二次函数知识点总结及相关典型题目2008.12.8

二次函数知识点总结及相关典型题目一基础知识1.定义：一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数.2.二次函数的性质（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.（2）函数的图像与的符号关系. 当时抛物线开口向上顶点为其最低点；当时抛物线开口向下顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.3.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线.4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：；.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. 平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法：，顶点是，对称轴是直线. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.9.抛物线中，的作用 （1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. （2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：时，对称轴为轴；（即、同号）时，对称轴在轴左侧；（即、异号）时，对称轴在轴右侧. （3）的大小决定抛物线与轴交点的位置. 当时，抛物线与轴有且只有一个交点（0，）： ，抛物线经过原点; ,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下（轴）（0,0）（轴）(0, )(,0)(,)()11a,b,c, b2-4ac,a+b+c,a-b+c等符号的确定12二次函数值恒正或恒负的条件：恒正的条件：a0且；恒负的条件：a0且。13抛物线的平移规律：在顶点式的基础上-“左加右减，上加下减”。在一般式的基础上-14两抛物线关于坐标轴对称的条件：抛物线关于x轴对称的解析式：抛物线关于x轴对称的解析式：15.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式. （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.16二次函数的最值问题(1)公式法:y=ax2+bx+c中,当a0时,x=_,y最小=_;当a0,当x=_,y最小=_;若a0,当x=_,y最大=_.17.直线与抛物线的交点 （1）轴与抛物线得交点为(0, ). （2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,). （3）抛物线与轴的交点 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点抛物线与轴相交； 有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； 没有交点抛物线与轴相离. （4）平行于轴的直线与抛物线的交点 同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根. （5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与有两个交点; 方程组只有一组解时与只有一个交点；方程组无解时与没有交点.（6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故二典型题目一、选择题1抛物线y=x2+2x-3与x轴的交点的个数有( )A.0个 B.1个 C.2个 D.3个2二次函数y=(x-1)2+2的最小值是( )A.-2 B.2 C.-1 D.13用配方法将二次函数y=3x2-4x-2写成形如y=a(x+m)2+n的形式,则m,n的值分别是( )A.m=,n= B.m=-,n=- C.m=2,n=6 D.m=2,n=-24关于x的一元二次方程x2-x-n=0没有实数根,则抛物线y=x2-x-n的顶点在( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5抛物线可由抛物线（ ）而得到。A先向左平移2个单位，再向下平移1个单位；B先向左平移2个单位，再向上平移1个单位；C先向右平移2个单位，再向下平移1个单位；D先向右平移2个单位，再向上平移1个单位。6已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如右上图所示，给出以下结论： a+b+c0；a-b+c0；b+2a0；其中所有正确结论的序号是（ ）A B C D 7 yx1O1O3其中，函数y的值随着x值得增大而减少的是（ ）A B、 C、 D、 8已知抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A；B若y0，则与x轴的交点是（1，0），（3，0）；Cy随x的增大而减小的自变量x的范围是：x1；D若y0，则x的取值范围是：x1或 x39小明、小亮、小梅、小花四人共同探讨代数式x24x+5的值的情况他们作了如下分工：小明负责找其值为1时的x的值，小亮负责找其值为0时的x的值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是（ ）A小明认为只有当x=2时，x24x+5的值为1B小亮认为找不到实数x，使x24x+5的值为0C小梅发现x24x+5的值随x的变化而变化，因此认为没有最小值D小花发现当x取大于2的实数时，x24x+5的值随x的增大而增大，因此认为没有最大值10.抛物线的顶点坐标在第三象限，则的值为（ ）A B C D 11已知二次函数y=3(x-1)2+k的图象上有A(,y1)、B(2,y2)、C(-,y3)三个点,则y1、y2、y3的大小关系为( )A.y1y2y3 B.y2y1y3 C.y3y1y2 D.y3y2y112由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字:“已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点(1,0)求证:这个二次函数的图象关于直线x=2对称.”根据现有信息,题中的二次函数图象不具有的性质是( )A.过点(3,0) B.顶点为(2,-2)C.在x轴上截得的线段长是2 D.与y轴的交点是(0,3)13如图函数y=ax2-bx+c的图象过点(-1,0),则的值是 ( )A.-3 B.3 C.-1 D.114已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下面结论:(1)a+b+c0;(3)abc0; (4)b=2a.