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初中数学（北师大版）八年级上册,第一章勾股定理,知识点一圆柱侧面上两点间的最短距离圆柱侧面的展开图是一个长方形.圆柱侧面上两点之间最短距离的求法是把圆柱侧面展开成平面图形,依据两点之间线段最短,以最短路线为斜边构造直角三角形,利用勾股定理求解.,3勾股定理的应用,3勾股定理的应用,解析如图1-3-2所示,将圆柱侧面沿AC剪开并展平,连接AB,则AB的长即为蜘蛛爬行的最短路程.根据题意得AC=20cm,BC=25=15(cm).在ABC中,ACB=90,由勾股定理得AB2=BC2+AC2=152+202=252,所以AB=25cm,所以最短路程是25cm.图1-3-2,3勾股定理的应用,3勾股定理的应用,例2如图1-3-3所示,有一个长方体,长、宽、高分别为6、5、3.在长方体的底面A处有一堆蚂蚁,它们想吃到长方体上底面与A相对的B点处的食物,则需要爬行的最短路程是多少?图1-3-3,3勾股定理的应用,解析将四边形GBEF与四边形ACEF展开放在同一平面上.连接AB,如图1-3-4所示,所走的最短路线显然为线段AB.在RtABC中,由勾股定理得AB2=AC2+BC2=62+82=100.图1-3-4将四边形CDBE与四边形ACEF展开放在同一平面上.连接AB,如图1-3-5(1)所示,所走的最短路线显然为线段AB.在RtABD中,由勾股定理得AB2=AD2+BD2=112+32=130.,3勾股定理的应用,3勾股定理的应用,知识点三勾股定理在实际问题中的应用例3如图1-3-6,南北方向线MN以西为我国领海,以东为公海.上午9时50分,我国缉私艇A发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海驶来,便立即通知正在MN线上巡逻的缉私艇B.已知A,C两艇的距离是13海里,A,B两艇的距离是5海里,缉私艇B与C艇的距离是12海里,若C艇的速度不变,那么它最早会在什么时间进入我国领海?图1-3-6,3勾股定理的应用,解析设直线MN与AC交于点E,则BEC=90.因为AB2+BC2=52+122=169,AC2=132=169,所以AB2+BC2=AC2,所以ABC是直角三角形,ABC=90.因为MNCE,所以C艇进入我国领海的最短距离是线段CE的长.在RtBCE和RtABE中,CE2+BE2=144,(13-CE)2+BE2=25,由此得26CE=288,所以CE=海里.因为C艇的速度是13海里/时,所以13=0.85(小时)=51(分).所以9时50分+51分=10时41分.答:走私艇最早会在10时41分进入我国领海.,3勾股定理的应用,点拨首先要根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状,然后利用勾股定理求线段的长.为减小思考问题的“跨度”,可将原问题分解成下述“子问题”:(1)ABC是什么形状的三角形;(2)走私艇C进入我国领海的最短距离是多少;(3)走私艇C最早会在什么时间进入我国领海.这样问题就可迎刃而解.,3勾股定理的应用,3勾股定理的应用,解析AD2+DC2=82+62=100,AC2=92=81,AD2+DC2AC2,ADC不是直角三角形,ADC90.标准地基为长方形,四个角应为直角,该农民挖的地基不合格.,点拨在实际生活中,常用勾股定理的逆定理判断两直线是否垂直,解决问题的一般方法:实际问题数学问题利用勾股定理的逆定理判断是否垂直.,3勾股定理的应用,题型二利用勾股定理解决折叠问题例2如图1-3-8,长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠,设点D落在D处,BC交AD于点E,AB=6cm,BC=8cm,求阴影部分的面积.图1-3-8,3勾股定理的应用,解析在ABE和CDE中,B=D=90,AEB=CED,AB=CD,ABECDE,AE=EC.设AE=xcm(x0),则BE=(8-x)cm.在RtABE中,AB2+BE2=AE2,即62+(8-x)2=x2,x=,EC=AE=cm.S阴影=ECAB=6=(cm2).,3勾股定理的应用,点拨关于折叠问题的解题步骤:(1)利用重叠的图形传递数据(一般不用重叠的图形进行计算).(2)选择或构造直角三角形,这个直角三角形一般一边已知,另两边可通过重叠图形找到数量关系.(3)利用勾股定理列方程求解.,3勾股定理的应用,题型三用勾股定理解决距离最短问题例3高速公路的同一侧有A、B两个城镇,如图1-3-9,它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA=2km,BB=4km,AB=8km.