中考数学压轴题归类复习(十大类型附详细解答)

优格教育龚恒雷 中考数学压轴题辅导（十大类型 ）目录动点型问题.3几何图形的变换（平移、旋转、翻折）6相似与三角函数问题 9三角形问题（等腰直角三角形、等边三角形、全等三角形等）.13与四边形有关的二次函数问题.16初中数学中的最值问题.19定值的问题.22存在性问题（如：平行、垂直，动点，面积等）.25与圆有关的二次函数综合题.29其它（如新定义型题、面积问题等）.33参考答案.36中考数学压轴题辅导（十大类型 ）数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成yf（x）的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。解中考压轴题技能技巧：一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止 “捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。二是解数学压轴题做一问是一问。第一问对绝大多数同学来说，不是问题；如果第一小问不会解，切忌不可轻易放弃第二小问。过程会多少写多少，因为数学解答题是按步骤给分的，写上去的东西必须要规范，字迹要工整，布局要合理；过程会写多少写多少，但是不要说废话，计算中尽量回避非必求成分；尽量多用几何知识，少用代数计算，尽量用三角函数，少在直角三角形中使用相似三角形的性质。三是解数学压轴题一般可以分为三个步骤。认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。所以，解数学压轴题，一要树立必胜的信心，要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。一、动点型问题：例1（基础题）如图，已知抛物线y=x22x3与x轴从左至右分别交于A、B两点，与y轴交于C点，顶点为D（1）求与直线BC平行且与抛物线只有一个交点的直线解析式；（2）若线段AD上有一动点E，过E作平行于y轴的直线交抛物线于F，当线段EF取得最大值时，求点E的坐标变式练习：（2012杭州模拟）如图，已知抛物线经过点A（2，0），抛物线的顶点为D，过O作射线OMAD过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连接BC（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒l个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC=OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒l个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值（4）在（3）中当t为何值时，以O，P，Q为顶点的三角形与OAD相似？（直接写出答案）苏州中考题：（2015年苏州）如图，在矩形ABCD中，AD=acm，AB=bcm（ab4），半径为2cm的O在矩形内且与AB、AD均相切现有动点P从A点出发，在矩形边上沿着ABCD的方向匀速移动，当点P到达D点时停止移动；O在矩形内部沿AD向右匀速平移，移动到与CD相切时立即沿原路按原速返回，当O回到出发时的位置（即再次与AB相切）时停止移动已知点P与O同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）（1）如图，点P从ABCD，全程共移动了 cm（用含a、b的代数式表示）；（2）如图，已知点P从A点出发，移动2s到达B点，继续移动3s，到达BC的中点若点P与O的移动速度相等，求在这5s时间内圆心O移动的距离；（第28题）（图）（图）（3）如图，已知a=20，b=10是否存在如下情形：当O到达O1的位置时（此时圆心O1在矩形对角线BD上），DP与O1恰好相切？请说明理由二、几何图形的变换（平移、旋转、翻折）例2（辽宁省铁岭市）如图所示，已知在直角梯形OABC中，ABOC，BCx轴于点C，A（1，1）、B（3，1）动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q设P点移动的时间为t秒（0t4），OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；（2）求S与t的函数关系式；（3）将OPQ绕着点P顺时针旋转90，是否存在t，使得OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由2OABCxy113PQ变式练习：如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：yxm与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，1），抛物线经过点B，且与直线l另一个交点为C（4，n）（1）求n的值和抛物线的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0t4）DEy轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；（3）M是平面内一点，将AOB绕点M沿逆时针方向旋转90后，得到A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1若A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标苏州中考题：（2014-2015学年第一学期期末高新区）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：yxm与x轴、y轴分别交于点A和点B(0，1)，抛物线yx2bxc经过点B，且与直线l的另一个交点为C(4，n) (1)求n的值和抛物线的解析式；(2)点D在抛物线上，且点D的横坐标为t(0t2与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C.