不等式常见考试题型总结

1 不等式 常见考试题型总结 一 高考与不等式 高考试题 有关不等式的试题约占总分的 12 左右 主要考查不等式的基本知识 基本技能 以及学生的运算能力 逻辑思维能力 分析问题和解决问题的能力 选择题和填空题主要考查不等式的 性质 比较大小和解简单不等式 还可能与函数 方程等内容相结合的小综合 解答题主要是解不等式 或证明不等式或以其他知识为载体的综合题 不等式常与下列知识相结合考查 不等式的性质的考查常与指数函数 对数函数 三角函数的性质的考查相结合 一般多以选择题 的形式出现 有时也与充要条件 函数单调性等知识结合 且试题难度不大 解不等式的试题主要在解答中出现 常常是解含参不等式较多 且多与二次函数 指数 对数 可能还会出现导数相结合命题 证明不等式是理科考查的重点 经常同一次函数 二次函数 数列 解析几何 甚至还可能与平 面向量等结合起来考查 二 常见考试题型 1 求解不等式解集的题型 分式不等式的解法 根式不等式的解法 绝对值不等式的解法 含参不等式的解法 简单的一元高次不等式的解法 2 不等式的恒成立问题 不等式恒成立问题的常规处理方式常应用函数方程思想 分离变量法 数形结合法 3 不等式大小比较 常用方法 1 作差 作差后通过分解因式 配方等手段判断差的符号得出结果 2 作商 常用于分数指数幂的代数式 3 分析法 4 平方法 5 分子 或分母 有理化 6 利用函数的单调性 7 寻找中间量或放缩法 8 图象法 4 不等式求函数最值 技巧一 凑项 例 已知 求函数 的最大值 5x 1425yx 技巧二 凑系数 例 当 时 求 的最大值 8 技巧三 分离 例 求 的值域 2710 xyx 2 技巧四 换元 例 求 的值域 2710 xyx 技巧五 函数的单调性 注意 在应用最值定理求最值时 若遇等号取不到的情况 应结合函数 的单调性 afx 例 求函数 的值域 254xy 技巧六 整体代换 多次连用最值定理求最值时 要注意取等号的条件的一致性 否则就会出错 例 1 已知 且 求 的最小值 0 xy 19xy xy 2 若 且 求 的最小值 R 21 3 已知 且 求 的最小值yxbaybxayx 技巧七 利用 转换式子1cossin22 技巧八 已知 x y 为正实数 且 x 2 1 求 x 的最大值 y 22 1 y 2 分析 因条件和结论分别是二次和一次 故采用公式 ab a 2 b 22 同时还应化简 中 y2 前面的系数为 x x x 1 y 2 12 1 y 2 2 下面将 x 分别看成两个因式 x 即 x x 34 1 y 2 2 342 技巧九 已知 a b 为正实数 2b ab a 30 求函数 y 的最小值 1ab 这是一个二元函数的最值问题 通常有两个途径 一是通过消元 转化为一元函数问题 再用单调性或基本不等式求解 二是直接用基本不等式 例 1 已知 a 0 b 0 ab a b 1 求 a b 的最小值 2 若直角三角形周长为 1 求它的面积最大值 技巧十 取平方 例 已知 x y 为正实数 3x 2y 10 求函数 W 的最值 3x 2y 5 证明不等式 常用方法 比较法 分析法 综合法和放缩法 基本不等式 最值求法的题型 3 基础题型一 指数类最值的求法 1 已知 求 的最小值 3ab ab 变式 1 已知 求 的最小值 29 变式 2 已知 求 的最小值 xy 13xy 变式 3 已知 求 的最小值 24 变式 4 已知点 在直线 上 求 的最小值 xy1x 139xy 基础题型二 对数类最值的求法 2 已知 且 求 的最大值 0 xy 24xy 22loglxy 变式 1 已知 且 求 的最小值 113 变式 2 已知点 是圆 在第一象限内的任一点 求 的最大值 xy26y 33loglxy 能力题型一 常数变形 加或减去某个常数使两个因式的积为常数 1 已知 求 的最小值 2x 1 2fx 变式 1 已知 求 的最小值 343x 变式 2 已知 求 的最大值 1x 1f 能力题型二 代换变形 把整式乘到分式中去以便于用基本不等式 1 已知 且 求 的最小值 0 xy 2xy xy 2 变式 1 已知 且 求 的最小值 032 变式 2 已知 且 求 的最大值 xy