高三一轮复习5机械能

第 1 页 共 73 页 第五章 Error 机械能 备考指南 考 点 内 容 要求 题型 把 握 考 情 一 功和功率 功和功率 选择 计 算 二 动能定理及 其应用 动能和动能定理 选择 计 算 重力做功与重力 势能 三 机械能守恒 定律及其应用 机械能守恒定律 及其应用 选择 计 算 找 规 律 近几年高考既有对本 章内容的单独考查 也有 与牛顿运动定律 曲线运 动 电磁学等内容相结合 的综合考查 对本章单独 考查的题目多为选择题 四 功能关系 能量守恒定律 功能关系 选择 计 算 实验五 六 探究动能定理 验证机 械能守恒定律 填空 明 热 点 将本章内容与其他知 识相结合 与实际生产 生活和现代科技相结合进 行命题的趋势较强 在复 习中应侧重对基础知识的 理解和应用 第 1 节 功和功率 第 2 页 共 73 页 1 只要物体受力的同时又发生了位移 则一定有力对物体做功 2 一个力对物体做了负功 则说明这个力一定阻碍物体的运动 3 作用力做正功时 反作用力一定做负功 4 力对物体做功的正负是由力和位移间的夹角大小决定的 5 由 P Fv 可知 发动机功率一定时 机车的牵引力与运行速度的大小成反比 6 汽车上坡时换成低挡位 其目的是减小速度得到较大的牵引力 要点一 功的正负判断与恒力 合力做功的计算 1 功的正负的判断方法 1 恒力做功的判断 依据力与位移的夹角来判断 2 曲线运动中做功的判断 依据 F 与 v 的方向夹角 来判断 当 0 90 力对物 体做正功 90 4WF1 W f2 2Wf1 B W F2 4WF1 W f2 2W f1 C W F2 4WF1 W f2 2W f1 D W F2 4WF1 W f2 2Wf1 解析 选 C 第 4 页 共 73 页 要点二 变力做功的计算 一 利用动能定理求变力做功 动能定理既适用于直线运动 也适用于曲线运动 既适用于求恒 力做功也适用于求变力做功 因使用动能定理可由动能的变化来求功 所以动能定理是求变力做功的首选 典例 1 2015 海南高考 如图 5 1 3 一半径为 R 的半圆形轨道竖直固定放置 轨道两端等高 质量为 m 的质点 自轨道端点 P 由静止开始滑下 滑到最低点 Q 时 对轨道的正压力为 2mg 重力加速度大 小为 g 质点自 P 滑到 Q 的过程中 克服摩擦力所做的功为 A mgR B mgR 14 13 C mgR D mgR 12 4 答案 C 二 利用微元法求变力做功 将物体的位移分割成许多小段 因小段很小 每一小段上作用在物体上的力可以视为 恒力 这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和 此 法在中学阶段 常应用于求解大小不变 方向改变的变力做功问题 典例 2 如图 5 1 4 所示 在水平面上 有一弯曲的槽道 槽道由半径分别为 和 R 的两个AB R2 半圆构成 现用大小恒为 F 的拉力将一光滑小球从 A 点沿槽道拉至 B 点 若拉力 F 的方向 时刻与小球运动方向一致 则此过程中拉力所做的功为 A 0 B FR C 2 FR D FR 32 答案 D 第 5 页 共 73 页 三 化变力为恒力求变力做功 变力做功直接求解时 通常都比较复杂 但若通过转换研究的对 象 有时可化为恒力做功 用 W Flcos 求解 此法常常应用于轻 绳通过定滑轮拉物体的问题中 典例 3 如图 5 1 5 所示 固定的光滑竖直杆上套着一个滑块 用轻绳系着滑块绕过 光滑的定滑轮 以大小恒定的拉力 F 拉绳 使滑块从 A 点起由静止开始上升 若从 A 点上 升至 B 点和从 B 点上升至 C 点的过程中拉力 F 做的功分别为 W1 和 W2 滑块经 B C 两点 的动能分别为 EkB 和 EkC 图中 AB BC 则 图 5 1 5 A W 1 W 2 B W 1 W 2 C W 1 W 2 D 无法确定 W1 和 W2 的大小关系 答案 A 四 利用平均力求变力做功 在求解变力做功时 若物体受到的力方向不变 而大小随位移呈线性变化 即力均匀变 化时 则可以认为物体受到一大小为 的恒力作用 F1 F 2 分别为物体初 末态F F1 F22 所受到的力 然后用公式 W lcos 求此力所做的功 弹簧弹力做功 F 典例 4 把长为 l 的铁钉钉入木板中 每打击一次给予的能量为 E0 已知钉子在木板 中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比 比例系数为 k 问此钉子全部进入木板需要打 击几次 解析 在把钉子打入木板的过程中 钉子把得到的能量用来克服阻力做功 而阻力与 钉子进入木板的深度成正比 先求出阻力的平均值 便可求得阻力做的功 钉子在整个过程中受到的平均阻力为 F 0 kl2 kl2 钉子克服阻力做的功为 W F Fl kl2 12 设全过程共打击 n 次 则给予钉子的总能量 E 总 nE 0 kl2 所以 n 12 kl22E0 第 6 页 共 73 页 五 利用 F x 图像求变力做功 在 F x 图像中 图线与 x 轴所围 面积 的代数和就表示力 F 在这段位移所做的功 且位于 x 轴上方的 面积 为正 位于 x 轴下方的 面积 为负 但此方法只适用于便于 求图线所围面积的情况 如三角形 矩形 圆等规则的几何图形 v t 典例 5 某物体在变力 F 作用下沿水平方向做直线运动 物体的质量 m 10 kg F 随物体的坐 标 x 的变化情况如图 5 1 6 所示 若物体从坐标原点由静止出发 不计一切摩擦 借鉴教科 书中学习直线运动时由 v t 图像求位移的方法 结合其他所学知识 根据图示的 F x 图像可 求出物体运动到 x 16 m 处时的速度大小为 A 3 m s B 4 m s C 2 m s D m s2 17 答案 C 变式训练 2016 湖北省重点中学联考 一滑块在水平地面上沿直线滑行 t 0 时其 速度为 1 m s 从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平方向作用力 