点B的坐标为 ，点C的坐标为 （用含b的代数式表示）；请探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得QCO、QOA和QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.四、三角形问题（等腰直角三角形、等边三角形、全等三角形等）例4（广东省湛江市）已知矩形纸片OABC的长为4，宽为3，以长OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系；点P是OA边上的动点（与点OA不重合），现将POC沿PC翻折得到PEC，再在AB边上选取适当的点D，将PAD沿PD翻折，得到PFD，使得直线PE、PF重合（1）若点E落在BC边上，如图，求点P、C、D的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；（2）若点E落在矩形纸片OABC的内部，如图，设OPx，ADy，当x为何值时，y取得最大值？（3）在（1）的情况下，过点P、C、D三点的抛物线上是否存在点Q，使PDQ是以PD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标图PDECOABFxy图PDCOABFxyEF变式（广东省深圳市）已知：RtABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OAOB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m0，n0），连接DP交BC于点E当BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标又连接CD、CP（如图3），CDP是否有最大面积？若有，求出CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由ABxyOPDE图2CABxy苏州中考题：（2013年29题）如图，已知抛物线yx2bxc（b，c是常数，且c0）与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(1，0)(1)b ，点B的横坐标为 （上述结果均用含c的代数式表示）；(2)连接BC，过点A作直线AEBC，与抛物线yx2bxc交于点E点D是x轴上一点，其坐标为(2，0)，当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连接PB，PC，设所得PBC的面积为S求S的取值范围；若PBC的面积S为整数，则这样的PBC共有 个五、与四边形有关的二次函数问题例5（内蒙古赤峰市）如图，RtABC的顶点坐标分别为A（0，），B（，），C（1，0），ABC90，BC与y轴的交点为D，D点坐标为（0，），以点D为顶点、y轴为对称轴的抛物线过点B（1）求该抛物线的解析式；（2）将ABC沿AC折叠后得到点B的对应点B，求证：四边形AOCB是矩形，并判断点B是否在（1）的抛物线上；CBD（3）延长BA交抛物线于点E，在线段BE上取一点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于点F，是否存在这样的点P，使四边形PADF是平行四边形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由变式练习：（2011年苏州28题）已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD (1)如图，当PA的长度等于 时，PAB60； 当PA的长度等于 时，PAD是等腰三角形； (2)如图，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把PAD、PAB、PBC的面积分别记为S1、S2、S3坐标为（a，b），试求2 S1 S3S22的最大值，并求出此时a，b的值苏州中考题：（2011年29题）已知二次函数的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C点D是抛物线的顶点 (1)如图，连接AC，将OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点O恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值； (2)如图，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG位于边EF的右侧小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）”若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程； (3)如图，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由六、初中数学中的最值问题例6（2014海南）如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点（1）求此抛物线的解析式；（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由变式练习（四川省眉山市）如图，已知直线yx1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线yx 2bxc与直线yx1交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)（1）求该抛物线的解析式；（2）动点P在x轴上移动，当PAE是直角三角形时，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AMMC|的值最大，求出点M的坐标yxCBADOEy苏州中考题：（2012江苏苏州，27，8分）如图，已知半径为2的O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x2x4.1 当x=52 时，求弦PA、PB的长度；2 当x为何值时，PDCD的值最大？