xy 1xy 能力题型三 指数与系数的变形 调整字母的系数和指数 1 已知 且 求 的最大值 0 xy 21xy 2xy 变式 1 已知 且 求 的最大值 231 变式 2 已知 且 求 的最小值 abab2ab 能力题型四 对勾函数及其应用 4 对勾函数 由 得顶点的横坐标为 1yx x 1x 由 得顶点的横坐标为 byax ba 由 得顶点的横坐标为 1 bxa 1 x 1bxa 例 1 求 的值域 2 4 y 变式 1 求 的值域 1 x 变式 2 求 的值域 3 2 y 例 2 求 的值域 4 1x 变式 1 求 的值域 2 3 yx 变式 2 求 的值域 2 1x 例 3 求 的值域 4sin 0 yx 变式 1 求 的值域 i s1x 变式 2 求 的值域 2co 0 yx 基本不等式例题 例 1 已知 且 求 的最小值及相应的 值 例 2 的最小值为 例 3 已知 成等差数列 成等比数列 则 的最小值是 例 4 函数 的图象恒过定点 若点 在直线 上 则 5 的最小值为 例 5 若 则 的最小值是 例 6 下列各函数中 最小值为 2 的是 A B C D 例 7 1 已知 求函数 的最大值 54x 1425yx 2 求函数 的最小值求 的最大值 12 y24yx 练习 设 则 的最大值为 例 8 已知 且 求 的最大值及相应的 的值 例 9 若 x y 是正数 则 的最小值是22 1 xyx 练习 已知实数 x y 满足 x y 1 0 则 x2 y2 的最小值 例 10 若实数 a b 满足 a b 2 是 3a 3b 的最小值是 基本不等式证明 例 已知 a b 为正数 求证 ab 例 实际应用 某单位用木材制作如图所示的框架 框架的下部是边长分别为 x y 单位 m 的矩形 上部是 等腰直角三角形 要使框架围成的总面积为 8 问 x y 分别为多少时用料最省 2m 6 基 本 不 等 式 应 用 一 基本不等式 1 1 若 则 2 若 则 当且仅当 时取Rba ab22 Rba 2ba ba 2 1 若 则 2 若 则 当且仅当 时取 3 若 则 当且仅当 时取 Rba2 baba 3 若 则 当且仅当 时取 若 则 当且仅当 时取0 x 1x 1x0 x 12x 1x 若 则 当且仅当 时取 2 2 即 或 ba 3 若 则 当且仅当 时取 0 ab abba 若 则 当且仅当 时取 2 2 即 或 ba 4 若 则 当且仅当 时取 Rba b ba 注 1 当两个正数的积为定植时 可以求它们的和的最小值 当两个正数的和为定植时 可以求它们 的积的最小值 正所谓 积定和最小 和定积最大 2 求最值的条件 一正 二定 三取等 3 均值定理在求最值 比较大小 求变量的取值范围 证明不等式 解决实际问题方面有广泛的应 用 应用一 求最值 例 1 求下列函数的值域 1 y 3x 2 2 y x 12x 2 1x 解 1 y 3x 2 2 值域为 12x 2 6 6 2 当 x 0 时 y x 2 2 1x 当 x 0 时 y x x 2 2 1x 1x 值域为 2 2 解题技巧 技巧一 凑项 例 1 已知 求函数 的最大值 54x 1425yx 解 因 所以首先要 调整 符号 又 不是常数 所以对 要进行拆 凑0 1 42 5x A42x 项 5 4xx 14235yx 21 7 当且仅当 即 时 上式等号成立 故当 时 154x x 1x maxy 评注 本题需要调整项的符号 又要配凑项的系数 使其积为定值 技巧二 凑系数 例 1 当 时 求 的最大值 82 y 解析 由 知 利用基本不等式求最值 必须和为定值或积为定值 此题为两个式 子积的形式 但其和不是定值 注意到 为定值 故只需将 凑上一个系数即 8x 82 yx 可 当 即 x 2 时取等号 当 x 2 时 的最大值为 8 2 yx 评注 本题无法直接运用基本不等式求解 但凑系数后可得到和为定值 从而可利用基本不等式求最大 值 变式 设 求函数 的最大值 30 3 4y 解 2x0 x 2932 3 2 xxx 当且仅当 即 时等号成立 3 23 4 技巧三 分离 例 3 求 的值域 2710 xyx 解析一 本题看似无法运用基本不等式 不妨将分子配方凑出含有 