F 力 F 和滑块的速度 v 随时间的变化规律分别如图甲和图乙所示 设在第 1 s 内 第 2 s 内 第 3 s 内力 F 对滑块 做的功分别为 W1 W 2 W 3 则以下关系正确的是 A W 1 W 2 W3 B W 1 W2 W3 C W 1 W3 W2 D W 1 W 2 W3 解析 选 B 要点三 功率的分析与计算 1 平均功率的计算 1 利用 P Wt 2 利用 P F cos 其中 为物体运动的平均速度 v v 2 瞬时功率的计算 第 7 页 共 73 页 1 利用公式 P F vcos 其中 v 为 t 时刻的瞬时速度 2 利用公式 P F vF 其中 vF 为物体的速度 v 在力 F 方向上的分速度 3 利用公式 P F vv 其中 Fv 为物体受的外力 F 在速度 v 方向上的分力 m g L w 质量为 m 的物体静止在光滑水平面上 从 t 0 时刻开始受到水平力的作用 力的大小 F 与时间 t 的关系如图所示 力的方向保持不变 则 A 3t 0 时刻的瞬时功率为 5F20t0m B 3t 0 时刻的瞬时功率为 15F20t0m C 在 t 0 到 3t0 这段时间内 水平力的平均功率为 23F20t04m D 在 t 0 到 3t0 这段时间内 水平力的平均功率为 25F20t06m 答案 BD 多角练通 1 2016 昆明模拟 将一个小球斜向上抛出 小球在空中依次飞过三个完全相同的窗户 1 2 3 图 5 1 7 中曲线为小球在空中运动的轨迹 若不计空气阻力的影响 以下说法正 确的是 A 小球通过第 1 个窗户所用的时间最长 B 小球通过第 1 个窗户重力做的功最大 C 小球通过第 3 个窗户重力的平均功率最小 D 小球通过第 3 个窗户的平均速度最大 解析 选 C 2 2015 福州二模 如图 5 1 8 所示 一个纵截面是等腰三角形的斜面体 M 置于水平地 面上 它的底面粗糙 两斜面光滑 将质量不相等的 A B 两个小滑块 mA m B 同时从斜面 上同一高度处静止释放 在两滑块滑至斜面底端的过程中 M 始终保持静止 则 图 5 1 8 A B 滑块先滑至斜面底端 B 地面对斜面体的摩擦力方向水平向左 C 两滑块滑至斜面底端时重力的瞬时功率相同 D 地面对斜面体的支持力等于三个物体的总重力 解析 选 B 第 8 页 共 73 页 要点四 机车启动问题 1 两种启动方式的比较 两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动 P t 图 和 v t 图 过程 分析 v F P 不 变 v a F F阻m a 不变 F 不变 F F阻m P F v 直到 P 额 Fv 1 v OA 段 运动 性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动 维持时间 t0 v1a 过程 分析 F F 阻 a 0 v m PF阻 v F P额v a F F阻mAB 段 运动 性质 以 vm 匀速直线运动 加速度减小的加速运动 BC 段 无 F F 阻 a 0 以 vm 匀速运动 P额F阻 1 某型号汽车发动机的额定功率为 60 kW 在水平路面上行驶时受到的阻力是 1 800 N 求在发动机在额定功率下汽车匀速行驶的速度 在同样的阻力下 如果汽车匀速行驶的 速度只有 54 km h 发动机输出的实际功率是多少 2 额定功率为 80 kW 的汽车 在平直公路上行驶的最大速度是 20 m s 汽车的质量是 2 t 如果汽车从静止开始做匀加速直线运动 加速度的大小是 2 m s2 运动过程中阻力不 变 求 1 汽车受到的阻力多大 2 3 s 末汽车的瞬时功率多大 3 汽车维持匀加速运动的时间是多少 第 9 页 共 73 页 2 三个重要关系式 1 无论哪种启动过程 机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度 即 vm PF阻 2 机车以恒定加速度启动时 匀加速过程结束后功率最大 速度不是最大 即 v mgR 质点不能到达 Q 点 12 C W mgR 质点到达 Q 点后 继续上升一段距离 12 D W 所以剪断细线后小球 P 做平抛运动 由机械能守恒定律知gR mPgR mPv mPv 解得 v1 2 12 2C 12 21 gR 3 剪断细线后 小球 Q 做竖直下抛运动 反弹后做竖直上抛 运动到最高点 满足机 械能守恒 则有 m Qg 2 R mQv m Qg h h max 解得 hmax R 14 12 2C 32 答案 1 2 2 3 R2gR gR 32 例 2 质量分别为 m 和 M 其中 M 2m 的两个小球 P 和 Q 中间用轻质杆固定连接 在杆的中点 O 处有一个固定转轴 如图所示 现在把杆置于水平位置后自由释放 在 Q 球 顺时针摆动到最低位置的过程中 下列有关能量的说法正确的是 第 43 页 共 73 页 A Q 球的重力势能减少 动能增加 Q 球和地球组成的系统机械能守恒 B P 球的重力势能 动能都增加 P 球和地球组成的系统机械能不守恒 C P 球 Q 球和地球组成系统机械能守恒 D P 球 Q 球和地球组成的系统机械能不守恒 答案 BC 第 44 页 共 73 页 典例 3 一半径为 R 的半圆形竖直圆柱面 用轻质不可伸长的细绳连接的 A B 两球 悬挂在圆柱面边缘两侧 A 球质量为 B 球质量的 2 倍 现将 A 球从圆柱边缘处由静止释放 如图所示 已知 A 球始终不离开圆柱内表面 且细绳足够长 若不计一切摩擦 求 1 A 球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小 2 A 球沿圆柱内表面运动的最大位移 答案 1 2 2 R 2 25 gR 3 解析 1 设 A 球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小为 v B 球的质量为 m 则根 据机械能守恒定律有 2mgR mgR 