第九章-重积分

第九章 重积分一、基础题:1设其中；又其中试利用二重积分的几何意义说明与之间的关系解 由二重积分的几何意义知，表示底为、顶为曲面的曲顶柱体的体积；表示底为、顶为曲面的曲顶柱体的体积（图9-1）由于位于上方的曲面关于面和面均对称，故面和面将分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分既为由此可知 2设积分区域D由圆所围成,且 ,试讨论, 的大小关系 . 图9-1解 因为当时, , , 因此, , 故有 由二重积分的保号性便得 利用二重积分的性质估计下列积分的值(1) .其中；(2) ，(其中)解(1) 在积分区域上，从而，又的面积等于1，因此 （） 因为在积分区域上有，所以有，又的面积等于，因此 证明不等式 其中：证由对称性知, ,于是 = =,由于 所以 , 因此改换下列积分的次序:(1)；(2)解 所给二次积分等于二重积分(1) 其中.可改写为, 因此, =(2)由于.又可表示为,因此，原式=用直角坐标求下列二重积分:(1),其中；(2), 其中是有两坐标轴及直线所围成的闭区域；(3)，其中；(4)，其中是顶点分别为（0，0），（，0）和（，）的三角形闭区域 解 (1) = (2) 可用不等式表示为 ，于是 =(3) = =(4) 可用不等式表示为: 于是= =7证明=证左边=右边.已知D是由圆周所围成的闭区域; 用极坐标计算积分解 在极坐标系中，积分区域，于是，化二重积分为二次积分,其中积分区域D是:(1)由直线及抛物线所围成的区域;(2)由直线, 及双曲线所围成的闭区域;解(1) 直线及抛物线的交点为和, 于是=,或 (2) 三条边界两两相交,先求得3个交点为(1,1)、(2,)、(2,2). 于是;或.1利用极坐标计算下列各题： （1），其中D是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域； （2），其中D是由圆周，及直线，所围成的在第一象限内的闭区域解 （1）在极坐标系中，积分区域， 于是，= （2）在极坐标系中，积分区域，于是，设平面薄片所占的闭区域D由螺线上一段弧与直线所围成，它的面密度为，求这薄片的质量.解薄片的质量为它的面密度在薄片所占的闭区域D上的二重积分（图9-2），即 图 9-2 求由抛物线及直线所围成的薄片(面密度为常数)对于直线的转动惯量.解设所求的转动惯量为, 则=积分区域是由双曲抛物线面及平面所围成的闭区域，化三重积分为三次积分解 的顶和底面的交线为轴和轴，故在面上的投影区域由轴和轴和直线所围成于是可用不等式表示为： 因此 利用三重积分计算由曲面及所围成的立体的体积 解 用直角坐标计算. 由和消去,解得,即在面上的投影区域为. 于是 因此 (用极坐标) 计算其中是由锥面与平面（）所围成的闭区域解法一 由与消去，得，故在面上的投影区域， 于是= =图9-3解法二 用球面坐标进行计算，在球面坐标系中，圆锥面的方程为，平面的方程为，因此可表示为于是 =（代入）=求三重积分,其中是由曲面与平面,和所围成的闭区域 解如图9-4 可用不等式表示为 ,因此 = 求由平面以及抛物面和柱面 图9-4 所围成的区域的体积.解 =二、提高题.单项选择题（1）积分的值是（）(A) , (B) , (C) , (D) (2)设:, ; : , 则（）(A) = (B) 2=(C) =2 (D) 4= (3)设:, , 则二重积分的值为（） (A) (B)(C) (D) (4)由及直线所围成的均匀薄片（密度）对直线：的转动惯量为（）（）（）（）（） (5)设是锥体 介于和之间的部分,则三重积分化为三次积分为 () ()（）（） 解 （）(C) 积分区域，在极坐标系中原式 =(2) (D) 因为被积函数 为的偶函数, 而正好是的(3) (A)=(4)（）(5)（）先用截面法，再对二重积分利用极坐标化为累次积分计算由四个平面所围成的柱体被平面及截得的立体的体积解 