x 1 的项 再将其分离 当 即 时 当且仅当 x 1 时取 号 421 59yx 技巧四 换元 解析二 本题看似无法运用基本不等式 可先换元 令 t x 1 化简原式在分离求最值 22 1 7 05 ttty t 当 即 t 时 当 t 2 即 x 1 时取 号 49yt 评注 分式函数求最值 通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求 最值 即化为 g x 恒正或恒负的形式 然后运用基本不等式来求 0 AymgxB 最值 技巧五 注意 在应用最值定理求最值时 若遇等号取不到的情况 应结合函数 的单调性 afx 例 求函数 的值域 254xy 解 令 则2 t 254xy 221 2 4tx 8 因 但 解得 不在区间 故等号不成立 考虑单调性 10 tt t1t 2 因为 在区间 单调递增 所以在其子区间 为单调递增函数 故 y 52y 所以 所求函数的值域为 5 2 练习 求下列函数的最小值 并求取得最小值时 x 的值 1 2 3 231 0 xy 1 3yx 12sin 0 iyx 2 已知 求函数 的最大值 3 求函数 的最大值 0 1 0 x 3 条件求最值 1 若实数满足 则 的最小值是 2 baba 分析 和 到 积 是一个缩小的过程 而且 定值 因此考虑利用均值定理求最小值 ba3 解 都是正数 ba3和 ba362 ba 当 时等号成立 由 及 得 即当 时 的最小值是 11baba3 6 变式 若 求 的最小值 并求 x y 的值44logl2xy 1xy 技巧六 整体代换 多次连用最值定理求最值时 要注意取等号的条件的一致性 否则就会出错 2 已知 且 求 的最小值 0 xy 91xy 错解 且 故 199212xyxyxy min12xy 错因 解法中两次连用基本不等式 在 等号成立条件是 在 等号成立2 9xy 条件是 即 取等号的条件的不一致 产生错误 因此 在利用基本不等式处理问题时 列出19xy x 等号成立条件是解题的必要步骤 而且是检验转换是否有误的一种方法 正解 0 1xy 19106yxxyx 当且仅当 时 上式等号成立 又 可得 时 9y 4 2 min16xy 9 变式 1 若 且 求 的最小值 Ryx 12 yxyx 2 已知 且 求 的最小值baba 技巧七 已知 x y 为正实数 且 x 2 1 求 x 的最大值 y 22 1 y 2 分析 因条件和结论分别是二次和一次 故采用公式 ab a 2 b 22 同时还应化简 中 y2 前面的系数为 x x x 1 y 2 12 1 y 2 2 下面将 x 分别看成两个因式 x 即 x x 34 1 y 2 2 342 技巧八 已知 a b 为正实数 2b ab a 30 求函数 y 的最小值 1ab 分析 这是一个二元函数的最值问题 通常有两个途径 一是通过消元 转化为一元函数问题 再用单 调性或基本不等式求解 对本题来说 这种途径是可行的 二是直接用基本不等式 对本题来说 因已 知条件中既有和的形式 又有积的形式 不能一步到位求出最值 考虑用基本不等式放缩后 再通过解 不等式的途径进行 法一 a ab b 30 2bb 1 30 2bb 1 2 b 2 30bb 1 由 a 0 得 0 b 15 令 t b 1 1 t 16 ab 2 t 34 t 2 8 2t 2 34t 31t 16t 16t ab 18 y 当且仅当 t 4 即 b 3 a 6 时 等号成立 118 法二 由已知得 30 ab a 2b a 2b 2 30 ab 22 ab 2 ab 令 u 则 u2 2 u 30 0 5 u 3ab 2 2 2 3 ab 18 y ab 2 118 点评 本题考查不等式 的应用 不等式的解法及运算能力 如何由已知不ab R 等式 出发求得 的范围 关键是寻找到 之间的关系 由此想到0 R ab与 不等式 这样将已知条件转换为含 的不等式 进而解得 的范围 ab 2 ab 变式 1 已知 a 0 b 0 ab a b 1 求 a b 的最小值 2 若直角三角形周长为 1 求它的面积最大值 技巧九 取平方 5 已知 x y 为正实数 3x 2y 10 求函数 W 