2mv2 mv2 12 12 2B 由图甲可知 A 球的速度 v 与 B 球速度 vB的关系为 vB v 1 vcos45 联立解得 v 2 2 25 gR 第 45 页 共 73 页 2 当 A 球的速度为零时 A 球沿圆柱内表面运动的位移最大 设为 x 如图乙所示 由 几何关系可知 A 球下降的高度 h 根据机械能守恒定律有 2mgh mgx 0 x2R4R2 x2 解得 x R 3 典例 2015 济南模拟 半径为 R 的光滑圆环竖直放置 环上套有两个质量分别为 m 和 m 的小球 A 和 B A B 之间用一长为 R 的轻杆相连 如图 5 3 6 所示 开始时 3 2 A B 都静止 且 A 在圆环的最高点 现将 A B 释放 试求 图 5 3 6 1 B 球到达最低点时的速度大小 2 B 球到达最低点的过程中 杆对 A 球做的功 3 B 球在圆环右侧区域内能达到的最高点位置 审题指导 1 A B 和轻杆组成的系统机械能守恒 2 因 OA OB 两球沿杆方向的分速度相等 两球速度大小始终相同 3 由系统机械能守恒可知 B 球一定能到达右侧区域高于 O 点的位置 解析 1 释放后 B 到达最低点的过程中 A B 和杆组成的系统机械能守恒 mAgR m BgR mAvA2 mBvB2 12 12 又 OA OB AB 杆长 R 故 OA OB 与杆间夹角均为 45 可得 vA v B 解得 2 第 46 页 共 73 页 vB 2gR 2 对小球 A 应用动能定理可得 W 杆 A mAgR mAvA2 又 vA v B 12 解得杆对 A 球做功 W 杆 A 0 3 设 B 球到达右侧最高点时 OB 与竖直方向之间的夹角为 取圆环的圆心 O 为零势 面 由系统机械能守恒可得 mAgR m BgRcos m AgRsin 代入数据可得 30 所以 B 球在圆环右侧区域内达到最高点时 高于圆心 O 的高度 hB Rcos R 32 答案 1 2 0 3 高于 O 点 R 处2gR 32 针对训练 1 2015 天津高考 如图 5 3 7 所示 固定的竖直光滑长杆上套有质量为 m 的小圆环 圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接 弹簧的另一端连接在墙上 且处于原长状态 现让圆 环由静止开始下滑 已知弹簧原长为 L 圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为 2L 未超过 弹性限度 则在圆环下滑到最大距离的过程中 图 5 3 7 A 圆环的机械能守恒 B 弹簧弹性势能变化了 mgL3 C 圆环下滑到最大距离时 所受合力为零 D 圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变 解析 选 B 2 多选 2015 全国卷 如图 5 3 8 滑块 a b 的质量均为 m a 套在固定竖直杆上 与光滑水平地面相距 h b 放在地面上 a b 通过铰链用刚性轻杆连接 由静止开始运动 不计摩擦 a b 可视为质点 重力加速度大小为 g 则 第 47 页 共 73 页 图 5 3 8 A a 落地前 轻杆对 b 一直做正功 B a 落地时速度大小为 2gh C a 下落过程中 其加速度大小始终不大于 g D a 落地前 当 a 的机械能最小时 b 对地面的压力大小为 mg 解析 选 BD 要点四 用机械能守恒定律解决非质点问题 在应用机械能守恒定律处理实际问题时 经常遇到像 链条 液柱 类的物体 其在 运动过程中将发生形变 其重心位置相对物体也发生变化 因此这类物体不能再看成质点来 处理 物体虽然不能看成质点来处理 但因只有重力做功 物体整体机械能守恒 一般情况下 可将物体分段处理 确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置 根据初末状态物体重 力势能的变化列式求解 典例 如图 5 3 9 所示 AB 为光滑的水平面 BC 是倾角为 的足够长的光滑斜面 斜面体固定不动 AB BC 间用一小段光滑圆弧轨道相连 一条长为 L 的均匀柔软链条开 始时静止的放在 ABC 面上 其一端 D 至 B 的距离为 L a 现自由释放链条 则 图 5 3 9 1 链条下滑过程中 系统的机械能是否守恒 简述理由 2 链条的 D 端滑到 B 点时 链条的速率为多大 解析 1 链条在下滑过程中机械能守恒 因为斜面 BC 和 AB 面均光滑 链条下滑时 第 48 页 共 73 页 只有重力做功 符合机械能守恒的条件 2 设链条质量为 m 可以认为始末状态的重力势能变化是由 L a 段下降引起的 高度减少量 h sin sin a L a2 L a2 该部分的质量为 m L a mL 由机械能守恒定律可得 L a gh mv2 mL 12 可解得 v gL L2 a2 sin 答案 1 见解析 2 gL L2 a2 sin 针对训练 1 如图 5 3 10 所示 粗细均匀 两端开口的 U 形管内装有同种液体 开始时两边液面 高度差为 h 管中液柱总长度为 4h 后来让液体自由流动 当两液面高度相等时 右侧液 面下降的速度为 A B 18gh 16gh C D 14gh 12gh 解析 选 A 2 多选 如图 5 3 11 所示 倾角 30 的光滑斜面固定在地面上 长为 l 质量为 m 粗细均匀 质量分布均匀的软绳置于斜面上 其上端与斜面顶端齐平 用细线将物块与软绳 连接 物块由静止释放后向下运动 直到软绳刚好全部离开斜面 此时物块未到达地面 在 此过程中 A 物块的机械能逐渐增加 B 软绳的重力势能减少了 mgl 14 C 物块重力势能的减少量等于软绳机械能的增加量 D 软绳重力势能减少量小于其动能的增加量 解析 选 BD 第 49 页 共 73 页 3 如图 5 3 12 所示 露天娱乐场空中列车是由许多节完全相同的车厢组成 列车先沿 光滑水平轨道行驶 然后滑上一固定的半径为 R 的空中圆形光滑轨道 若列车全长为 L L 2 R R 