与b垂直，记作ab.3a与b的数量积：两个非零向量a，b，它们的夹角为，则|a|b|cos叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos，规定0a0，非零向量a与b当且仅当ab时，90，这时ab0.,5ab的几何意义：ab等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积二、平面向量数量积的性质设a，b是两个非零向量，e是单位向量，于是有：1eaae|a|cos.2abab0.,三、平面向量数量积的运算律1交换律成立：abba.2对实数的结合律成立：(a)b(ab)a(b)(R).3分配律成立：(ab)cacbcc(ab).,基础自测,1(2012福建卷)已知向量a(x1,2)，b(2,1)，则ab的充要条件是()AxBx1Cx5Dx0,解析：因为ab，所以ab0，即(x1)2210，解得x0.故选D.答案：D,4已知平面向量，|1，|2，(2)，则|2|的值是_,考点探究,考点一,平面向量的数量积的概念,【例1】判断下列各命题正确与否(1)若a0，abac，则bc；(2)若abac，则bc当且仅当a0时成立；(3)(ab)ca(bc)对任意向量a，b，c都成立；(4)对任一向量a，有a2|a|2；(5)0a0；(6)0a0.思路点拨：(1)(2)可由数量积的定义判断；(3)通过计算判断；(4)把a2转化成aa|a|2可判断；对于(5)与(6)，要清楚0a为零向量，而0a为零,解析：(1)abac，|a|b|cos|a|c|cos(其中，分别为a与b，a与c的夹角)|a|0，|b|cos|c|cos.cos与cos不一定相等，|b|与|c|不一定相等b与c也不一定相等(1)不正确,(2)若abac，则|a|b|cos|a|c|cos(，为a与b，a与c的夹角)|a|(|b|cos|c|cos)0.|a|0或|b|cos|c|cos.当bc时，|b|cos与|c|cos可能相等(2)不正确(3)(ab)c(|a|b|cos)c，a(bc)a|b|c|cos(其中，分别为a与b，b与c的夹角)(ab)c是与c共线的向量，a(bc)是与a共线的向量(3)不正确(4)正确，(5)不正确，(6)正确,点评：判断上述问题的关键是要掌握向量的数量积的含义，向量的数量积的运算律不同于实数乘法的运算律通过该题我们应搞清楚向量的数乘与数量积之间的区别与联系,变式探究,1(2012浙江卷)设a，b是两个非零向量()A若|ab|a|b|，则abB若ab，则|ab|a|b|C若|ab|a|b|，则存在实数，使得baD若存在实数，使得ba，则|ab|a|b|,解析：利用向量运算法则，特别是|a|2a2求解由|ab|a|b|知(ab)2(|a|b|)2，即a22abb2|a|22|a|b|b|2，ab|a|b|.ab|a|b|cos，cos1，此时a与b反向共线，因此A错误当ab时，a与b不反向也不共线，因此B错误若|ab|a|b|，则存在实数1，使ba，满足a与b反向共线，故C正确若存在实数，使得ba，则|ab|aa|1|a|，|a|b|a|a|(1|)|a|，只有当10时，|ab|a|b|才能成立，否则不能成立，故D错误答案：C,考点二,求向量的数量积,变式探究,考点三,两个向量数量积性质的应用,变式探究,3(2012淮南市模拟)若向量a(2,1)，b(3，x)，若(2ab)b，则x的值为()A3B1或3C1D3或1,B,考点四,两个向量垂直的充要条件的应用,【例4】已知a(cos，sin)，b(cos，sin)(0)(1)求证：ab与ab互相垂直；(2)若kab与akb的模相等，求(其中k为非零实数),(1)证明：(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2(cos2sin2)(cos2sin2)0，ab与ab互相垂直,变式探究,考点五,向量模公式|a|2a2的应用,【例5】(2012衡阳八中月考)已知|a|b|ab|2，则|3a2b|_.,解析：因为(ab)2|a|22ab|b|2442ab4，解得ab2，|3a2b|29|a|24|b|212ab36162428，故|3a2b|2.答案：2,变式探究,6(2012济南市模拟)已知向量a与b的夹角为120，|a|3，|a+b|，则|b|等于()A5B4C3D1,解析：|a|3，|a+b|2(a+b)2a2b22ab13，|a|2|b|22|a|b|cos12013，|b|23|b|40，|b|4，|b|1(舍去)故选B.答案：B,7已知向量a，b满足ab0，|a|1，|b|2，则|2a-b|()A.0B2C4D.8,考点六,求向量的夹角(或其函数值),【例6】(2012佛山市二模)设向量a，b满足|a|1，|b|2，a(ab)0，则a与b的夹角是()A30B60C90D120,变式探究,8(2012新课标全国卷)已知向量a，b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.,课时升华,1本节的重点、难点：平面向量的数量积及其几何意义，向量垂直的充要条件利用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题2向量的数量积是向量之间的一种乘法运算，它是向量与向量的运算，结果却是一个数量，所以向量数量积的坐标表示是纯数量的坐标表示,3向量a与b的夹角：(1)当a与b平移成有公共起点时两向量所成的角才是夹角(2)0a，b180.特别地，当a，b0时，两向量共线且方向相同；当a，b180时，两向量共线且方向相反；当a，b90时，两向量垂直(3),4特别注意：(1)数量积不满足结合律，即a(bc)(ab)c；(2)消去律不成立，即由abac不能得到bc；(3)由ab0不能得到a0或b0；(4)但是乘法公式成立：(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2；(ab)2a22abb2|a|22ab|b|2.,感悟高考,品味高考,2(2012湖北卷)已知向量a(1,0)，b(1,1)，则(1)与2ab同向的单位向量的坐标表示为_；(2)向量b3a与向量a夹角的余弦值为_,高考预测,1(2012广州市一模)已知两个非零向量a与b，定义|ab|a|b|sin，其中为a与b的夹角若a(3,4)，b(0,2)，则|ab|的值为()A8B6C8D6,2(2012广东金山中学综合测试)已知|a|1，|b|2，a，b60，则|2ab|_.,感谢您的使用，退出请按ESC键,本小节结束,
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