的最值 3x 2y 解法一 若利用算术平均与平方平均之间的不等关系 本题很简单 a b2 a 2 b 22 23x 2y 2 23x 2y 5 解法二 条件与结论均为和的形式 设法直接用基本不等式 应通过平方化函数式为积的形式 再向 和为定值 条件靠拢 W 0 W 2 3x 2y 2 10 2 10 2 2 10 3x 2y 203x 2y 3x 2y 3x 2y 10 W 220 5 变式 求函数 的最大值 152 yxx 解析 注意到 与 的和为定值 12 4 2 4 1 52 8y xx 又 所以0 y 当且仅当 即 时取等号 故 x 52x3 maxy 评注 本题将解析式两边平方构造出 和为定值 为利用基本不等式创造了条件 总之 我们利用基本不等式求最值时 一定要注意 一正二定三相等 同时还要注意一些变形技巧 积极创造条件利用基本不等式 应用二 利用基本不等式证明不等式 1 已知 为两两不相等的实数 求证 cba cabcba 22 1 正数 a b c 满足 a b c 1 求证 1 a 1 b 1 c 8abc 例 6 已知 a b c 且 求证 R 1 18c 分析 不等式右边数字 8 使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个 2 连乘 又 可由此变形入手 1aa 解 a b c 同理 R 1bc 2abc 12acb 上述三个不等式两边均为正 分别相乘 得12 当且仅当 时取等号 128bcabab A13abc 应用三 基本不等式与恒成立问题 例 已知 且 求使不等式 恒成立的实数 的取值范围 0 xy 91xy xym 解 令 0 k 91 k 091yxk 1032 16 16 应用四 均值定理在比较大小中的应用 例 若 则 的大小关系是 2lg l g2 lg baRbaQbaPba RQP 分析 10 2Qp l l 11 R Q P abbaR lg21l 2lg 不等式求解集积题型 知识要点 1 绝对值符号里含有未知数的不等式叫做绝对值不等式 1 的解集是xa xa 2 的解集是 或 2 含字母系数的一元一次不等式的解法与普通不等式的解法是一致的 所不同的是 前者在最后一步要 根据题中附加条件或隐含条件 去判断未知数系数的符号 从而决定不等号是否反向 或对其系数进行 分类讨论 写出各种情况下不等式的解集 一般的讨论方法 对于 axb 当 时 0a bxa 当 时 若 解集为任意实数 若 无解 当 时 0abxa 典型例题 题型一 与整数解个数有关的不等式 例 1 如果不等式 的正整数解是 1 2 3 那么 的取值范围是多少 03 ax a 例 2 已知关于 的不等式组 的整数解共有 5 个 求 的取值范围 x 1230 xaa 其中 0a 12 题型二 已知不等式解集求未知数 例 3 1 已知不等式 的解集为 求 的解集 4213xax 2 ax 231 2 方程组 的解 x y 都是正数 则整数 k 应等于 0527yk 题型三 系数含有字母的不等式 例 4 解关于 的不等式 x623 xa 例 5 k 为何值时 不等式 永远成立 xk3821 若不等式 的解集为 求不等式 的解集 0 bax1 0 2 3 abxa 题型四 绝对值不等式 例 6 解下列不等式 1 2 23x 45 x 题型五 比较大小 例 7 比较下列各式的大小 13 xy3530 1l2l 1 和 2 123 x232 x ba2 与 例 8 如果 成立 则实数 的取值范围是 4235aa a A B C D 10 1 01 1 a 巩固练习 1 如果关于 x 的方程 的解是一个负数 那么 m 的取值范围是 xm21 2 关于 x 的方程 的解若为正数 那么 k 的取值范围为 kk42 A B C D k 2 k2 3 如果 的解集是 那么 满足 1 A B C D m 1 4 已知关于 的一次方程 无解 则 是 x 0783 baab A 正数 B 非正数 C 负数 D 非负数 5 解下列不等式 1 2 求不等式 的非负整数解 24x 31 x 6 若不等式 只有两个正整数解 则 的取值范围是多少 03 aa 7 解关于 的不等式x 1 2 1k 16kx 8 