最大值是多少？七、定值的问题例7（湖南省株洲市）如图，已知ABC为直角三角形，ACB90，ACBC，点A、C在x轴上，点B的坐标为(3，m)(m0)，线段AB与y轴相交于点D，以P(1，0)为顶点的抛物线过点B、D（1）求点A的坐标（用m表示）；（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结BQ并延长交AC于点F，试证明：FC(ACEC)为定值yxFAODBPCEQ变式练习：（2012江苏苏州，28，9分）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合.在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0x2.5.试求出y关于x的函数关系式，并求出y =3时相应x的值；记DGP的面积为S1，CDG的面积为S2，试说明S1-S2是常数；当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长.苏州中考题：（2014年苏州）如图，二次函数y=a（x22mx3m2）（其中a，m是常数，且a0，m0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，3），点D在二次函数的图象上，CDAB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分DAE（1）用含m的代数式表示a；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由八、存在性问题（如：平行、垂直，动点，面积等）例8、(2008年浙江省绍兴市)将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动，运动秒时，动点从点出发以相等的速度沿向终点运动当其中一点到达终点时，另一点也停止运动设点的运动时间为（秒）（1）用含的代数式表示；（2）当时，如图1，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，求点的坐标；（1） 连结，将沿翻折，得到，如图2问：与能否平行？与能否垂直？若能，求出相应的值；若不能，说明理由变式练习：如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为P，连接AC（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求直线DC的解析式；（3）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得SMAP=2SACP？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由苏州中考题：（2015年苏州本题满分10分）如图，已知二次函数（其中0m1）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC （1）ABC的度数为 ；（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）；（第27题） （3）在坐标轴上是否存在点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由模拟试题：在如图的直角坐标系中，已知点A（1，0）、B（0，2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90至AC，若抛物线y=x2+bx+2经过点C（1）求抛物线的解析式；（2）如图，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，2）作不平行于x轴的直线交抛物线于E、F两点，问在y轴的正半轴上是否存在一点P，使PEF的内心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由（3）在抛物线上是否存在一点M，使得以M为圆心，以为半径的圆与直线BC相切？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由九、与圆有关的二次函数综合题：例9. 如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，其顶点为D，且直线DC的解析式为y=x+3（1）求二次函数的解析式；（2）求ABC外接圆的半径及外心的坐标；（3）若点P是第一象限内抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大值变式练习：如图，已知抛物线y=a（x2）2+1与x轴从左到右依次交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），连接AC、BC（1）求此抛物线的解析式；（2）若P为抛物线的对称轴上的一个动点，连接PA、PB、PC，设点P的纵坐标表示为m试探究：当m为何值时，|PAPC|的值最大？并求出这个最大值在P点的运动过程中，APB能否与ACB相等？