此立体为一曲顶柱体，它的底是面上的闭区域，顶是曲面（图9-5） 因此所求立体的体积 图9-5注：求类似与第1题中这样的立体体积时，并不一定要画出立体的准确图形，但一定要会求出立体在坐标面上的投影区域，并知道立体的底和顶的方程3选用适当的坐标计算下列各题：（1），其中D是由直线所围成的闭区域；（2），其中D是圆环形的闭区域解 （1）选用直角坐标根据D的边界曲线的情况，采用先对后对的积分次序，于是， （2）选用极坐标计算 4求由平面以及球心在原点、半径为R的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积解 如图9-6 = 设面密度为1的薄片所占区域为D:,求它绕轴的转动惯量. 图9-6解 =(令) =设有一等腰直角三角形薄片,腰长为,各点处面密度等于该点到直角顶点的距离的平方,求这薄片的质心.解 面密度, 由对称性.=,所求质心为(,).计算三重积分,其中为球面及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域.解 利用直角坐标计算.由于, 故 =.利用柱面坐标计算下列三重积分: (1),其中是由曲面及所围成的闭区域; (2)利用柱面坐标计算下列三重积分,其中是由曲面及平面所围成的闭区域.解 (1)由和消去,得 ,即.从而知在面上的投影区域为.(图9-7).利用柱面坐标,可表示为 于是 = (2)由及消去得,从而知 图9-7在面上的投影区域为.利用柱面坐标, 可表示为 于是 .选用适当的坐标计算下列三重积分:(1),其中是由球面所围成的闭区域;(2),其中是由曲面及平面所围成的闭区域解 (1)在球面坐标系中,球面的方程为,即.可表示为 (图9-8).于是 . 图9-8 图9-9(2)利用柱面坐标进行计算. 可表示为 (图9-9),于是 利用三重积分计算由曲面及所围成的立体的体积解 用柱面坐标计算.曲面和的柱面坐标方程分别为和.消去.得,故它们所围的立体在面上的投影区域为(图9-10).因此于是 图9-10 求球面含在圆柱面内部的那部分面积. 解 如图9-11半球面的方程为.,.由曲面的对称性得所求面积为 图9-11 = =利用三重积分计算由曲面及直线所围立体的质心(设密度)解 曲面所围立体为圆锥体,其顶点在原点,并关于轴对称,又由于它是匀质的,因此它的质心位于轴上,既有.立体的体积为. ,故所求质心为.13,在上连续，证明：注意：有三个基本积分公式在这个证明和其它二重积分中常用到,它们是 =其中D: 若D关于对称,则=证 = 其中D: .又= 将两式相减,得: -=+-2= 所以 14 已知在上连续, 证明：=证 =其中 D: , D关于对称,被分为两个区域,而,有,由对称性即 =2=.故= 15设在上连续, 试利用二重积分, ，证明证 在连续,则,在上也连续,故积分存在且非负,即=.由于积分区域D关于对称,=又=于是, -即 ,即 故 三、考研题1. (91,3分) 设D是平面上以(1,1),(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形,是它的第一象限部分,则等于(A)2. (B)2(C)4 (D) 0解 (A) 图9-12分析 看起来,这是一道考查被积函数的奇偶性与积分区域的对称性在计算二重积分中的应用的题目.D关于x,y轴不对称,但添加辅助线可变成分块有对称性的情形.见图9-11连BO,把D分成,即三角形AOB,即三角形COB.(因为关于y轴对称,被积函数xy对x为奇函数, 关于x轴对称, xy对y为奇函数).类似地 =+=2.故选(A)2. (00,3分) 设S:(z0),是S在第一卦限中的部分,则有( )(A) . (B) .(C) . (D) 解(C). 设在分块光滑曲面S上连续, S关于平面对称,则 =0 若关于x为奇函数= 若关于x为偶函数其中,其它对称情形有类似结论,本题中S在平面上方,关于平面与平面对称,而=对均为偶函数,所以=,再利用变量的轮换性,=,因此选(C).3. (92 ，3分)交换积分次序=_解 , 积分区域D由, , 所围成, 因此=4. (90，3分)积分的值等于_ 解 积分区域由,所围成，交换积分次序.