若满足不等式 的 必满足 求 的取值范围 51323 ax53 a 9 一次函数 的图像是射线 的图像是射线 如图所示 1y1l2y2l 若 则 的值为 21 x 若 则 的取值范围是 若 则 的取值范围是 21y 10 己知不等式 1 若它的解是 求 的范围 2 若它的解集是32mx 3mx 14 求 的值 43x m 11 如果不等式组 的整数解仅为 1 2 3 那么 适合这个不等式组的整数 的有序对908xab ab 共有 ab A 17 个 B 64 个 C 72 个 D 81 个 12 已知方程组 的解 的乘积小于零 求 的值 12myxyx 212 m 高中数学不等式知识点经典习题 典型例题一 例 1 解不等式 231 x 分析 解含有绝对值的不等式 通常是利用绝对值概念 将不等式中的绝对符号去 0 a 掉 转化成与之同解的不含绝对值的不等式 组 再去求解 去绝对值符号的关键是找零点 使绝对值 等于零的那个数所对应的点 将数轴分成若干段 然后从左向右逐段讨论 解 令 令 如图所示 来源 Z xx k Com 01 x1 x032 x2 3x 1 当 时原不等式化为 与条件矛盾 无解 2 当 时 原不等式化为 故 23 x 31x0 x23 x 3 当 时 原不等式化为 故 综上 原不等式的解 2x6 62 为 60 x 说明 要注意找零点去绝对值符 号最好画数轴 零点分段 然后从左向右逐段讨论 这样做条理分 明 不重不漏 典型例题二 例 2 求使不等式 有解的 的取值范围 ax 34 分析 此题若用讨论法 可以求解 但过程较繁 用绝对值的几何意义去求解十分简便 解法一 将数轴分为 三个区间 4 15 当 时 原不等式变为 有解的条件为 即 3 x 27 3 4 axx 327 a1 当 时 得 即 4 a 1 当 时 得 即 有解的条件为 xx x4 a 以上三种情况中任一个均可满足题目要 求 故求它们的并集 即仍为 1 解法二 设数 3 4 在数轴上对应的点分别为 P A B 如图 由绝对值的几何定义 原不等式x 的意义是 P 到 A B 的距离之和小于 aPBA a 因为 故数轴上任一点到 A B 距离之和大于 等于 1 即 故当 时 1 134 x a 有解 x 34 典型例题三 例 3 已知 求证 0 20 2MyabyMax abxy 分析 根据条件凑 证明 byxaby aMax 2 说明 这是为学习极限证明作的准备 要习惯用凑的方法 典型例题四 例 4 求证 ba 2 分析 使用分析法 证明 只需证明 两边同除 即只需证明 来源 Z xx k Cm 0 ba 22 2b 即 当 时 当bab a 22 22 1 1 baa 222 1 时 原不等式显然成立 原不等式成立 1 0 说明 在绝对值不等式的证明 常用分析法 本例也可以一开始就用定理 16 baba 22 1 如果 则 原不等式显然成立 10 2 如果 则 利用不等式的传递性知 原不等式也成 abb ab b 立 典型例题五 例 5 求证 bab 11 分析 本题的证法很多 下面给出一种证法 比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同 使我 们联想利用构造函数的方法 再用单调性去证明 证明 设 xxxf 11 定义域为 且 分别在区间 区间 上是增函数 来源 Z123a 1a 所以 的取值范围是 a Ra或 说明 在求满足条件 的 时 要注意关于 的不等式组中有没有等号 否则会导致误解 BA a 典型例题七 例 6 已知数列通项公式 对于正整数 当 时 求nn aaa2si3sin2is mn 证 nma21 分析 已知数列的通项公式是数列的前 项和 它的任意两项差还是某个数列的和 再利用不等式 问题便可解决 nna 2121 证明 mnnnm aaa2sin2 si si 1 mnn aaa2sin2 si 1i 21 221 nnmn 10 nmnm 说明 是以 为首项 以 为公比 共有 项的等比数列的和 误认 为mn212 1 n 共有 项是常见错误 m 正余弦函数的值域 即 是解本题的关键 本题把不等式 三角函数 数列 个si cos n 变量的绝对值不等式问题连在一起 