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第五节二次函数的应用,考点一二次函数的实际应用命题角度增长(降低)率问题例1(2014安徽)某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系为y,【分析】由一月份新产品的研发资金为a元，根据题意可以得到二月份研发资金为a(1x)元，而三月份在二月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表示出来，由此即可确定函数关系式【自主解答】由一月份的研发资金为a元且增长率为x，可得二月份研发资金为a(1x)元，三月份的研发资金为ya(1x)(1x)，即ya(1x)2.,1(2018马鞍山二模)某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为(),Ay(x40)(50010 x)By(x40)(10 x500)Cy(x40)50010(x50)Dy(x40)50010(50x),命题角度抛物线型问题例2(2018滨州)如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间x(单位：s)之间具有函数关系y5x220 x，请根据要求解答下列问题：,(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行的时间是多少？(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？(3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？,【分析】(1)小球飞行高度为15m，即y5x220 x中y的值为15，解方程求出x的值，即为飞行时间；(2)小球飞出时和落地时的高度为0m，据此可以得出05x220 x，求出x的值，再求差即可；(3)求小球飞行高度何时最大？最大高度是多少，即求x为何值时，二次函数有最大值，最大值是多少,【自主解答】解：(1)当y15时有5x220 x15，化简得x24x30，因式分解得(x1)(x3)0，故x1或3，即飞行时间是1s或者3s；(2)飞出和落地的瞬间高度都为0m，故y0.所以有05x220 x，解得x0或4，所以从飞出到落地所用时间是404s；,(3)当x2s时，小球的飞行高度最大，最大高度为20m.,1(2018绵阳)如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加_m.,命题角度最大利润问题例3(2018陕西)经过一年多的精准帮扶，小明家的网络商店(简称网店)将红枣、小米等优质土特产迅速销往全国小明家网店中红枣和小米这两种商品的相关信息如下表：,根据上表提供的信息，解答下列问题：(1)已知今年前五个月，小明家网店销售上表中规格的红枣和小米共3000kg，获得利润4.2万元，求这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣多少袋；,(2)根据之前的销售情况，估计今年6月到10月这后五个月，小明家网店还能销售上表中规格的红枣和小米共2000kg，其中，这种规格的红枣的销售量不低于600kg.假设这后五个月，销售这种规格的红枣为x(kg)，销售这种规格的红枣和小米获得的总利润为y(元)，求出y与x之间的函数关系式，并求这后五个月，小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润多少元,【分析】(1)分别算出红枣和小米的利润，由利润共4.2万元列方程得解；(2)列出总利润y与红枣的重量x的函数关系式，再根据函数性质求最值即可,【自主解答】解：(1)设这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣m袋，则销售这种规格的小米袋，根据题意，得(6040)m(5438)42000.解之，得m1500.这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣1500袋,(2)y(6040)x(5438)12x16000.y12x16000.120，y的值随x的增大而增大x600，,当x600时，y126001600023200.这后五个月，小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润23200元,函数实际应用问题的难点在于阅读题干，从题干中提取有用信息，并根据题设中的关系式列出函数关系，然后用函数性质解决问题,1(2018眉山)传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：y,(1)李明第几天生产的粽子数量为280只？(2)如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？(利润出厂价成本),解：(1)634204(只)，前六天中第6天生产的粽子最多达到204只，将y280代入，20 x80得：20 x80280，解得x10.答：第10天生产的粽子数量为280只,(2)当0x10时，p2，当10x20时，设pkxb，将点(10，2)和(20，3)的坐标分别代入得：解得：，px1；当0x6时，w(42)34x68x，w随x的增大而增大，当x6时，最大值为408元；,当6x10时，w(42)(20 x80)40 x160，w随x的增大而增大，当x10时，最大值为560元；当10x20时，w(4x1)(20 x80)2x252x240，,对称轴为直线x13，在10x20内，将x13代入得w578元综上所述，w与x的函数表达式为第13天的利润最大，最大利润为578元,命题角度几何图形面积问题例4(2015安徽)为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80米的围网在水库中围成了如图所示的三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等设BC的长度是x米，矩形区域ABCD的面积为y平方米(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；(2)x取何值时，y有最大值？最大值是多少？,【自主解答】解：(1)设AEa，由题意得AEAD2BEBC，ADBC，BEAEa，ABAEBEa.由题意得2BC3AE2BE80，2x3a2a80，a20x，BCx0，AEa20x0，0x40，,yABBCax(20x)x，即yx230 x(0x40)；(2)yx230 x(x20)2300，当x20时，y有最大值，最大值是300平方米,1有长为30m的篱笆，一面利用墙(墙的可用长度不能超过16m)围成一块矩形花圃，如图所示：(1)当花圃的宽为多少时，花圃的面积为63m2；(2)当花圃的宽为多少时，花圃的面积达到最大？,解：(1)设花圃的宽为m米，则长为(303x)m,根据题意可得(303x)x63，解得x7或x3.当x3时，303x2116，不合题意，答：花圃的宽为7m时，花圃的面积为63m2；,(2)设花圃的宽为x米，花圃面积为ym2.根据题意可得，y(303x)x3(x5)275,当x5时，303x1516，符合题意，所以当x5时，y有最大值75m2，答：花圃的宽为5m时，花圃面积达到最大最大面积是75m2.,考点二二次函数的综合应用例5(2016安徽)如图，二次函数yax2bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)(1)求a，b的值；(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2x6)，写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值,【分析】(1)把点A与B的坐标分别代入二次函数解析式求出a与b的值即可；(2)过A作x轴的垂线，垂足为D(2，0)，连接CD，过C作CEAD，CFx轴，垂足分别为E，F，分别表示出OAD，ACD，以及BCD的面积，之和即为S，确定出S关于x的函数解析式，根据x的取值范围，利用二次函数性质即可确定出S的最大值，以及此时x的值,【自主解答】(1)二次函数yax2bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)，(2)由(1)知，二次函数解析式为：yx23x，如解图，过点A作x轴的垂线，垂足为点D(2，0)，连接CD，过点C作CEAD，CFx轴，垂足分别为点E，点F，,点C在抛物线yx23x上，C(x，x23x)，则SOADODAD244，SACDADCE4(x2)2x4(2x6)，SBCDBDCF4(x23x)x26x(2x6)，,则SSOADSACDSBCD42x4x26xx28x(2x6)S关于x的函数表达式为Sx28x(2x6)将其用顶点式表示为S(x4)216(2x6)，当x4时，四边形OACB的面积S取最大值，最大值为16.,
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