要在高速公路上A、B之间建一个出口P,使A、B两城镇到P的距离之和最小.求这个最小距离.图1-3-9,3勾股定理的应用,解析如图1-3-10,作点B关于MN的对称点C,连接AC交MN于点P,则点P即为所建的出口.图1-3-10此时A、B两城镇到出口P的距离之和最小,最小距离为AC的长.作ADBB于点D,在RtADC中,AD=AB=8km,DC=6km,AC2=AD2+DC2=100,AC=10km,这个最小距离为10km.,3勾股定理的应用,易错点使用勾股定理考虑不全面例在ABC中,AB=15,AC=20,BC边上的高AD=12,则BC的长为()A.25B.7C.25或7D.不能确定,3勾股定理的应用,解析分两种情况:如图1-3-11.图1-3-11在RtABD中,BD2=152-122=92,解得BD=9.在RtACD中,CD2=202-122=162,解得CD=16.BC=BD+CD=9+16=25.,3勾股定理的应用,如图1-3-12.图1-3-12在RtABD中,BD2=152-122=92,解得BD=9.在RtACD中,CD2=202-122=162,解得CD=16.BC=CD-BD=16-9=7.,答案C,易错警示分两种情况讨论,易丢掉ABC为钝角三角形的情况.,3勾股定理的应用,3勾股定理的应用,3勾股定理的应用,素养呈现确定几何体上的最短路线时,往往无法直接求解,需要先转化为平面图形.将几何体展开,就能直观地看出最短距离.本题先将几何体展开,再利用“两点之间,线段最短”确定所求线段,最后使用勾股定理求出线段的长.,素养解读直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养,利用平面图形有助于发现、描述问题,有助于理解、记忆得到的结果,可以把困难的数学问题变容易,把抽象的数学问题变简单.,3勾股定理的应用,知识点一圆柱侧面上两点间的最短距离1.如图1-3-1,有一圆柱,它的高等于8cm,底面直径等于4cm(=3),在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面与C相对的B点处的食物,则需要爬行的最短路程为()图1-3-1A.10cmB.12cmC.19cmD.20cm,3勾股定理的应用,答案A如图所示,将圆柱的侧面展开,连接AB,底面半径为2cm,BC=2=6(cm),在RtABC中,AC=8cm,BC=6cm,AB2=AC2+BC2=100,AB=10cm.,3勾股定理的应用,2.图1-3-2是一个三级台阶,它的每一级台阶的长、宽和高分别是50cm,30cm,10cm,A和B是这个台阶的两个相对的顶点,A点上有一只壁虎,它想到B点去吃可口的食物,请你想一想,这只壁虎从A点出发,沿着台阶面爬到B点,至少需爬()图1-3-2A.13cmB.40cmC.130cmD.169cm,知识点二长方体(或正方体)表面上两点间的最短距离,3勾股定理的应用,答案C将台阶面展开,连接AB,如图,线段AB即为壁虎所爬的最短路线.因为BC=303+103=120(cm),AC=50cm,在RtABC中,根据勾股定理,得AB2=AC2+BC2=16900,所以AB=130cm.所以壁虎至少需爬130cm.,3勾股定理的应用,知识点三勾股定理在实际问题中的应用3.一艘轮船以30km/h的速度离开港口向东北方向航行,另一艘轮船同时离开港口以16km/h的速度向东南方向航行,它们离开港口半小时后相距km.,答案17,解析作出图形,如图,因为东北和东南方向的夹角为90,所以ABC为直角三角形.在RtABC中,AC=300.5=15(km),BC=160.5=8(km),所以AB2=AC2+BC2=152+82=289,所以AB=17km.,3勾股定理的应用,4.中华人民共和国道路交通安全法规定:小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70km/h.如图1-3-3,一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪(点A)的正前方30m处(点C),过了2s后,测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为50m.问这辆小汽车超速了吗?图1-3-3,3勾股定理的应用,解析这辆小汽车超速了.在RtABC中,AB=50m,AC=30m,由勾股定理得BC=40m,402=20m/s=72km/h,小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70km/h,这辆小汽车超速了.,3勾股定理的应用,1.