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1.4角平分线(1),你能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点的性质吗?,你还记得角平分线上的点有什么性质吗?,角平分线上的点到这个角的两边距离相等.,你能证明这一结论吗?结合我们前面学习的定理的证明方法，你能写出这个性质的证明过程吗？,已知:如图,OC是AOB的平分线,P是OC上任意一点,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E.求证:PD=PE.,分析:要证明PD=PE,只要证明它们所在OPDOPE,而OPDOPE的条件由已知易知它满足公理(AAS).,故结论可证.,老师期望:你能写出规范的证明过程.,证明：OC是AOB的平分线1=2PDOA,PEOBPDO=PEOOP=OPOPDOPE(AAS).PD=PE,几何语言表示：定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等.,老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.,如图,OC是AOB的平分线,P是OC上任意一点,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(已知)PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).,你能写出“定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题吗?,逆命题在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.,它是真命题吗?,如果是.请你证明它.,已知:如图所示,PD=PE,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E.求证:点P在AOB的平分线上.,分析:要证明点P在AOB的平分线上,可以先作出过点P的射线OC,然后证明POD=POE.,B,A,C,D,E,O,P,证明：PDOAPEOBPOD和BPOE都是RtPD=PE,OP=OPRtPODRtPOE(HL)POD=POEOC是AOB的平分线,逆定理在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.,如图,PD=PE,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(已知),点P在AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).,老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.,例题讲析,例1如图，在ABC中，BAC=60，点D在BC上，AD=10，DEAB，DFAC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.,解：DEAB，DFAC，垂足分别为E，F，且DE=DF，AD平分BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.又BAC=60，BAD=30.在RtADE中，AED=90，AD=10，DE=AD=10=5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.,1.如图,AD,AE分别是ABC中A的内角平分线和外角平分线,它们有什么关系?,老师期望:你能说出结论并能证明它.,2.如图,一目标在A区,到公路,铁路距离相等,离公路与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置(比例尺1:20000).,3.如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到AOB的两边的距离相等.,4.已知:如图,在ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC.,证明:AD是ABC的角平分线且DEAB,DFACDE=DFBD=CDRtBDERtCDF(HL)EB=EC,5.如图,在ABC中,已知AC=BC,C=900,AD是ABC的角平线,DEAB,垂足为E.,老师期望:你能正确地解答并规范地写出过程.,(1)如果CD=4cm,求AC的长;,(2)求证:AB=AC+CD.,解（1）AD是ABC的角平线,DEAB,DCAC,DE=CD=4cmAC=BCB=BAC(等边对等角)C=90B=45BDE=90-45=45BE=DE在等腰直角三角形BDE中,（2）证明：由（1）的求解过程可知，RtACDRtAED(HL)AC=AE.BE=DE=CD,AB=AE+BE=AC+CD,已知，如图ABC中，ACB的平分线交AB于E，ACB的补角ACD的平分线为CG，EGBC交AC于F，EF会与FG相等吗？为什么？,A,B,C,D,E,F,G,证明：EG为ACB的平分线BCE=ACECG为ACD的平分线DCG=FCGEGBCFEC=BCE,FGC=GCD从而ACE=FEC，FGC=FCGEF=FC,FC=FG从而EF=FG,定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等.OC是AOB的平分线,P是OC上任意一点,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(已知)PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).,回顾与小结,逆定理在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.PD=PE,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(已知),点P在AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).,回顾与小结,习题1.91,3题.祝你成功！,结束寄语,严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.,
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