D62定积分的应用.ppt

第六节定积分的应用 利用元素法解决 定积分在几何上的应用 定积分在物理上的应用 定积分的元素法 一 什么问题可以用定积分解决 二 如何应用定积分解决问题 表示为 一 什么问题可以用定积分解决 1 所求量U是与区间 a b 上的某分布f x 有关的 2 U对区间 a b 具有可加性 即可通过 大化小 常代变 近似和 取极限 定积分定义 一个整体量 二 如何应用定积分解决问题 第一步利用 化整为零 以常代变 求出局部量的 微分表达式 第二步利用 积零为整 无限累加 求出整体量的 积分表达式 这种分析方法称为元素法 或微元分析法 元素的几何形状常取为 条 带 段 环 扇 片 壳等 近似值 精确值 三 已知平行截面面积函数的立体体积 第六节 一 平面图形的面积 二 平面曲线的弧长 定积分在几何学上的应用 一 平面图形的面积 1 直角坐标情形 设曲线 与直线 及x轴所围曲 则 边梯形面积为A 右下图所示图形面积为 例1 计算两条抛物线 在第一象限所围 图形的面积 解 由 得交点 例2 计算抛物线 与直线 的面积 解 由 得交点 所围图形 为简便计算 选取y作积分变量 则有 2 极坐标情形 求由曲线 及 围成的曲边扇形的面积 在区间 上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 所求曲边扇形的面积为 对应 从0变 例5 计算阿基米德螺线 解 到2 所围图形面积 二 平面曲线的弧长 当折线段的最大 边长 0时 折线的长度趋向于一个确定的极限 即 并称此曲线弧为可求长的 定理 任意光滑曲线弧都是可求长的 证明略 则称 1 曲线弧由直角坐标方程给出 弧长元素 弧微分 因此所求弧长 2 曲线弧由参数方程给出 弧长元素 弧微分 因此所求弧长 3 曲线弧由极坐标方程给出 因此所求弧长 则得 弧长元素 弧微分 自己验证 例11 计算摆线 一拱 的弧长 解 例12 求阿基米德螺线 相应于0 2 一段的弧长 解 三 已知平行截面面积函数的立体体积 设所给立体垂直于x轴的截面面积为A x 则对应于小区间 的体积元素为 因此所求立体体积为 上连续 特别 当考虑连续曲线段 轴旋转一周围成的立体体积时 有 当考虑连续曲线段 绕y轴旋转一周围成的立体体积时 有 例13 计算由椭圆 所围图形绕x轴旋转而 转而成的椭球体的体积 解 利用直角坐标方程 则 利用对称性 内容小结 1 平面图形的面积 边界方程 参数方程 极坐标方程 2 平面曲线的弧长 曲线方程 参数方程方程 极坐标方程 弧微分 直角坐标方程 上下限按顺时针方向确定 直角坐标方程 注意 求弧长时积分上下限必须上大下小 3 已知平行截面面积函数A x 的立体体积 旋转体的体积 绕x轴 绕y轴