远大于一节车厢的长度和高度 那么列车在运行到圆环轨道前的速度至少要 多大 才能使整个列车安全通过固定的圆环轨道 车厢间的距离不计 图 5 3 12 解析 当列车进入轨道后 动能逐渐向势能转化 车速逐渐减小 当车厢占满圆环时的 速度最小 设此时的速度为 v 列车的质量为 m 轨道上那部分列车的质量 m 2 R mL 由机械能守恒定律可得 mv02 mv2 m gR 12 12 又因圆环顶部车厢应满足 mg m v2R 可求得 v 0 gR 1 4 RL 有关机械能守恒的一组易错题 一 因对机械能守恒条件把握不准而导致错误 1 如图 5 3 13 所示 一轻弹簧左端固定在长木板 M 的左端 右端与小木块 m 连接 且 m 与 M 及 M 与地面间接触光滑 开始时 m 与 M 均静止 现同时对 m M 施加等大反向 的水平恒力 F1 和 F2 在两物体开始运动以后的整个运动过程中 弹簧形变不超过其弹性限 度 下面正确的说法是 A 对 m M 和弹簧组成的系统 机械能守恒 B 对 m M 和弹簧组成的系统 动能不断增加 C 对 m M 和弹簧组成的系统 机械能不断增加 D 当弹簧弹力大小与 F1 F 2 大小相等时 m M 的动能最大 解析 选 D 二 审题不仔细 由于思维定势而导致错误 2 如图 5 3 14 所示 一辆小车静止在光滑的水平导轨上 一小球用细绳悬挂在车上 由 第 50 页 共 73 页 图中虚线位置无初速释放 则小球在下摆过程中 下列说法正确的是 A 绳子的拉力对小球不做功 小球机械能守恒 B 绳子的拉力对小球做正功 小球机械能增加 C 绳子的拉力对小球做负功 小球机械能减小 D 小球所受到的合力不做功 小球机械能不变 解析 选 C 三 不做具体分析 只凭直观想象而导致错误 3 多选 如图 5 3 15 所示 质量分别为 m 和 2m 的两个小球 a 和 b 中间用轻质杆相连 在杆的中点 O 处有一固定转动轴 把杆置于水平位置后释放 在 b 球顺时针摆动到最低位 置的过程中 A b 球的重力势能减少 动能增加 b 球机械能守恒 B a 球的重力势能增加 动能也增加 a 球机械能不守恒 C a 球 b 球组成的系统机械能守恒 D a 球 b 球组成的系统机械能不守恒 解析 选 BC 四 因缺乏对运动过程的详细分析而导致错误 4 如图 5 3 16 所示 一物体以初速度 v0 冲向光滑斜面 AB 并能沿斜面升高 h 下列说 法中正确的是 图 5 3 16 A 若把斜面从 C 点锯断 由机械能守恒定律知 物体冲出 C 点后仍能升高 h B 若把斜面弯成圆弧形 物体仍能沿 AD 升高 h C 若把斜面从 C 点锯断或弯成圆弧状 物体都不能升高 h 因为机械能不守恒 D 若把斜面从 C 点锯断或弯成圆弧状 物体都不能升高 h 但机械能仍守恒 解析 选 D 反思领悟 1 物体做斜抛运动通过最高点的速度不为零 物体沿圆弧到达圆的顶点时的速度也不 能为零 2 物体系统机械能守恒时 物体系统内的单个物体的机械能一般并不守恒 第 51 页 共 73 页 对点训练 对重力势能 弹性势能 机械能的理解 1 多选 2015 滁州模拟 关于重力势能 下列说法中正确的是 A 重力势能是地球与物体所组成的系统共有的 B 重力势能为负值 表示物体的重力势能比在参考平面上具有的重力势能少 C 卫星绕地球做椭圆运动 当由近地点向远地点运动时 其重力势能减小 D 只要物体在水平面以下 其重力势能为负值 解析 选 AB 2 2016 唐山二模 质量均为 m 半径均为 R 的两个完全相同的小球 A B 在水平轨道 上以某一初速度向右冲上倾角为 的倾斜轨道 两轨道通过一小段圆弧平滑连接 若两小 球运动过程中始终接触 不计摩擦阻力及弯道处的能量损失 在倾斜轨道上运动到最高点时 两球机械能的差值为 图 1 A 0 B mgR sin C 2mgR sin D 2mgR 解析 选 C 3 如图 2 所示 两根相同的轻质弹簧竖直放置 下端固定在水平地面上 可视为质点 质量不同 m1 m 2 的两物块分别置于两弹簧上端 现用外力作用在物块上 使两弹簧具有相 同的压缩量 若撤去外力后 两物块由静止竖直向上弹出并离开弹簧 则从撤去外力到物块 速度第一次减为零的过程中 两物块 图 2 A 上升的最大高度一定相同 B 重力势能的变化量一定相同 C 最大加速度一定相同 D 最大速度一定相同 解析 选 B 对点训练 单个物体的机械能守恒问题 4 2015 佛山调研 在一次课外趣味游戏中 有四位同学分别将四个质量不同的光滑小 第 52 页 共 73 页 球沿竖直放置的内壁光滑的半球形碗的碗口内侧同时由静止释放 碗口水平 如图 3 所示 他们分别记下了这四个小球下滑速率为 v 时的位置 则这些位置应该在同一个 图 3 A 球面 B 抛物面 C 水平面 D 椭圆面 解析 选 C 5 2015 广州二模 如图 4 所示 在下列不同情形中将光滑小球以相同速率 v 射出 忽 略空气阻力 结果只有一种情形小球不能到达天花板 则该情形是 图 4 A A B B C C D D 解析 选 B 6 用长度为 l 的细绳悬挂一个质量为 m 的小球 将小球移至和悬点等高的位置使绳自 然伸直 放手后小球在竖直平面内做圆周运动 小球在最低点的势能取作零 则小球运动过 程中第一次动能和势能相等时重力的瞬时功率为 A mg B mggl 12 gl C mg D mg 12 3gl 13 3gl 解析 选 C 对点训练 多个物体的机械能守恒问题 7 多选 如图 5 所示 有一光滑轨道 ABC AB 部分为半径为 R 的 圆弧 BC 部分水平 14 质量均为 m 的小球 a b 固定在竖直轻杆的两端 轻杆长为 R 不计小球大小 开始时 a 球 处在圆弧上端 A 点 由静止释放小球和轻杆 使其沿光滑轨道下滑 下列说法正确的是 第 53 页 共 73 页 图 5 A a 球下滑过程中机械能保持不变 B a b 两球和轻杆组成的系统在下滑过程中机械能保持不变 C a b 滑到水平轨道上时速度为 2gR D 从释放到 a b 滑到水平轨道上 整个过程中轻杆对 