(2013山东济南中考)如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处,发现此时绳子末端距离地面2m.则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为()A.12mB.13mC.16mD.17m,3勾股定理的应用,答案D如图所示,作BCAE于点C,则BC=DE=8m,设AE=xm,则AB=xm,AC=(x-2)m,在RtABC中,AC2+BC2=AB2,即(x-2)2+82=x2,解得x=17.所以旗杆的高度为17m.,3勾股定理的应用,2.如图所示,将长方形纸片ABCD(四个角都是直角)折叠,使点D落在BC边上的点F处,已知AB=DC=8cm,AD=BC=10cm,求EC的长.,3勾股定理的应用,解析设EC的长为xcm,则DE=(8-x)cm.ADE折叠后的图形是AFE,AD=AF,DE=EF=(8-x)cm.AD=10cm,AF=10cm.又AB=8cm,AB2+BF2=AF2,82+BF2=102,BF=6cm.BC=10cm,FC=BC-BF=10-6=4(cm).在RtEFC中,根据勾股定理,得FC2+EC2=EF2,42+x2=(8-x)2,即16+x2=64-16x+x2,化简,得16x=48,解得x=3.故EC的长为3cm.,3勾股定理的应用,1.如图1-3-4,圆柱的底面直径为,BC=12,动点P从A点出发,沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离为()图1-3-4A.10B.12C.20D.14,3勾股定理的应用,答案A将圆柱侧面沿DA展开,如图所示,AB=8,BS=BC=6,在RtABS中,由勾股定理得AS=10,即点P从点A移动到点S的最短距离为10.,3勾股定理的应用,2.小明想知道学校旗杆的高度,他把绳子一端挂在旗杆顶端,发现绳子垂到地面时还余1m;当他把绳子下端拉开5m后,绳子下端刚好接触地面,如图1-3-5,你能帮他求出旗杆的高度吗?图1-3-5,3勾股定理的应用,解析能.由于旗杆垂直于地面,所以C=90.在RtABC中,由勾股定理,得AC2+BC2=AB2,而AB=AC+1,所以可设AC=xm,则有x2+52=(x+1)2,解得x=12.所以旗杆的高度为12m.,3勾股定理的应用,1.如图所示,有一张直角三角形纸片ABC,已知AC=5cm,BC=10cm,将纸片折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则CD的长为()A.cmB.cmC.cmD.cm,答案D由题意知DE所在直线为线段AB的垂直平分线,所以AD=BD.设CD=xcm,则AD=BD=(10-x)cm.在RtACD中,由勾股定理,得x2+52=(10-x)2,所以x=.故选D.,3勾股定理的应用,2.如图,要在河边(直线l)修建一个水泵站,分别向张村(点A)和李庄(点B)送水.已知张村、李庄到河边的距离分别为2千米和7千米,且CD=12千米.(1)水泵站应修建在什么地方,可使所用的水管最短?请你在图中设计出水泵站的位置;(2)如果铺设水管的工程费用为每千米1500元,请求出铺设水管的最少费用.,3勾股定理的应用,3勾股定理的应用,选择题1.(2017山西吕梁孝义期中,6,)图1-3-6为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高为3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要()图1-3-6A.4米B.8米C.9米D.7米,3勾股定理的应用,答案D由勾股定理得楼梯的水平长度为4米,地毯的长度至少是3+4=7米.故选D.,3勾股定理的应用,2.(2016江苏常州常青藤期中,9,)如图1-3-7,长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体盒子中,能容下的最长木棒的长为()图1-3-7A.11cmB.12cmC.13cmD.14cm,3勾股定理的应用,答案C如图,连接AB、BC.由题易知能容下的最长木棒长即为AB的长,由勾股定理,可得BC2=32+42=52,AB2=122+52=132,AB=13cm.,3勾股定理的应用,(2016江苏盐城一中期末,21,)如图,在B港有甲、乙两艘渔船同时航行,若甲船沿北偏东60方向以8海里/小时的速度前进,乙船沿南偏东某方向以15海里/小时的速度前进,2小时后甲船到达M岛,乙船到达P岛,两岛相距34海里,你知道乙船沿哪个方向航行吗?,3勾股定理的应用,解析由题意知BM=82=16(海里),BP=152=30(海里),在BMP中,BM2+BP2=256+900=1156,PM2=342=1156,BMP是直角三角形,MBP=90,ABP=180-90-60=30.