其中正确的结论有( )A.4个 B.3个 C.2个 D.1个15二次函数y=ax2bxc的图象在x轴的上方的条件是（ ）Aa0，b24ac0Ba0，b24ac0Ca0，b24ac0Da0，b24ac016如图，如果函数y=kxb的图象在第一、二、三象限内，那么函数y=kx2bx1的大致图象是（ ）17已知抛物线y=ax2bxc，如图所示，则x的方程ax2bxc3=0的根的情况是（ ）A有两个不相等的正实根B有两个异号实数根C有两个相等实数根D没有实数根18下列四个函数：y=x1；y=；y=x2；y=2x（1x2）其中图象是中心对称图形，且对称中心是原点的共有（ ）A1个B2个C3个D4个19已知函数y=ax2bxc的图象如图所示，关于系数a、b、c有下列不等式：a0；b0；c0；2ab0；abc0其中正确个数为（ ）A1个B2个C3个D4个20已知二次函数y=ax2bxc的图象如图所示，那么下列判断正确的是（ ）（多选）Aabc0Bb24ac0C2ab0D4a2bc021如图，二次函数y=x24x3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则ABC的面积为（ ）A6B4C3D122函数y=ax2与y=axa（a0在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）23一台机器原价为60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，则y与x之间的函数表达式为（ ）Ay=60（1x）2By=60（1x）Cy=60x2Dy=60（1x）224抛物线y=x2axb向左平移2个单位再向上平移3个单位得到抛物线y=x22x1，则（ ）Aa=2，b=2Ba=6，b=6 Ca=8，b=14Da=8，b=18二、填空题1抛物线y=3(x+4)(x-2)与x轴的两交点坐标为_,与y轴的交点坐标为_.2已知抛物线y=x2（m1）x的顶点的横坐标是2，则m的值是3二次函数y=x22x3的最小值是4抛物线y=x22xa2的顶点在直线x=2上，则a的值是5二次函数y=x26x5，当 时， ，且随的增大而减小。6已知二次函数y=x2（ab）xa的图象如图所示，那么化简的结果是 7若一抛物线y=ax2与四条直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则a的取值范围是8把抛物线y=2x24x5向左又向上分别移动4个单位，再绕顶点旋转180，则所得新的图象的表达式是9请你写出函数y=3（x1）2与y=x21具有的一个共同性质10抛物线y=x2（2m1）x2m与x轴的两个交点坐标分别为A（x1，0），B（x2，0），且=1，则m的值为11抛物线与直线在同一直角坐标系中，如图所示点P1（x1，y1），P2（x2，y2）均在抛物线上，点P3（x3，y3）在直线上，其中2x1x2，x32，则y1、y2、y3的大小关系为 12如图，已知一次函数y=2x3的图象与x轴交于A点，则y轴交于C点，二次函数y=x2bxc的图象过点C，且与一次函数在第二象限交于另一点B若AC：CB=1：2，那么这个抛物线的顶点坐标是三、解答题1已知抛物线y=x2（a2）x12的顶点在x=3上，求a的值及顶点的坐标2已知二次函数y=x2x6（1）求二次函数图象与坐标轴的交点坐标及顶点坐标；（2）画出函数图象；（3）观察图象，指出方程x2x6=0的解及使不等式x2x60成立的x的取值范围；（4）求二次函数图象与坐标轴交点所构成的三角形面积3如图所示，一单杠高22m，两立柱之间的距离为16m，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状（1）一身高07m的小孩站在离立柱04m处，其头部刚好碰到绳子，求绳子最低点到地面的距离；（2）为供孩子们打秋千，把绳子剪断后，中间系一块长为04m的木板，除掉系木板用去的绳子后，两边的绳子长正好各为2m，木板与地面平行，求这时木板到地面的距离（供选用数据：=18，19，21）4已知抛物线y=x22mxm2的顶点在坐标轴上，直线y=3xb经过抛物线的顶点，求直线与两条坐标轴围成的面积5已知二次函数y=2x2-mx-m2.(1)求证:对于任意实数m,该二次函数图象与x轴总有公共点;(2)若该二次函数图象与x轴有两个公共点A、B,且A点坐标为(1,0),求B点坐标.6如图1是泰州某河上一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,抛物线两端点与水面的距离都是1 m,拱桥的跨度为10 m,桥洞与水面的最大距离是5 m,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m的景观灯.若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中.(如图2) (1)求抛物线的解析式;(2)求两盏景观灯之间的水平距离.7如图,直线y=2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点,将AOB绕点O顺时针转90得到A1OB1. (1)在图中画出A1OB1;(2)求经过A、A1、B1三点的抛物线的解析式. 8 已知抛物线L：y=ax+bx+c（其中a、b、c都不等于0）它的顶点P的坐标是（-b/2a，4ac-b/4a），与y轴的交点是M（0、c）。我们称以M为顶点，对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线，直线PM为L的伴随直线。（1）请直接写出抛物线y=2x2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析式： 伴随抛物线的解析式： 。 伴随直线的解析式： 。（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y= -x2-3和y= -x-3。则这条抛物线的解析式是： （3）求抛物线L：y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不为0）的伴随抛物线和伴随直线的解析式。（4）利用（3）的结论直接写出y= -x2+4x+2的伴随抛物线和伴随直线。 9.如图直线y=x3与轴、轴分别交于B、C两点，抛物线y=x2bxc经过点B和点C，点A是抛物线与轴的另一个交点； （1）求此抛物线的解析式；（2）若点P在直线BC上，且SPAC=SPAB，求P点的坐标.10.已知直线y2xb(b0)与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为yx2(b10)xc.若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线y2xb上，试确定这条抛物线的解析式；过点B作直线BCAB交x轴于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线y2xb的解析式.11二次函数（a0）的图像如图所示（1）试判断a、b、c及的范围（2）若|OA|OB|，试证：acb1012已知二次函数的图象经过点A（2，0）且与直线相交于B、C两点，点B在轴上，点C在轴上；（1）求二次函数的解析式；（2）如果P（，）是线段BC上的动点，O为坐标原点，试求POA的面积与之间的函数关系式，并求自变量取值范围；（3）是否存在这样的点P，使PO = AO？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由；