a 球做的功为 mgR2 解析 选 BD 8 多选 2015 江苏高考 如图 6 所示 轻质弹簧一端固定 另一端与一质量为 m 套 在粗糙竖直固定杆 A 处的圆环相连 弹簧水平且处于原长 圆环从 A 处由静止开始下滑 经过 B 处的速度最大 到达 C 处的速度为零 AC h 圆环在 C 处获得一竖直向上的速度 v 恰好能回到 A 弹簧始终在弹性限度内 重力加速度为 g 则圆环 A 下滑过程中 加速度一直减小 B 下滑过程中 克服摩擦力做的功为 mv2 14 C 在 C 处 弹簧的弹性势能为 mv2 mgh 14 D 上滑经过 B 的速度大于下滑经过 B 的速度 解析 选 BD 9 多选 2016 苏北四市高三调研 如图 7 所示 固定在地面的斜面体上开有凹槽 槽 内紧挨放置六个半径均为 r 的相同小球 各球编号如图 斜面与水平轨道 OA 平滑连接 OA 长度为 6r 现将六个小球由静止同时释放 小球离开 A 点后均做平抛运动 不计一切摩 擦 则在各小球运动过程中 下列说法正确的是 图 7 A 球 1 的机械能守恒 B 球 6 在 OA 段机械能增大 第 54 页 共 73 页 C 球 6 的水平射程最小 D 六个球落地点各不相同 解析 选 BC 对点训练 有关机械能守恒定律的综合问题 10 多选 2015 高密模拟 如图 8 所示 在距水平地面高为 0 4 m 处 水平固定一根长直 光滑杆 在杆上 P 点固定一定滑轮 滑轮可绕水平轴无摩擦转动 在 P 点的右边 杆上套 有一质量 m 2 kg 的小球 A 半径 R 0 3 m 的光滑半圆形细轨道竖直地固定在地面上 其 圆心 O 在 P 点的正下方 在轨道上套有一质量也为 m 2 kg 的小球 B 用一条不可伸长的 柔软细绳 通过定滑轮将两小球连接起来 杆和半圆形轨道在同一竖直面内 两小球均可看 作质点 且不计滑轮大小的影响 现给小球 A 一个水平向右的恒力 F 50 N 取 g 10 m s2 则 图 8 A 把小球 B 从地面拉到 P 的正下方时力 F 做功为 20 J B 小球 B 运动到 C 处时的速度大小为 0 C 小球 B 被拉到与小球 A 速度大小相等时 sin OPB 34 D 把小球 B 从地面拉到 P 的正下方时小球 B 的机械能增加了 6 J 解析 选 AC 11 2015 连云港一模 如图 9 所示 半径 R 0 5 m 的光滑圆弧轨道 ABC 与足够长的粗 糙轨道 CD 在 C 处平滑连接 O 为圆弧轨道 ABC 的圆心 B 点为圆弧轨道的最低点 半径 OA OC 与 OB 的夹角分别为 53 和 37 将一个质量 m 0 5 kg 的物体 视为质点 从 A 点左 侧高为 h 0 8 m 处的 P 点水平抛出 恰从 A 点沿切线方向进入圆弧轨道 已知物体与轨道 CD 间的动摩擦因数 0 8 重力加速度 g 10 m s 2 sin 37 0 6 cos 37 0 8 求 图 9 1 物体水平抛出时的初速度大小 v0 第 55 页 共 73 页 2 物体经过 B 点时 对圆弧轨道压力大小 FN 3 物体在轨道 CD 上运动的距离 x 解析 1 由平抛运动规律知 vy2 2gh 竖直分速度 vy 4 m s2gh 初速度 v0 v ytan 37 3 m s 2 对从 P 至 B 点的过程 由机械能守恒有 mg h R Rcos 53 mvB2 mv02 12 12 经过 B 点时 由向心力公式有 FN mg m vB2R 代入数据解得 FN 34 N 由牛顿第三定律知 对轨道的压力大小为 FN 34 N 方向竖直向下 3 因 mgcos 37 mgsin 37 物体沿轨道 CD 向上作匀减速运动 速度减为零后不会 下滑 从 B 到上滑至最高点的过程 由动能定理有 mgR 1 cos 37 mgsin 37 mgcos 37 x 0 mvB2 12 代入数据可解得 x 1 09 m 135124 在轨道 CD 上运动通过的路程 x 约为 1 09 m 答案 1 3 m s 2 34 N 3 1 09 m 12 2015 石家庄高三调研 如图 10 所示 一个半径为 R 的 圆周的轨道 O 点为圆心 14 B 为轨道上的一点 OB 与水平方向的夹角为 37 轨道的左侧与一固定光滑平台相连 在 平台上一轻质弹簧左端与竖直挡板相连 弹簧原长时右端在 A 点 现用一质量为 m 的小球 与弹簧不连接 压缩弹簧至 P 点后释放 已知重力加速度为 g 不计空气阻力 图 10 1 若小球恰能击中 B 点 求刚释放小球时弹簧的弹性势能 2 试通过计算判断小球落到轨道时速度能否与圆弧垂直 第 56 页 共 73 页 3 改变释放点的位置 求小球落到轨道时动能的最小值 解析 1 小球离开 O 点做平抛运动 设初速度为 v0 由 Rcos 37 v 0t Rsin 37 gt2 12 解得 v 0 由机械能守恒 Ep mv02 mgR 815gR 12 415 2 设落点与 O 点的连线与水平方向的夹角为 小球做平抛运动 由 Rcos v 0t Rsin gt2 12 位移方向与圆弧垂直 tan 12gt2 v0t gt2v0 设速度方向与水平方向的夹角为 tan 2tan vyv0 gtv0 所以小球不能垂直击中圆弧 3 设落点与 O 点的连线与水平方向的夹角为 小球做平抛运动 Rcos v 0t Rsin gt2 12 由动能定理 mgRsin E k mv02 12 解得 Ek mgR 34sin 14sin 当 sin 时 取最小值 Ek mgR 33 32 答案 1 mgR 2 不会垂直击中圆弧 3 mgR 415 32 第 4 节 功能关系 能量守恒定律 第 57 页 共 73 页 1 力对物体做了多少功 物体就具有多少能 2 能量在转移或转化过程中 其总量会不断减少 3 在物体的机械能减少的过程中 动能有可能是增大的 4 既然能量在转移或转化过程中是守恒的 故没有必要节约能源 5 节约可利用能源的目的是为了减少污染排放 6 滑动摩擦力做功时 一定会引起机械能的转化 7 一个物体的能量增加 