故乙船沿南偏东30方向航行.,3勾股定理的应用,3勾股定理的应用,答案C设梯子斜靠在右墙时,梯子底端到右墙角的距离为x(x0)米.由题意,得(0.7)2+(2.4)2=x2+22,则x2=2.25,x=1.5,则小巷的宽度为0.7+1.5=2.2(米).故选C.,3勾股定理的应用,2.(2017贵州安顺中考,7,)如图1-3-9,长方形纸片ABCD中,AD=4cm,把纸片沿直线AC折叠,点B落在E处,AE交DC于点O.若AO=5cm,则AB的长为()图1-3-9A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm,3勾股定理的应用,答案C四边形ABCD为长方形,AD=4cm,BC=AD=4cm,B=D=90,由题意可得ACEACB,CE=BC=4cm,E=B=90,在AOD和COE中,E=D,AOD=COE,AD=CE,AODCOE,AO=CO=5cm,在RtCOE中,根据勾股定理可得:OE2=OC2-CE2=52-42=9,OE=3cm,AE=AO+OE=5+3=8cm,AB=8cm,故选C.,3勾股定理的应用,3勾股定理的应用,解析因为葛藤绕枯木五周而到达顶端,所以将枯木滚动5周,如图.由题意得AA=15尺,AB=20尺,AB的长就是葛藤的最短长度,AB2=AA2+AB2=152+202=625,AB=25尺.,答案25,3勾股定理的应用,1.(2017四川宜宾中考,7,)如图,在长方形ABCD中,BC=8,CD=6,将ABE沿BE折叠,使点A恰好落在对角线BD上F处,则DE的长是()A.3B.C.5D.,3勾股定理的应用,答案C四边形ABCD是长方形,AB=CD=6,AD=BC=8.由勾股定理得BD2=BC2+CD2=100,BD=10.由折叠可知,BF=AB=6,AE=EF,DF=4.在RtDEF中,EF2+DF2=DE2,(8-DE)2+42=DE2,解得DE=5.故选C.,3勾股定理的应用,2.(2017山东淄博中考,12,)如图,在RtABC中,ABC=90,AB=6,BC=8,BAC,ACB的平分线相交于点E,过点E作EFBC交AC于点F,则EF的长为()A.B.C.D.,3勾股定理的应用,答案C如图,过点E分别作EDAB,EMBC,ENAC,垂足分别为D,M,N,BAC,ACB的平分线相交于点E,ED=EM=EN.在RtABC中,由勾股定理得AC=10.设ED=EM=EN=x,易知AN=AD=6-x,CN=CM=8-x.又6-x+8-x=10,x=2.EFBC,FEC=ECB,FCE=ECB,FEC=FCE.EF=CF.在RtEFN中,NF=CN-CF=8-2-CF=6-EF.EF2-(6-EF)2=22,解得x=.,3勾股定理的应用,铁路上A、B两站(视为直线上两点)相距25km,C、D为两村庄(视为两个点),DAAB于点A,CBAB于点B,如图1-3-11所示,已知DA=15km,CB=10km,现要在铁路AB上建设一个土特产收购站E,使得C、D两村到E站的距离相等,则E站应建在距离A站km处.图1-3-11,3勾股定理的应用,解析C、D两村庄到E站距离相等,CE=DE.在RtDAE和RtCBE中,DE2=AD2+AE2,CE2=BE2+BC2,AD2+AE2=BE2+BC2.设AE为xkm,则BE=(25-x)km,152+x2=(25-x)2+102,整理得50 x=500,解得x=10,E站应建在距离A站10km处.,答案10,3勾股定理的应用,如图,圆柱底面半径为2cm,高为9cm,点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点,且A、B在同一母线上,用一棉线从A沿着圆柱侧面绕3圈到B,则棉线最短为cm.,3勾股定理的应用,解析圆柱的侧面展开图如图所示,用一棉线从A沿着圆柱侧面绕3圈到B的最短路线是ACCDDB,即在圆柱的侧面展开图(长方形)中,将长方形平均分成3个小长方形,沿着3个小长方形的对角线到B的路线最短.圆柱底面半径为2cm,小长方形的一条边长即是圆柱的底面周长:22=4(cm).圆柱高为9cm,小长方形的另一条边长是3cm.根据勾股定理求得AC=5cm,则CD=DB=5cm,AC+CD+DB=15(cm).,答案15,3勾股定理的应用,
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