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一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、已知集合,则( ). . . .2、若实数满足(为虚数单位),则( ). . . .3、甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和,且两人是否获得一等奖相互独立,则两人中恰有一个人获得一等奖的概率是( ). . . .4、若,则的值为( ). . . .5、上海浦东新区2008年生产总值约3151亿元人民币,如果从此浦东新区生产总值的年增长率为,求浦东新区最早哪一年的生产总值超过8000亿元人民币?某同学为解答这个问题设计了一个程序框图,如图1,但不慎将此框图的一个处理框中的内容污染而看不到了,则此框图中因被污染而看不到的内容的数学运算式应是( ). . . .6、汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,如图2,描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况。下列叙述中正确的是( ).消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米. 以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 . 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油 . 某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油7、平行四边形中,点在边上,则的最大值为( ). . . .8、函数在区间内是增函数,则( ). . . .9、已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,若三棱锥体积的最大值为2,则球的表面积为( ). . . .10、已知双曲线的右焦点为,右顶点为,过作的垂线与双曲线交于两点,过分别作的垂线,两垂线交于点,若到直线的距离小于,则双曲线的渐近线斜率的取值范围是( ). . . .11、如图3,画出的是某四棱锥的三视图,网格纸上小正方形的边长为1,则该几何体的体积为( ). . . .12、已知都是定义域为的连续函数。已知:满足:当时,恒成立;都有.满足:都有;当时,.若关于的不等式对恒成立,则的取值范围是( ). . . .二、填空题:本题共4小题,每小题5分。13、的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为 . 14、已知椭圆的左右焦点是,设是椭圆上一点,在上的投影的大小恰好为,且它们的夹角为,则椭圆的离心率为 . 15、若平面区域夹在两条平行直线之间,则当这两条平行直线间的距离最短时,它们的斜率是 . 16、在中,且,边上的中线长为,则的面积是 .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(本小题满分12分)已知数列的前项和为,且,.(1) 求证:数列为等差数列,并求数列的通项公式;(2) 设,求数列的前项和.18、(本小题满分12分)如图4,多面体中,平面为正方形,二面角的余弦值为,且.(1) 证明:(2) 求平面与平面所成锐二面角的余弦值.19、(本小题满分12分)某厂生产不同规格的一种产品,根据检测标准,其合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式(为大于0的常数).按照某项指标测定,当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品. 现随机抽取6件合格产品,测得数据如下:尺寸384858687888质量16.818.820.722.42425.5质量与尺寸的比0.4420.3920.3570.3290.3080.290(1) 现从抽取的6件合格产品中再任选3件,记为取到优等品的件数,试求随机变量的分布列和期望;(2) 根据测得数据作了初步处理,得相关统计量的值如下表:75.324.618.3101.4(i)根据所给统计量,求关于的回归方程;(ii)已知优等品的收益(单位:千元)与的关系为,则当优等品的尺寸为何值时,收益的预报值最大?附:对于样本,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,.20、(本小题满分12分)已知抛物线的焦点为,直线交于两点.(1) 若直线过焦点,过点作轴的垂线,交直线于点,求证:点的轨迹为的准线;(2) 若直线的斜率为1,是否存在抛物线,使得的斜率之积,且的面积为16,若存在,求的方程;若不存在,说明理由.21、(本小题满分12分)已知函数,其中.(1) 设是的导函数,讨论的单调性;(2) 证明:存在,使得恒成立,且在区间内有唯一解.22、(本小题满分10分)选修:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为. 以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1) 求曲线的极坐标方程;(2) 射线与曲线,分别交于,两点(异于原点),定点,求的面积.23、(本小题满分10分)选修:不等式选讲已知函数(1) 若,求不等式的解集;(2) 关于的不等式有解,求实数的取值范围.