必定有别的物体能量减少 要点一 功能关系的理解与应用 1 对功能关系的理解 1 做功的过程就是能量转化的过程 不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现 的 2 功是能量转化的量度 功和能的关系 一是体现在不同的力做功 对应不同形式的 能转化 具有一一对应关系 二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等 2 几种常见的功能关系及其表达式 各种力做功 对应能 的变化 定量的关系 合力的功 动能变化 合力对物体做功等于物体动能的增量 W 合 第 58 页 共 73 页 E k2 E k1 重力的功 重力势 能变化 重力做正功 重力势能减少 重力做负功 重力 势能增加 且 WG E p E p1 E p2 弹簧弹 力的功 弹性势 能变化 弹力做正功 弹性势能减少 弹力做负功 弹性 势能增加 且 W 弹 E p E p1 E p2 只有重力 弹簧弹力的功 不引起机 械能变化 机械能守恒 E 0 非重力和 弹力的功 机械能 变化 除重力和弹力之外的其他力做正功 物体的机械 能增加 做负功 机械能减少 且 W 其他 E 电场力的功 电势能 变化 电场力做正功 电势能减少 电场力做负功 电 势能增加 且 W 电 E p 多角练通 1 2015 唐山模拟 轻质弹簧右端固定在墙上 左端与一质量 m 0 5 kg 的物块相连 如图 5 4 1 甲所示 弹簧处于原长状态 物块静止且与水平面间的动摩擦因数 0 2 以物 块所在处为原点 水平向右为正方向建立 x 轴 现对物块施加水平向右的外力 F F 随 x 轴 坐标变化的情况如图乙所示 物块运动至 x 0 4 m 处时速度为零 则此时弹簧的弹性势能 为 g 取 10 m s2 A 3 1 J B 3 5 J C 1 8 J D 2 0 J 解析 选 A 2 2015 黄山模拟 弹弓 一直是孩子们最喜爱的弹射类玩具之一 其构造如图 5 4 2 所示 橡皮筋两端点 A B 固定在把手上 橡皮筋 ACB 恰好处于原长状态 在 C 处 AB 连 线的中垂线上 放一固体弹丸 一手执把 另一手将弹丸拉至 D 点放手 弹丸就会在橡皮筋 的作用下迅速发射出去 打击目标 现将弹丸竖直向上发射 已知 E 是 CD 中点 则 A 从 D 到 C 弹丸的机械能守恒 B 从 D 到 C 弹丸的动能一直在增大 C 从 D 到 C 弹丸的机械能先增大后减小 D 从 D 到 E 弹丸增加的机械能大于从 E 到 C 弹丸增加的机械能 解析 选 D 3 一个质量为 m 的带电小球 在竖直方向的匀强电场中水平抛出 不计空气阻力 测 得小球的加速度大小为 方向向下 其中 g 为重力加速度 则在小球下落 h 高度的过程中 g3 下列说法正确的是 第 59 页 共 73 页 A 小球的动能增加 mgh B 小球的电势能减少 mgh 23 23 C 小球的重力势能减少 mgh D 小球的机械能减少 mgh 13 23 解析 选 D 典例 2 如图所示 光滑水平面 AB 与竖直面内的半圆形导轨在 B 点相切 半圆形导 轨的半径为 R 一个质量为 m 的物体将弹簧压缩至 A 点后由静止释放 在弹力作用下物体 获得某一向右的速度后脱离弹簧 当它经过 B 点进入导轨的瞬间对轨道的压力为其重力的 8 倍 之后向上运动恰能到达最高点 C 不计空气阻力 试求 1 物体在 A 点时弹簧的弹性势能 2 物体从 B 点运动至 C 点的过程中产生的内能 答案 1 mgR 2 mgR 72 解析 1 设物体在 B 点的速度为 vB 所受支持力为 FNB 则有 FNB mg m v2BR 又 FNB 8mg 由能量守恒定律可知弹性势能 Ep mv mgR 12 2B 72 2 设物体在 C 点的速度为 vC 由题意可知 mg m v2CR 物体由 B 点运动到 C 点的过程中 由能量守恒定律得 Q mv 12 2B 12mv2C 2mgR 解得 Q mgR 要点二 摩擦力做功与能量的关系 1 两种摩擦力做功的比较 第 60 页 共 73 页 静摩擦力 滑动摩擦力 能量的转化 方面 只有能量的转移 没有能量的转化 既有能量的转移 又有能量的转化 不 同 点 一对摩擦力 的总功方面 一对静摩擦力所 做功的代数和等 于零 一对滑动摩擦力所做功的代数和为负值 总功 W F f l 相对 即摩擦时产生的热量 相同 点 正功 负功 不做功方面 两种摩擦力对物体可以做正功 负功 还可 以不做功 静摩擦力做正功时 它的反作用力一定做负 功 滑动摩擦力做负功时 它的反作用力可能做 正功 可能做负功 还可能不做功 但滑动摩 擦力做正功或不做功时 它的反作用力一定做 负功 2 求解相对滑动物体的能量问题的方法 1 正确分析物体的运动过程 做好受力分析 2 利用运动学公式 结合牛顿第二定律分析物体的速度关系及位移关系 3 公式 W F f l 相对 中 l 相对 为两接触物体间的相对位移 若物体在传送带上做往复运动 时 则 l 相对 为总的相对路程 典例 3 如图所示 AB 为半径 R 0 8 m 的 1 4 光滑圆弧轨道 下端 B 恰与平板小车 右端平滑对接 小车质量 M 3 kg 车长 L 2 06 m 现有一质量 m 1 kg 的小滑块 由轨 道顶端无初速释放 滑到 B 端后冲上小车 已知地面光滑 滑块与小车上表面间的动摩擦 因数 0 3 当车运动了 t0 1 5 s 时 车被地面装置锁定 g 10 m s2 试求 1 滑块到达 B 端时 轨道对它支持力的大小 2 车被锁定时 车右端距轨道 B 端的距离 3 从车开始运动到被锁定的过程中 滑块与平板车构成的系统损失的机械能 4 滑块滑离车左端时的动能 答案 1 30 N 2 1 m 3 6 J 4 0 32 J 典例 2015 银川一模 如图 5 4 3 所示 一质量为 m 1 5 kg 的滑块从倾角为 37 第 61 页 共 73 页 的斜面上自静止开始滑下 滑行距离 s 10 m 后进入半径为 R 9 m 的光滑圆弧 AB 其圆 