若能，请求出P点的坐标；若不能，请说明理由中考题训练：（2014黔南州）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和PAC的最大面积苏州中考题：（2015年27题）如图，已知二次函数（其中0m1）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC （1）ABC的度数为 ；（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）；（第27题） （3）在坐标轴上是否存在点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由十、其它（如新定义型题、面积问题等）：例10. 定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”如图，直线l：y=x+b经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），Bn（n，yn） （n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），An+1（xn+1，0）（n为正整数）若x1=d（0d1），当d为（）时，这组抛物线中存在美丽抛物线A或B或C或D变式练习：1.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x3与x轴交于A、B两点，（点A在点B左侧）与y轴交于点C，顶点为D，直线CD与x轴交于点E（1）请你画出此抛物线，并求A、B、C、D四点的坐标；（2）将直线CD向左平移两个单位，与抛物线交于点F（不与A、B两点重合），请你求出F点坐标；（3）在点B、点F之间的抛物线上有一点P，使PBF的面积最大，求此时P点坐标及PBF的最大面积；（4）若平行于x轴的直线与抛物线交于G、H两点，以GH为直径的圆与x轴相切，求该圆半径（第1题）（第2题）2. 练习：（2015河池）我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”如图，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B，OAB=30，点P在x轴上，P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得P成为整圆的点P个数是（）A6 B8 C10 D12。苏州中考题：（2015年26题）如图，已知AD是ABC的角平分线，O经过A、B、D三点，过点B作BEAD，交O于点E，连接ED（1）求证：EDAC；（第26题）（2）若BD=2CD，设EBD的面积为，ADC的面积为，且，求ABC的面积模拟试题：如图所示，在平面直角坐标系中，M过点O且与y轴、x轴分别交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C与点M关于x轴对称，已知点M的坐标为（2，2）（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线OC与M的位置关系，并证明；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线OC上的动点，判断是否存在以点P、Q、A、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出相应的Q点的坐标；若不存在，请说明理由参考答案：例1【考点】二次函数综合题【分析】（1）根据x等于零时，可得C点坐标，根据y等于零时，可得A、B的坐标，根据待定系数法，可得直线BC的斜率，根据平行线的斜率相等，可得平行BC的直线的斜率，根据直线与抛物线有一个交点，可得直线与抛物线联立所得的一元二次方程有一对相等的实数根，可得判别式等于零；（2）根据待定系数法，可得直线AD的解析式，根据E点在线段AB上，可设出E点坐标，根据EFy轴，F在抛物线上，可得F点的坐标，根据两点间的距离，可得二次函数，根据二次函数性质，可得答案【解答】解：（1）当y=0时，x22x3=0，解得x1=1，x2=3，即A（1，0），B（3，0）当x=0时，y=3，即C（0，3）设直线BC的解析式为y=kx+b，直线BC经过点B，点C，得：，解得，设平行于BC且与抛物线只有一个交点的直线解析式为y=x+b，由题意，得：，得：x23x3b=0，只有一个交点，得：=（3）24（b3）=0，解得b=，与直线BC平行且与抛物线只有一个交点的直线解析式y=x；（2）y=x22x3，当x=1时，y=4，即D（1，4），设直线AD的解析式是y=kx+b，AD的图象过点A、D，得，解得，直线AD的解析式是y=2x2，线段AD上有一动点E，过E作平行于y轴的直线交抛物线于F，设E点坐标是（x，2x2），F点坐标是（x，x22x3），1x1，EF的长是：y=（2x2）（x22x3）=x2+1。当x=0时，EF最大=1，即点E的坐标是（0，2），当线段EF取得最大值时，点E的坐标是（0，2）【点评】本题考查了二次函数的综合题，利用了直线与抛物线相切，利用了一元二次方程的判别式，两点间的距离公式，二次函数的性质，综合性较强变式练习：【考点】二次函数综合题。【专题】压轴题【分析】（1）将A的坐标代入抛物线y=a（x1）2+3（a0）可得a的值，即可得到抛物线的解析式；（2）易得D的坐标，过D作DNOB于N；进而可得DN、AN、AD的长，根据平行四边形，直角梯形，等腰梯形的性质，用t将其中的关系表示出来，并求解可得答案；（3）根据（2）的结论，易得OCB是等边三角形，可得BQ、PE关于t的关系式，将四边形的面积用t表示出来，进而分析可得最小值及此时t的值，进而可求得PQ的长（4）分别利用当AODOQP与当AODOPQ，得出对应边比值相等，进而求出即可【解答】解：（1）抛物线y=a（x1）2+3（a0）经过点A（2，0），0=9a+3，a=，y=（x1）2+3；（2）D为抛物线的顶点，D（1，3），过D作DNOB于N，则DN=3，AN=3，AD=6，DAO=60OMAD，当AD=OP时，四边形DAOP是平行四边形，OP=6，t=6当DPOM时，四边形DAOP是直角梯形，过O作OHAD于H，AO=2，则AH=1（如果没求出DAO=60可由RtOHARtDNA（求AH=1）OP=DH=5，t=5，当PD=OA时，四边形DAOP是等腰梯形，易证：AOHCDP，AH=CP，OP=AD2AH=62=4，t=4综上所述：当t=6、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形；（3）D为抛物线的顶点坐标为：D（1，3），过D作DNOB于N，则DN=3，AN=3，AD=6，DAO=60，COB=60，OC=OB，OCB是等边三角形则OB=OC=AD=6，OP=t，BQ=2t，OQ=62t（0t3）过P作PEOQ于E，则，SBCPQ=63（62t）t，=，当时，SBCPQ的面积最小值为，（4）当AODOQP，则=，AO=2，AD=6，QO=62t，OP=t，=，解得：t=，当AODOPQ，则=，即=，解得：t=，故t=或时以O，P，Q为顶点的三角形与OAD相似【点评】本题考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定与性质、平行四边形、直角梯形、等腰梯形的判定等知识，将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题是考查重点苏州中考题：解：（1）如图，点P从ABCD，全程共移动了 a+2bcm（用含a、b的代数式表示）；（2）圆心O移动的距离为2（a4）cm，由题意，得：a+2b=2（a4），点P移动2秒到达B，即点P2s移动了bcm，点P继续移动3s到达BC的中点，即点P3秒移动了acm= 由解得，点P移动的速度为与O移动速度相同，O移动的速度为=4cm（cm/s）这5秒时间内O移动的距离为54=20（cm）；（3）存在这种情况，设点P移动速度为v1cm/s，O2移动的速度为v2cm/s，由题意，得=，如图：设直线OO1与AB交于E点，与CD交于F点，O1与AD相切于G点，若PD与O1相切，切点为H，则O1G=O1H易得DO1GDO1H，ADB=BDPBCAD，ADB=CBD，BDP=CBD，BP=DP设BP=xcm，则DP=xcm，PC=（20x）cm，在RtPCD中，由勾股定理，得PC2+CD2=PD2，即（20x）2+102=x2，解得x=，此时点P移动的距离为10+=（cm），EFAD，BEO1BAD，=，即=，EO1=16cm，OO1=14cm当O首次到达O1的位置时，O移动的距离为14cm，此时点P与O移动的速度比为=，此时PD与O1不能相切；当O在返回途中到达O1位置时，O移动的距离为2（204）14=18cm，此时点P与O移动的速度比为=，此时PD与O1恰好相切点评：本题考查了圆的综合题，（1）利用了有理数的加法，（2）利用了P与O的路程相等，速度相等得出方程组是解题关键，再利用路程与时间的关系，得出速度，最后利用速度乘以时间得出结果；（3）利用了相等时间内速度的比等于路程的比，相似三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，利用相等时间内速度的比等于路程的比是解题关键例2. 【考点】二次函数综合题【专题】压轴题；动点型【分析】（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx，把已知坐标代入求出抛物线的解析式（2）求出S的面积，根据t的取值不同分三种情况讨论S与t的函数关系式（3）根据旋转的性质，代入解析式，判断是否存在【解答】解：（1）方法一：由图象可知：抛物线经过原点，设抛物线解析式为y=ax2+bx（a0）把A（1，1），B（3，1）代入上式得：，解得所求抛物线解析式为y=x2+x方法二：A（1，1），B（3，1），抛物线的对称轴是直线x=2设抛物线解析式为y=a（x2）2+h（a0）把O（0，0），A（1，1）代入得，解得，所求抛物线解析式为y=（x2）2+（2）分三种情况：当0t2，重叠部分的面积是SOPQ，过点A作AFx轴于点F，A（1，1），在RtOAF中，AF=OF=1，AOF=45，在RtOPQ中，OP=t，OPQ=QOP=45，PQ=OQ=tcos 45=tS=t2，当2t3，设PQ交AB于点G，作GHx轴于点H，OPQ=QOP=45，则四边形OAGP是等腰梯形，重叠部分的面积是S梯形OAGPAG=FH=t2，S=（AG+OP）AF=（t+t2）1=t1当3t4，设PQ与AB交于点M，交BC于点N，重叠部分的面积是S五边形OAMNCPNC和BMN都是等腰直角三角形，重叠部分的面积是S五边形OAMNC=S梯形OABCSBMNB（3，1），OP=t，PC=CN=t3，S=（2+3）1（4t）2，S=t2+4t（3）存在当O点在抛物线上时，将O（t，t）代入抛物线解析式，解得t=0（舍去），t=1；当Q点在抛物线上时，Q（t，t）代入抛物线解析式得t=0（舍去），t=2故t=1或2【点评】本题是一道典型的综合题，重点考查了二次函数的有关知识以及考生理解图形的能力，难度较大变式练习：解：（1）直线l：y=x+m经过点B（0，1），m=1，直线l的解析式为y=x1，直线l：y=x1经过点C（4，n），n=41=2，抛物线y=x2+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，1），解得，抛物线的解析式为y=x2x1；（2）令y=0，则x1=0，解得x=，点A的坐标为（，0），OA=，在RtOAB中，OB=1，AB=，DEy轴，ABO=DEF，在矩形DFEG中，EF=DEcosDEF=DE=DE，DF=DEsinDEF=DE=DE，p=2（DF+EF）=2（+）DE=DE，点D的横坐标为t（0t4），D（t，t2t1），E（t，t1），DE=（t1）（t2t1）=t2+2t，p=（t2+2t）=t2+t，p=（t2）2+，且0，当t=2时，p有最大值；（3）AOB绕点M沿逆时针方向旋转90，A1O1y轴时，B1O1x轴，设点A1的横坐标为x，如图1，点O1、B1在抛物线上时，点O1的横坐标为x，点B1的横坐标为x+1，x2x1=（x+1）2（x+1）1，解得x=，如图2，点A1、B1在抛物线上时，点B1的横坐标为x+1，点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大，x2x1=（x+1）2（x+1）1+，解得x=，综上所述，点A1的横坐标为或苏州中考题：（略）例3. 