理科数学参考答案及评分标准第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。题号123456789101112答案ABD B BDACDBCD第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第1321题为必考题,每个试题考生都必须作答。第2223题为选考题,考生根据要求作答。二、填空题:本题共4小题,每小题5分。题号13141516答案或说明:15题只答一个数不给分(即得0分)三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(本小题满分12分)(1)法一: , -2分 又 数列是首项为2,公差为1的等差数列 -3分 ,即: -4分 当时, 当时, , -6分法二: ,即 故 -得:化简得: -2分又由可知,即是首项为2,公差为2的等差数列, -3分 -4分, -5分是首项为2,公差为1的等差数列. -6分(2)法一:解:由()得: 设数列的前项和分别为,则 -7分 记,数列的前项和为 当时,则 当时, -11分 -12分法二:由(1)知设 , 则 - 得 -8分 -10分又, -11分, -12分法三:由(1)知:由(1)知 -8分 -10分又,-11分 -12分18(本小题满分12分)(1)证明:,由勾股定理得: -1分 又正方形中,2分且, 面 -3分 面,平面平面 -4分(注:第(1)只有一种证明方法,必须前面两个线线垂直和都出现,下面的3、4分才能给分,只写一个,本题只给1分。 上面一个垂直各占1分。)(2)解:由()知是二面角的平面角 5分 作于,则, 由平面平面,平面平面,面得: 面 -6分 (第6分给在OE=2上,如果后面E的坐标写对,也可给这1分) 如图,建立空间直角坐标系, 则、 的一个方向向量 -7分 设面的一个法向量, 则, 8分 取,得:-9分(注:其他法向量坐标可按比例正确给,比如之类,也是正确的)又面一个法向量为: -10分 -11分设面与面所成二面角为,由为锐角得:-12分(注:最后需要根据条件作答案为“正值”的说明,只算法向量答案,不做文字说明,扣1分。)(第(2)问解法2) ()7分 设面的一个法向量, 则8分 令,得, 9分 (后面步骤相同)(第(2)问解法3)以D点建系的解法,求出来的法向量与以上建系的坐标一样。(第(2)问解法4:几何法)连结BD,延长CB至G,使得GB=BC=2 , 连结GA并延长交CD的延长线于H,连结EH过C作的延长线于点K,连结BK 5分B为CG中点,AB/CD A为GH中点, HD=CD=4 BD/GH GH/EF, H、A、G、E、F共面 6分由(1)知 又 为所求二面角的一个平面角 8分 而GHK 9分 10分 11分 为锐角 面与面所成二面角的锐角余弦值为12分19(本小题满分12分)(1)解:由已知,优等品的质量与尺寸的比在区间内,即 则随机抽取的6件合格产品中,有3件为优等品,3件为非优等品 -1分现从抽取的6件合格产品中再任选3件,则取到优等品的件数-2分 , , (算对两个给1分) , -3分 的分布列为 -4分 -5分(2)解:对()两边取自然对数得, 令,得,且, -6分 ()根据所给统计量及最小二乘估计公式有, -7分 ,得,故 -8分 所求y关于x的回归方程为 -9分 ()由()可知,则 由优等品质量与尺寸的比,即-10分 令, 当时,取最大值 -12分 即优等品的尺寸(mm),收益的预报值最大.20(1)证明:依题意得,直线的斜率存在,过焦点,故设其方程为:,设点,,由得:,则 -2分直线,直线-3分由得:,-4分又由直线的斜率存在,可得, 故点的轨迹在的准线上(). -5分证法二:依题意得,直线的斜率存在,过焦点,故设其方程为:,设点,,由得:,则 -2分过点作轴的垂线,与的准线的交点为,而直线, -3分将代入直线方程得,即直线也过点, -4分又由直线的斜率存在,可得, 故点的轨迹在的准线上().-5分(注:因为题目是证明,故没有说明不扣分)21(本小题满分12分)(1)解:由已知,函数的定义域为, -1分 所以 -2分 当时,单调递减 -3分 当时,单调递增 -4分(2)证明:由,解得 -5分 令 -6分 则 于是,存在,使得 -7分 令 -8分 由()知:,即 -9分 当时,有 由()知,在区间上单调递增 故:当时, 当时, -10分 又当时, 所以,当时,. -11分综上述,存在,使得恒成立,且在区间内有唯一解-12分22(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程(1)解:曲线的直角坐标方程为: -2分(有转化正确,但最终写错,可给1分) 由,得:曲线的极坐标方程为 -4分(没有给出转化公式扣1分,没有给出转化公式但有在做题中体现转化过程,可不扣分)法一:(2) 解:点到射线的距离为 -6分 -9分(两个极径每求一个可得1分,两个2分,算对极径差值得1分)则 -10分(如,则距离d这步得分可算在这里.)法二:(2)解:将 曲线的极坐标方程为 由,得:由得 由得 -6分(每求对一个交点坐标得1分,两个都对得2分) -7分点M到直线 -8分 -10分23(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲(1)解:当a=1时,原不等式等价于: -1分 当 -2分 当 -3分 当 -4分 原不等式的解集为: -5分(2)解: -6分 令,依题意: -7分 , -8分 ,解得或 -9分 故:的取值范围为 -10分
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