心角为 然后水平滑上与平台等高的小车 已知小车质量为 M 3 5 kg 滑块与斜面及小 车表面的动摩擦因数 0 35 地面光滑且小车足够长 取 g 10 m s 2 求 图 5 4 3 1 滑块在斜面上的滑行时间 t1 2 滑块脱离圆弧末端 B 点前轨道对滑块的支持力大小 3 当小车开始匀速运动时 滑块在车上滑行的距离 s1 解析 1 设滑块在斜面上的滑行加速度为 a 由牛顿第二定律 有 mg sin cos ma s at12 解得 t1 2 5 s 12 2 滑块在圆弧 AB 上运动过程 由机械能守恒定律 mvA2 mgR 1 cos mvB2 v A at1 12 12 由牛顿第二定律 有 FB mg m vB2R 解得轨道对滑块的支持力 FB 31 7 N 3 滑块在车上滑行时的加速度 a 1 g 3 5 m s 2 小车的加速度 a 2 g 1 5 m s 2 mM 小车与滑块达到共同速度时小车开始匀速运动 满足 vB a 1t2 a 2t2 解得 t 2 2 s 故滑块刚滑上小车的速度 vB 10 m s 最终同速时的速度 v 3 m s 由功能关系可得 mg s1 mvB2 m M v2 12 12 解得 s 1 10 m 答案 1 2 5 s 2 31 7 N 3 10 m 方法规律 1 滑块脱离圆弧末端 B 点前具有竖直向上的加速度 支持力大于滑块重力 区别于滑 块刚滑上小车的情况 2 当小车开始匀速运动时 滑块在车上滑行的距离为滑块在小车上滑行的最大距离 也是小车的最小长度 针对训练 第 62 页 共 73 页 1 2015 开封二模 如图 5 4 4 所示 木块 A 放在木板 B 的左端上方 用水平恒力 F 将 A 拉到 B 的右端 第一次将 B 固定在地面上 F 做功 W1 生热 Q1 第二次让 B 在光滑水 平面可自由滑动 F 做功 W2 生热 Q2 则下列关系中正确的是 A W 1 W 2 Q1 Q 2 B W 1 W 2 Q 1 Q 2 C W 1 W 2 Q1 Q 2 D W 1 W 2 Q 1 Q 2 解析 选 A 2 2015 厦门高三质检 如图 5 4 5 所示 水平传送带在电动机带动下以速度 v1 2 m s 匀速运动 小物体 P Q 质量分别为 0 2 kg 和 0 3 kg 由通过定滑轮且不可伸长的轻绳相 连 t 0 时刻 P 放在传送带中点处由静止释放 已知 P 与传送带间的动摩擦因数为 0 5 传送带水平部分两端点间的距离为 4 m 不计定滑轮质量及摩擦 P 与定滑轮间的绳水平 取 g 10 m s2 1 判断 P 在传送带上的运动方向并求其加速度大小 2 求 P 从开始到离开传送带水平端点的过程中 与传送带间因摩擦产生的热量 3 求 P 从开始到离开传送带水平端点的过程中 电动机多消耗的电能 解析 1 P 释放后受到向右的摩擦力 大小为 Ff m Pg 1 N 由 mQg F T m Qa FT F f m Pa 可得 a 4 m s 2 物体 P 向左做匀加速运动 加速度大小为 4 m s2 2 P 离传送带左端的距离 x 2 m 由 x at2 可得 t 1 s 12 2xa 物体 P 相对于传送带的相对位移 s 相 x v 1t 4 m 产生的摩擦热 Q F f s 相 4 J 3 由功能关系可知 电动机多消耗的电能等于传送带克服摩擦力所做的功 E F f v1t 2 J 要点三 能量转化与守恒的应用 第 63 页 共 73 页 1 对能量守恒定律的两点理解 1 某种形式的能量减少 一定存在其他形式的能量增加 且减少量和增加量一定相等 2 某个物体的能量减少 一定存在其他物体的能量增加 且减少量和增加量一定相等 2 能量转化问题的解题思路 1 当涉及摩擦力做功 机械能不守恒时 一般应用能的转化和守恒定律 2 解题时 首先确定初末状态 然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少 哪种 形式的能量增加 求出减少的能量总和 E 减 与增加的能量总和 E 增 最后由 E 减 E 增 列式求解 典例 2015 豫南九校联考 如图 5 4 6 所示 固定斜面的倾角 30 物体 A 与斜 面之间的动摩擦因数为 轻弹簧下端固定在斜面底端 弹簧处于原长时上端位于 C 点 34 用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑的定滑轮连接物体 A 和 B 滑轮右侧绳子与斜面平行 A 的质量为 2m 4 kg B 的质量为 m 2 kg 初始时物体 A 到 C 点的距离为 L 1 m 现给 A B 一初速度 v0 3 m s 使 A 开始沿斜面向下运动 B 向上运动 物体 A 将弹簧压缩到 最短后又恰好能弹到 C 点 已知重力加速度取 g 10 m s2 不计空气阻力 整个过程中轻 绳始终处于伸直状态 求此过程中 1 物体 A 向下运动刚到 C 点时的速度大小 2 弹簧的最大压缩量 3 弹簧中的最大弹性势能 解析 1 物体 A 向下运动刚到 C 点的过程中 对 A B 组成的系统应用能量守恒定 律可得 2mg cos L 3mv02 3mv2 2mgLsin mgL 12 12 可解得 v 2 m s 2 以 A B 组成的系统 在物体 A 将弹簧压缩到最大压缩量 又返回到 C 点的过程中 系统动能的减少量等于因摩擦产生的热量 即 3mv2 0 2mgcos 2x 12 其中 x 为弹簧的最大压缩量 解得 x 0 4 m 3 设弹簧的最大弹性势能为 Epm 由能量守恒定律可得 3mv2 2mgxsin mgx 2mg cos x E pm 12 第 64 页 共 73 页 解得 E pm 6 J 针对训练 1 2016 廊坊统考 如图 5 4 7 所示 重 10 N 的滑块在倾角为 30 的斜面上 从 a 点由 静止开始下滑 到 b 点开始压缩轻弹簧 到 c 点时达到最大速度 到 d 点 图中未画出 开始 弹回 在 b 点离开弹簧 并恰能再回到 a 点 若 bc 0 1 m 弹簧弹性势能的最大值为 