【考点】二次函数综合题【专题】压轴题【分析】（1）已知了顶点的横坐标，可用顶点式来设二次函数的解析式如：y=a（x4）2+k，根据二次函数过点（0，），可得出=16a+k；由于A、B关于x=4对称，且AB=6，不难得出A、B的坐标为（1，0），（7，0），可将它们的坐标代入解析式中即可求出a、k的值（2）本题的关键是确定P的位置，由于对称轴垂直平分AB，因此P不论在对称轴的什么位置都有PA=PB，连接DB，如果P是交点时，PA+PD的长就是BD的长，两点之间线段最短，因此要想PA+PD最小，P必为DB与对称轴的交点可根据B、D的坐标求出BD所在直线的解析式，然后求出与抛物线对称轴的交点即可得出P点的坐标（3）由于三角形ABC是等腰三角形，要想使QAB与三角形ABC相似，三角形QAB必须为等腰三角形要分两种情况进行讨论：当Q在x轴下方时，Q，C重合，Q点的坐标就是C点的坐标当Q在x轴上方时，应该有两个符合条件的点，抛物线的对称轴左右两侧各一个，且这两点关于抛物线的对称轴相对称因此只需求出一点的坐标即可以AQ=AB为例：可过Q作x轴的垂线，在构建的直角三角形中，根据BQ即AB的长以及QBx的度数来求出Q的坐标然后根据对称性求出另外一点Q的坐标【解答】解：（1）设二次函数的解析式为：y=a（xh）2+k顶点C的横坐标为4，且过点（0，）y=a（x4）2+k，=16a+k又对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6，A（1，0），B（7，0）0=9a+k。由解得a=，k=，二次函数的解析式为：y=（x4）2（2）点A、B关于直线x=4对称，PA=PB，PA+PD=PB+PDDB。当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值，DB与对称轴的交点即为所求点P。设直线x=4与x轴交于点M。PMOD，BPM=BDO，又PBM=DBO，BPMBDO，点P的坐标为（4，）（3）由（1）知点C（4，），又AM=3，在RtAMC中，cosACM=，ACM=60，AC=BC，ACB=120当点Q在x轴上方时，过Q作QNx轴于N如果AB=BQ，由ABCABQ有BQ=6，ABQ=120，则QBN=60，QN=3，BN=3，ON=10，此时点Q（10，），如果AB=AQ，由对称性知Q（2，）当点Q在x轴下方时，QAB就是ACB，此时点Q的坐标是（4，），经检验，点（10，）与（2，）都在抛物线上。综上所述，存在这样的点Q，使QABABC，点Q的坐标为（10，）或（2，）或（4，）【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质等知识点要注意（2）中确定P点位置的方法在（3）中不确定Q位置的情况下要分类进行讨论，不要漏解变式练习：【考点】圆的综合题；勾股定理；矩形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义【专题】综合题；分类讨论【分析】（1）过点B作BHOA于H，如图1（1），易证四边形OCBH是矩形，从而有OC=BH，只需在AHB中运用三角函数求出BH即可（2）过点B作BHOA于H，过点G作GFOA于F，过点B作BROG于R，连接MN、DG，如图1（2），则有OH=2，BH=4，MNOC设圆的半径为r，则MN=MB=MD=r在RtBHD中运用勾股定理可求出r=2，从而得到点D与点H重合易证AFGADB，从而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG设OR=x，利用BR2=OB2OR2=BG2RG2可求出x，进而可求出BR，在RtORB中运用三角函数就可解决问题（3）由于BDE的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况（BDE=90，BED=90，DBE=90）讨论，然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立关于t的方程就可解决问题【解答】解：（1）过点B作BHOA于H，如图1（1），则有BHA=90=COAOCBHBCOA，四边形OCBH是矩形OC=BH，BC=OHOA=6，BC=2，AH=0AOH=OABC=62=4BHA=90，BAO=45，tanBAH=1BH=HA=4OC=BH=4故答案为：4（2）过点B作BHOA于H，过点G作GFOA于F，过点B作BROG于R，连接MN、DG，如图1（2）由（1）得OH=2，BH=4OC与M相切于N，MNOC设圆的半径为r，则MN=MB=MD=rBCOC，OAOC，BCMNOABM=DM，CN=ONMN=（BC+OD）OD=2r2DH=在RtBHD中，BHD=90，BD2=BH2+DH2（2r）2=42+（2r4）2解得：r=2DH=0，即点D与点H重合BD0A，BD=ADBD是M的直径，BGD=90，即DGABBG=AGGFOA，BDOA，GFBDAFGADB=AF=AD=2，GF=BD=2OF=4OG=2同理可得：OB=2，AB=4BG=AB=2设OR=x，则RG=2xBROG，BRO=BRG=90BR2=OB2OR2=BG2RG2（2）2x2=（2）2（2x）2解得：x=BR2=OB2OR2=（2）2（）2=BR=在RtORB中，sinBOR=故答案为：（3）当BDE=90时，点D在直线PE上，如图2此时DP=OC=4，BD+OP=BD+CD=BC=2，BD=t，OP=t则有2t=2解得：t=1则OP=CD=DB=1DEOC，BDEBCO=DE=2EP=2点E的坐标为（1，2）当BED=90时，如图3DBE=OBC，DEB=BCO=90，DBEOBC=BE=tPEOC，OEP=BOC