偏微分方程数值习题解答

李微分方程数值解习题解答 1 1 如果 则称 是 的0 0 x J 驻点 或稳定点 矩阵 对称 不必正定 A 求证 是 的驻点的充要条件是 是0 xJ0 x 方程组 的解b 证明 由 的定义与内积的性线性性质 得 21 0000 xbxxAxJ 00b xx 必要性 由 得 对于任何 有 nRx 0 0 bA 由线性代数结论知 bAxx 00 充分性 由 对于任何 b nR 0 0 即 是 的驻点 0 x J 1 2 补充 证明 的不同的广义导数几乎处处 xf 相等 证明 设 为 的广义导 2ILf 21ILgxf 数 由广义导数的定义可知 对于任意 有 0ICx baba dxfdxg 1 2 两式相减 得到 0 021 ICxgba 由变分基本引理 几乎处处为零 即21 几乎处处相等 21g 补充 证明 的连续性条件 1 2 21 vua 证明 设 由 不等式 Mxqp Schwarz vuvudvba 其中1 2uM m 习题 1 设 为 的一阶广义导数 试用类 xff 似的方法定义 的 阶导数 k 21 k 解 一阶广义导数的定义 主要是从经典 导数经过分部积分得到的关系式来定义 因 此可得到如下定义 对于 若有 使得对 2ILxf 2ILxg 于任意的 有0C bakkba dfdg 1 则称 有 阶广义导数 称为 的 阶 xfkxgf 广义导数 并记 kfx 注 高阶广义导数不是通过递推定义的 可 能有高阶导数而没有低阶导数 2 利用 的完全性证明 是 2IL 1IHm 空间 Hilbert 证明 只证 的完全性 设 为 的基1 nf1 本列 即 0 01 mnmnmn fff 因此知 都是 中的基本列 按 2IL 的范数 由 的完全性 存在 2IL 使 gf 以下证明0 0 gfnn 关键证明 1f dxf 由 不等式 有Schwarz00 fxfxfnban 0 fdxgxf nban 对于任意的 成立0IC babanff limn dxgdx 由 banbaff 取极限得到 xfxba 即 即 且 fxg 1IH 0 01 fff nnn 故 中的基本列是收敛的 是完全的 I 1I 3 证明非齐次两点边值问题 证明 边界条件齐次化 令 则 满足齐次边界 0axu 0uw 条件 满足的方程为 w0LufL 即 对应的边值问题为w P 0 bwaLuf 由定理知 问题 与下列变分问题等价P 求 min 12 1JJHCwEHwE 其中 而 0LufaJ CuJ 200 0 而 20 bpaL 从而 w 则关于 的变分问题 等价于 求P 12 uHCu 使得 min 1uJJauH 其中 21 bpfuJ 4 就边值问题 1 2 28 建立虚功原理 解 令 则 满足 0ax 0uw 0bLfLu 等价于 1EHv 0 vLufw 应用分部积分 baba dxvwpvdxvxdpvdxp 还原 u 00 bvpfvuavLfwa 于是 边值问题等价于 求 使 1auH 得 成立1EH 0 bvpfvua 注 形式上与用 去乘方程两端 应用分部积 分得到的相同 5 试建立与边值问题 等价的变分问题 解 取解函数空间为 对于任意 20IH 20IHv 用 乘方程两端 应用分部积分 得到v 0 4 vfudxvfLu 而 baba dxvu 334 xxxb 222 上式为 2vfduva 定义 为双线性形式 dxuvxvuaba 2 变分问题为 求 0IH 20I f 1 4 1 用 方法求边值问题GalerkinRitz 1 0 2 ux 的第 次近似 基函数n xnixi 21 s 解 1 边界条件齐次化 令 xu00uw 则 满足齐次边界条件 且w 1 0 20 L 第 次近似 取为 其中nnw niic1 满足的 方程为 21 ic GalerkRtz njxajni iji 2 21 又 xdjiijdxjxijijiji cos 2 sn cs 10 102 jsi2 由三角函数的正交性 得到 jiiaji 0 21 而 1 sn 3102 jj jdxxx 于是得到 为 偶 数为 奇 数jjaxcjjj 0 1 8 232 最后得到 21 23 1 sin8 nkn kxxu 2 在题 1 中 用 代替右边值条件 0 u 是用 方法求解相应问题的 xunGalerkinRitz 第 次近似 证明 按 收敛到 并x 1 2L xu 估计误差 证明 对应的级数绝对收敛 由 的完n sin 全性知极限就是解 其误差估计为 xu38nR 3 就边值问题 1 2 28 和基函数 写出 2 1 iaxi GalerkinRitz 方程 解 边界条件齐次化 取 0 xu 对应的微分方程为0uw 00 bwaLfL 对应的变分方程为 0 vufva 0 axqdxpqdxpLu baba 变分方程为 dxvqupvpfvwba 0 取 则 方程niaxi 2 1 Galerkin Ritz 为 baibaiinj ji dxaxqdxpfc 11 jijiji qa 取 具体计算01 f n abdxba 221 1abd 即解 bc 201xu 2 n 2211 abdaaba 3244dxba 32232 1 1 abbxxdba 得到方程组为 322132 c 4 abab 特别取 有0 a 31241c 求解得到 63122 c 其解为 20 axu Ch2 椭圆与抛物型方程有限元法 1 1 用线性元求下列边值问题的数值解 10 2sin42 xy 0 此题改为 4 1 h 解 取 为未知数 2 1 hjhxj 2y 形式的变分方程为 Galerkin vfLu 其中 10210 4 vdxuvL 10 2sin dxf 又 udx 10 1 因此 dxuvvua 4 102 在单元 中 应用仿射变换 局部坐标 1iiixI hxi1 节点基函数为 3 21 0 1 iotherxxxii iii 1022102222 1 4 4 10 dhdhxax 取 则计算得 21 a14 210221 dha 0 sin sin df 1010 2i d dhf 2 si 代数方程组为 21212211 fya 代如求值 取 未知节点值为 方程为4 1 h4321 u 1 jfuai iji 应用局部坐标 表示 1022102 4 4 dhdhaj 8 8 102 dhajj 1 4 102 96 642102 d 21 jja 系数矩阵为 964 28 4 2 iagA 取 f 1 1010 dhdfj 101 2sin xhjjj 010 1 42sin 4 i 42 djdj 10 0110 8 cos21 8 sin 2 8 sin jdj dj 2 就非齐次第三边值条件 22 11 buau 导出有限元方程 解 设方程为 fqpL 则由 1 2 vuavap bubub 变分形式为 1H 12 1 vpbvf avpq 0uauN 记 12 12 avpbvpfvF avupbuqA 则上述变分形式可表示为 FA 设节点基函数为 0 Njxj 则有限元方程为 10 0 NjFuAjNi iji 具体计算使用标准坐标