8 J 则下列说法正确的是 图 5 4 7 A 轻弹簧的劲度系数为 50 N m B 从 d 点到 b 点滑块克服重力做功 8 J C 从 d 点到 c 点弹簧的弹力对滑块做功 8 J D 滑块的最大动能为 8 J 解析 选 A 2 2014 山东高考 2013 年我国相继完成 神十 与 天宫 对接 嫦娥 携 玉兔 落月两大航天工程 某航天爱好者提出 玉兔 回家的设想 如图 5 4 8 将携带 玉兔 的返回系统由月球表面发射到 h 高度的轨道上 与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接 然后由飞船送 玉兔 返回地球 设 玉兔 质量为 m 月球半径为 R 月面的重力加速度 为 g 月 以月面为零势能面 玉兔 在 h 高度的引力势能可表示为 Ep 其中 G GMmhR R h 为引力常量 M 为月球质量 若忽略月球的自转 从开始发射到对接完成需要对 玉兔 做的功为 图 5 4 8 A h 2R B h R mg月 RR h mg月 RR h 2 C D mg月 RR h h 22R mg月 RR h h 12R 解析 选 D 第 65 页 共 73 页 3 2016 郑州模拟 如图 5 4 9 所示 光滑水平面 AB 与竖直面内的半圆形导轨在 B 点相 切 半圆形导轨的半径为 R 一个质量为 m 的物体将弹簧压缩至 A 点后由静止释放 在弹 力作用下物体获得某一向右的速度后脱离弹簧 当它经过 B 点进入导轨的瞬间对轨道的压 力为其重力的 8 倍 之后向上运动恰能到达最高点 C 不计空气阻力 试求 图 5 4 9 1 物体在 A 点时弹簧的弹性势能 2 物体从 B 点运动至 C 点的过程中产生的内能 解析 1 设物体在 B 点的速度为 vB 所受弹力为 FNB 则有 FNB mg m vB2R 又 FNB 8 mg 由能量守恒定律可知弹性势能 Ep mvB2 mgR 12 72 2 设物体在 C 点的速度为 vC 由题意可知 mg m vC2R 物体由 B 点运动到 C 点的过程中 由能量守恒定律得 Q mvB2 12 12mvC2 2mgR 解得 Q mgR 答案 1 mgR 2 mgR 72 第 66 页 共 73 页 与生产 生活相联系的能量守恒问题 在新课程改革的形势下 高考命题加大了以生产 生活 科技为背景的试题比重 其中 与生产 生活相联系的能量守恒问题尤其受到高考命题者青睐 一 列车车厢间的摩擦缓冲装置 1 2014 广东高考 如图 5 4 10 是安装在列车车厢之间的摩擦缓冲器结构图 图中 和 为楔块 和 为垫板 楔块与弹簧盒 垫板间均有摩擦 在车厢相互撞击使弹簧压缩的 过程中 图 5 4 10 A 缓冲器的机械能守恒 B 摩擦力做功消耗机械能 C 垫板的动能全部转化为内能 D 弹簧的弹性势能全部转化为动能 解析 选 B 二 自动充电式电动车 2 构建和谐型 节约型社会深得民心 节能器材遍布于生活的方方面面 自动充电式电 动车就是很好的一例 电动车的前轮装有发电机 发电机与蓄电池连接 当骑车者用力蹬车 或电动车自动滑行时 电动车就可以连通发电机向蓄电池充电 将其他形式的能转化成电能 储存起来 现有某人骑车以 5 kJ 的初动能在粗糙的水平路面上滑行 第一次关闭自动充电 装置 让车自由滑行 其动能随位移变化关系如图 5 4 11 直线 a 所示 第二次启动自动充 电装置 其动能随位移变化关系如图曲线 b 所示 则第二次向蓄电池所充的电能可接近 图 5 4 11 A 5 kJ B 4 kJ C 3 kJ D 2 kJ 解析 选 D 第 67 页 共 73 页 三 节能混合动力汽车 3 节能混合动力车是一种可以利用汽油及所储存电能作为动力来源的汽车 一质量 m 1 000 kg 的混合动力轿车 在平直公路上以 v1 90 km h 匀速行驶 发动机的输出功率 为 P 50 kW 当驾驶员看到前方有 80 km h 的限速标志时 保持发动机功率不变 立 即启动利用电磁阻尼带动的发电机工作给电池充电 使轿车做减速运动 运动 L 72 m 后 速度变为 v2 72 km h 此过程中发动机功率的 用于轿车的牵引 用于供给发电机工作 15 45 发动机输送给发电机的能量最后有 50 转化为电池的电能 假设轿车在上述运动过程中所 受阻力保持不变 求 1 轿车以 90 km h 在平直公路上匀速行驶时 所受阻力 F 阻 的大小 2 轿车从 90 km h 减速到 72 km h 过程中 获得的电能 E 电 3 轿车仅用其在上述减速过程中获得的电能 E 电 维持 72 km h 匀速运动的距离 L 解析 1 轿车牵引力与输出功率关系 P F 牵 v 将 P 50 kW v 1 90 km h 25 m s 代入得 F 牵 2 10 3 N Pv1 当轿车匀速行驶时 牵引力与阻力大小相等 有 F 阻 2 10 3 N 2 在减速过程中 注意到发动机只有 P 用于汽车的牵引 根据动能定理有 Pt F 阻 15 15 L mv22 mv12 12 12 代入数据得 Pt 1 575 105 J 电池获得的电能为 E 电 0 5 Pt 6 3 10 4 J 45 3 根据题设 轿车在平直公路上匀速行驶时受到的阻力仍为 F 阻 2 10 3 N 在此过程 中 由能量转化及守恒定律可知 仅有电能用于克服阻力做功 E 电 F 阻 L 代入数据得 L 31 5 m 答案 1 2 10 3 N 2 6 3 10 4 J 3 31 5 m 第 68 页 共 73 页 对点训练 功能关系的理解和应用 1 多选 2015 山东师大附中一模 如图 1 所示 小球从 A 点以初速度 v0 沿粗糙斜面向 上运动 到达最高点 B 后返回 A C 为 AB 的中点 下列说法正确的是 图 1 A 小球从 A 出发到返回 A 的过程中 位移为零 外力做功为零 B 小球从 A 到 C 与从 C 到 B 的过程 减少的动能相等 C 小球从 A 到 C 与从 C 到 B 的过程 速度的变化率相等 D 小球从 A 到 C 与从 C 到 B