中考数学专题复习-几何探究题

专题复习 几何探究问题一、结论探究【例1】如图，已知ABC是等腰直角三角形，BAC=900，点D是BC中点，作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论（2）将正方形DEFG绕点D逆时针旋转一定角度后（旋转角大于00，小于或等于3600），如图，通过观察和测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由。（3）若BC=DE=2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值。变式练习：已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；（2）将图1中BEF绕B点逆时针旋转45，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明 （3）将图1中BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）FBACE图3DFBADCEG图2FBADCEG图1二、条件探究【例2】已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图（1）放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G，C=EFB=900，E=ABC=300，AB=DE=4（1）求证：EGB是等腰三角形（2）若纸片DEF不动，问ABC绕点F旋转最小 度时，四边形ACDE成为以ED为底的梯形（如图（2），求此梯形的高。 【例3】如图，RtAB C 是由RtABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC 交斜边于点E，CC 的延长线交BB 于点F（1）证明：ACEFBE；（2）设ABC=，CAC =，试探索、满足什么关系时，ACE与FBE是全等三角形，并说明理由三、类比探究【例4】（1）操作发现：如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿BE折叠后得到GBE，且点G在举行ABCD内部小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由（2）问题解决：保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值；（3）类比探求：保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求的值【例5】如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线如，平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有_；（2）如图1，梯形ABCD中，ABDC，如果延长DC到E，使CEAB，连接AE，那么有S梯形ABCDSABE请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；（3）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，SADCSABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由ADBADEBADCFEBADDQFEBAD图1ADBADCFEBADDQFEBAD图2【例6】（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点,P是BC延长线上一点，N是DCP的平分线上一点若AMN=90，求证：AM=MN下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明证明：在边AB上截取AE=MC，连ME正方形ABCD中，B=BCD=90，AB=BCNMC=180AMNAMB=180BAMB=MAB=MAE（下面请你完成余下的证明过程）（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2）,N是ACP的平分线上一点，则当AMN=60时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCDX”，请你作出猜想：当AMN=时，结论AM=MN仍然成立（直接写出答案，不需要证明）图2图1【例7】请阅读下列材料问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2， PB=， PC=1求BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长李明同学的思路是：将BPC绕点B顺时针旋转60，画出旋转后的图形（如图2）连接PP，可得PPC是等边三角形，而PPA又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）所以APC=150，而BPC=APC=150进而求出等边ABC的边长为问题得到解决请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1求BPC度数的大小和正方形ABCD的边长图2图3图1能力检测1如图1，已知ABC=90，ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点F.（1）如图2，当BP=BA时，EBF=，猜想QFC= ；（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想QFC的度数，并加以证明；图1ACBEQFP（3）已知线段AB=，设BP=，点Q到射线BC的距离为y，求y关于的函数关系式图2ABEQPFC2如图（1），在ABC和EDC中，ACCECBCD，ACBECD，AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、H（1）求证：CFCH；（2）如图（2），ABC不动，将EDC绕点C旋转到BCE=时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论ACDBMEFH图（2）ACDBMEFH图（1） 3、如图（1）已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AMBE于M，AM交BD于点F（1）求证：OE=OF（2）如图（2）若点E在AC的延长线上，AMBE于M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。 4已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC，DCB = 90，E是AD的中点，点P是BC边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O.（1）当P点在BC边上运动时，求证：BOPDOE；（2）设（1）中的相似比为，若ADBC = 23. 请探究：当k为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形？当= 1时，是 ；当= 2时，是 ；当= 3时，是 . 并证明= 2时的结论.ABCDEPO图14-1连杆滑块滑道5观察思考：某种在同一平面进行传动的机械装置如图14-1，图14-2HlOPQ图14-2是它的示意图其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的O上运动数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OHl于点H，并测得OH=4分米，PQ=3分米，OP=2分米解决问题：（1）点Q与点O间的最小距离是 分米；点Q与点O间的最大距离是 分米；点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是 分米（2）如图14-3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与O是相切的”你认为他的判断对吗？为什么？HlO图14-3P（Q）（3）小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是 分米；当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数6(9分)如图，点C为线段AB上任意一点(不与点A、B重合)，分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰ACD和BCE，CACD，CBCE，ACD与BCE都是锐角，且ACDBCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接CP(1)求证：ACEDCB；(2)请你判断ACM与DPM的形状有何关系并说明理由；DEAMNCB(3)求证：APCBPC部分答案【变式练习】解：（1）CG=EG 1分（2）（1）中结论没有发生变化，即EG=CG证明：连接AG，过G点作MNAD于M，与EF的延长线交于N点FBADCEGMNN图 2在DAG与DCG中， AD=CD，ADG=CDG，DG=DG， DAGDCG AG=CG2分在DMG与FNG中， DGM=FGN，FG=DG，MDG=NFG， DMGFNG MG=NG 3分FBADCE图3G 在矩形AENM中，AM=EN 4分在RtAMG 与RtENG中， AM=EN， MG=NG， AMGENG AG=EG5分 EG=CG 6分（3）（1）中的结论仍然成立7分【例2】【例3】【例4】【例5】解：（1）如图，将BPC绕点B逆时针旋转90，得BPA，则BPCBPAAP=PC=1，BP=BP=连结P P，在RtBPP中， BP=BP=，PBP=90， P P=2，BPP=45 2分在APP中， AP=1，P P=2，AP=， ，即AP 2 + PP 2 = AP2 APP是直角三角形，即A P P=90 APB=135 BPC=APB=135 4分（2）过点B作BEAP 交AP 的延长线于点E EP B=45. EP=BE=1. AE=2. 在RtABE中，由勾股定理，得AB= 7分 BPC=135，正方形边长为能力检测：【题1】解: （1） 30 = 60.2分 （2）=60.1分不妨设BP, 如图1所示 BAP=BAE+EAP=60+EAP EAQ=QAP+EAP=60+EAP BAP=EAQ.2分 在ABP和AEQ中 AB=AE，BAP=EAQ， AP=AQABPAEQ（SAS）.3分 AEQ=ABP=90.4分BEF=60.5分 (事实上当BP时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分）(3)在图1中，过点F作FGBE于点GABE是等边三角形 BE=AB=，由（1）得30在RtBGF中， BF= EF=2.1分ABPAEQ QE=BP= QF=QEEF.2分过点Q作QHBC，垂足为H在RtQHF中，（x0）即y关于x的函数关系式是：.3分【题2】【题4】【题5】