=5. ( 94,3分)，设D为圆域 ，则_ 解 解法一 用极坐标变换来计算： 原式=由于： ，则 原式=解法二 由于积分区域关于对称.有 = (对称轮换性) 于是=.6. (05,11分)设,表示不超过的最大整数,计算二重积分. 分析： 因被积函数分块表示,要用分块积分法.在D上:xy将D分成两块,.其中 . 于是解 作极坐标变换,有 . I=+ =+=7. (89,5分)计算三重积分,其中是由曲面与所围成的区域.解 关于平面yz对称,x对x为奇函数, =0I=是由球心在原点半径为本的上半球面与 顶点在原点,对称轴为z轴,半顶角为的锥面所围成(图9-13),故可选用球坐标变换,则 图9-13:, , . I=8. (91.5分)求 .其中是由曲线绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z=4围成的立体.解 由曲线绕z轴旋转一周而成的旋转面方程是于是, 是由旋转抛物面与平面z=4所围成. 曲面与平面的交线是 , z=4. 如图9-14令, , z=z 于是: , ,D(): , . 因此 I= = 图9-14 9. (97,5分) 计算I=,其中为平面曲线, 绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z=8围成的区域.解 由曲线绕z轴旋转一周而成的旋转面方程是,它与平面=8围成,这两曲面的交线是, z=8.选用柱坐标变换,由于被积函数与z无关,可选取先积z的积分顺序,则: , , =.四、测试题1. 单项选择题(1)I=, D:,所围,则（ ）(A) I=; (B) I=;(C) I=; (D) I=(2)设D由和围成,则积分=（ ）(A)23; (B) 12; (C) ; (D) (3)已知，其中；则（ ）(A) (B) (C) (D) (4)积分与的大小关系是（ ），其中(A) (B)(C)(5)由曲面及所截下部分的面积等于 .(A) (B) (D) (D) 2填空题(1)交换累次积分的次序=_.(2)椭球被平面( )分成两部分,其中小部分的体积可用二重积分表示为_.(3)化积分I为极坐标下的累次积分=_.(4)球面包含在柱面内的面积可用二重积分表示为_.(5)的值为_. (6)=_,其中为曲面和平面所围成的区域.(7)曲面被柱面所围部分的面积为_.(8)试用二重积分表示由曲面及所围成的立体的表面积S等于_.3计算,其中D为中心在原点,半径为的圆所围成的区域4计算,其中是由平面以及抛物柱面所围成的闭区域.5已知D是由曲线,所围成的第一卦限的闭区域， 求D的面积6求底圆半径相等的两个直角圆柱面及所围立体的表面积.7计算,其中为平面,所围成的四面体.8设、为上具有相同增减性的连续函数, 证明: 9证明:曲面上任一点处的切平面与曲面所围成立体的体积为定值. 四、测试题答案1选择题(1) (C)； (2) (C)； (3) (A)； (4) (B)；(5) (B)2填空题(1)(2) ( 其中D: )(3)I=(4)(5). (6) . (7) . (8) 3解 因在D上连续,由二重积分中值定理知,在D内至少存在一点, 使=于是=14解 的顶为平面,底为平面,在面上的投影区域由和所围成.故可用不等式表示为.因此.5 解 令,由于区域D在第一卦限,所以,因而,.与D对应的闭区域为=6解 设第一卦限内的立体表面位于圆柱面上的那一部分的面积为A,则由对称性知全部表面的面积为16A. 7解=于是= =8证 设D: , ,则=,=, 于是2-2=+-=由于与在上具有相同的增减性,因此 有 由积分的保号性,有 ,即 9证 曲面在其上一点处的切平面方程为 , (1)又 (2) 由(1)(2)消去，得投影区域 因此,切平面与曲面所围成的立体为= (常数)19