高中数学必修5常考题型：不等关系与不等式

不等关系与不等式【知识梳理】1不等式的概念我们用数学符号“”、“”、“”、“”、“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系含有这些不等号的式子叫做不等式2比较两个实数a、b大小的依据文字语言符号表示如果ab，那么ab是正数；如果ab，那么ab是负数；如果ab，那么ab等于0，反之亦然abab0ababbbb，bcac；(3)可加性：abacbc.推论(同向可加性)：acbd；(4)可乘性：acbc；acbd；(5)正数乘方性：ab0anbn(nN*，n1)；(6)正数开方性：ab0(nN*，n2)【常考题型】题型一、用不等式（组）表示不等关系【例1】某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式解设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆由题意得即【类题通法】用不等式表示不等关系的方法(1)认真审题，设出所求量，并确认所求量满足的不等关系(2)找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等用代数式表示相应各量，并用关键词连接特别需要考虑的是“”“”中的“”能否取到【对点训练】1用不等式(组)表示下列问题中的不等关系：(1)限速80 km/h的路标；(2)桥头上限重10 吨的标志；(3)某酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不多于2.5%，蛋白质的含量p不少于2.3%.解：(1)设汽车行驶的速度为v km/h，则v80.(2)设汽车的重量为吨，则10.(3)题型二、比较两数（式）的大小【例2】比较下列各组中两个代数式的大小：(1)x23与2x；(2)已知a，b为正数，且ab，比较a3b3与a2bab2的大小解(1)(x23)2xx22x32220，x232x.(2)(a3b3)(a2bab2)a3b3a2bab2a2(ab)b2(ab)(ab)(a2b2)(ab)2(ab)，a0，b0，且ab，(ab)20，ab0.(a3b3)(a2bab2)0，即a3b3a2bab2.【类题通法】比较两个代数式大小的步骤(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；(2)变形：对差进行变形；(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；(4)作出结论这种比较大小的方法通常称为作差比较法其思维过程：作差变形判断符号结论，其中变形是判断符号的前提【对点训练】2比较x36x与x26的大小解：(x36x)(x26)x3x26x6x2(x1)6(x1)(x1)(x26)x260.当x1时，(x1)(x26)0，即x36xx26.当x1时，(x1)(x26)0，即x36xx26.当x1时，(x1)(x26)0，即x36xx26.题型三、不等式的性质【例3】已知ab0，cd0，e0，求证：.证明cd0，cd0，又ab0，a(c)b(d)0，即acbd0，0，又e0，.【类题通法】利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则. 【对点训练】3已知ab，mn，p0，求证：napmbp.证明：ab，又p0，apbp.apbp，又mn，即nm.napmbp.【练习反馈】1完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500无，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是()A5x4y200B5x4y200C5x4y200D5x4y200解析：选D据题意知，500x400y20 000，即5x4y200，故选D.2若x2且y1，则Mx2y24x2y的值与5的大小关系是()AM5 BM5CM5DM5解析：选AM(5)x2y24x2y5(x2)2(y1)2，x2，y1，(x2)20，(y1)20，因此(x2)2(y1)20.故M5.3如果ab，那么c2a与c2b中较大的是_解析：c2a(c2b)2b2a2(ba)0.答案：c2b4若10ab8，则|a|b的取值范围是_解析：10a8，0|a|10，又10b8，10|a|b18.答案：(10,18)5(1)已知x1，比较3x3与3x2x1的大小；(2)若1ab0，试比较，a2，b2的大小解：(1)3x3(3x2x1)(3x33x2)(x1)3x2(x1)(x1)(x1)(3x21)x1，x10.又3x210，(x1)(3x21)0，3x33x2x1.(2)1ab0，ab0，a2b20.ab0，ab0，即0，a2b2.