2015数学三试题

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题解析一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)设是数列,下列命题中不正确的是 ( )(A) 若,则(B) 若, 则(C)若,则(D) 若,则 (2) 设函数在内连续,其2阶导函数的图形如右图所示,则曲线的拐点个数为 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 设,函数在上连续,则 ( )(A) (B) (C)(D) (4) 下列级数中发散的是( )(A) (B) (C)(D) (5)设矩阵,.若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) (B) (C)(D) (6)设二次型在正交变换下的标准形为，其中，若则在正交变换下的标准形为( )(A) (B) (C)(D) (7) 若为任意两个随机事件,则: ( )(A) (B)(C)(D) (8) 设总体为来自该总体的简单随机样本,为样本均值,则 ( )(A) (B)(C) (D)二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9) (10)设函数连续，若则 (11)若函数由方程确定，则 (12)设函数是微分方程的解，且在处取得极值3，则 (13)设3阶矩阵的特征值为，其中E为3阶单位矩阵，则行列式 (14)设二维随机变量服从正态分布，则三、解答题：1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10 分)设函数.若与在时是等价无穷小，求的值.(16)(本题满分10 分)计算二重积分，其中 (17)(本题满分10分)为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设为该商品的需求量，为价格，MC为边际成本，为需求弹性.(I) 证明定价模型为；(II) 若该商品的成本函数为，需求函数为，试由（I）中的定价模型确定此商品的价格. (18)(本题满分10 分)设函数在定义域上的导数大于零，若对任意的，曲线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4，且，求表达式. (19)(本题满分 10分)（I）设函数可导，利用导数定义证明（II）设函数可导，写出的求导公式. (20) (本题满分 11分)设矩阵，且.(I) 求的值；(II)若矩阵满足，其中为3阶单位矩阵，求. (21) (本题满分11 分)设矩阵相似于矩阵.(I) 求的值；（II）求可逆矩阵，使为对角矩阵. (22) (本题满分11 分)设随机变量的概率密度为,对进行独立重复的观测,直到第2个大于3的观测值出现时停止，记为观测次数(I)求的概率分布；(II)求. (23) (本题满分11 分)设总体的概率密度为其中为未知参数，为来自该总体的简单随机样本.(I)求的矩估计量；(II)求的最大似然估计量.