是一个较为典型的综合题目 如果将本题中的正弦改为余弦 不等 式同样成立 典型例题八 18 例 8 已知 求证 13 2 xf 1 a 1 2 afx 分析 本题中给定函数 和条件 注意到要证的式子右边不含 因此对条件 f x x 的使用可有几种选择 1 直接用 2 打开绝对值用 替出 3 用绝 对值的性1 ax 1ax 质 进行替换 1 ax 证明 3 2 f 13 2 af 1 ax1 ax 1 axxafx 即 1211 aa 12afx 说明 这是绝对值和函数的综合题 这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的 运用 分析中对条件 使用时出现的三种可能是经常碰到的 要结合求证 灵活选用 ax 典型例题九 例 9 不等式组 的解集是 x230 A B C D 0 x 5 0 60 x 30 x 分析 本题是考查含有绝对值不等式的解法 由 知 又 233 解原不等式组实为解不等式 0 x3 x x0 解法一 不等式两边平方得 22 3 3x 即 222 6 6 xx 0 662 xx 又 选 C 023 3062x0 解法二 可分成两种情况讨论 x 1 当 时 不等式组化为 解得 2 x 22 20 x 2 当 时 不等式组可化为 解得 x36 综合 1 2 得 原不等式组的解为 选 C 60 x 说明 本题是在 的条件下 解一个含绝对值的分式不等式 如何去绝对值是本题的关键所在 0 x 必须注意 只有在保证两 边均为非负数时 才能将不等式两边同时平方 另一种方法则是分区间讨论 19 从而去掉绝对值符号 当然本题还可用特殊值排除法求解 典型例题十 例 10 设二次函数 且 已知 cbxaf 2 0 bab 1 0 f f 当 时 证明 1 fx45 x 分析 从 知 二次函数的图像是开口向上的抛物线 从 且 知 要求0 a 1x f1 f 证的是 所以抛物线的顶点一定在 轴下方 取绝对值后 图像翻到 轴上方 因此抛物线的45 xf xx 顶点的取值非常重要 也是解这道题的关键所在 证明 又 2cbacb cba 1 1 f2 1 b 又 a 112 0 f acabf 44 2 而 的图像为开口向上的抛物线 abcbf 4 2 2 451 b xf 且 的最大值应在 或 处取1 xx xfx ab2 得 f1 f 45 2 abf 45 xf 说明 本题考查了绝对值不等式的性质 二次函数的最值及分类讨论的思想和逻辑思维的能力 关 键是通过对参数 的分析 确定抛物线顶点的取值范围 然后通过比较求出函数在 范围内abc 1 x 的最大值 不等式题型总结 1 高考与不等式 纵观近年来的高考试题 有关不等式的试题占的分值相当大 约占总分的 12 已经成为高考必 考的热点内容 不仅考查不等式的基本知识 基本技能 而且注重考查学生的运算能力 逻辑思维能力 以及分析问题和解决问题的能力 选择题和填空题主要考查不等式的性质 比较大小和解简单不等式 有时还可能与函数 方程等内容相结合的小综合 解答题主要是解不等式或证明不等式或以其他知识为 20 载体的综合题 单独考不等式的考题占分不多 但涉及不等式的知识 方法 技巧的问题往往占有较大 的比例 其中不等式常常与下列知识相结合考查 不等式的性质的考查常与指数函数 对数函数 三角函数的性质的考查相结合 一般多以选择题 的形式出现 有时也与充要条件 函数单调性等知识结合 且试题难度不大 解不等式的试题主要在解答中出现 常常是解含参不等式较多 且多与二次函数 指数 对数 可能还会出现导数相结合命题 证明不等式是理科考查的重点 经常同一次函数 二次函数 数列 解析几何 甚至还可能与平 面向量等结合起来考查 2 命题趋势及典型例题解释 1 不等式的性质考查会与函数性质相结合起来 一般多以选择题出现 填空题出现 也有可能与充 要条件 逻辑知识结合起来 例 1 设命题甲 x 和 y 满足 命题乙 x 和 y 满足 那么 甲是乙的2403y 0123x A 充分但不必要条件 B 必要但不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 思路 根据同向不等式的可加性 从乙 甲和甲 乙两个方面进行推导 再结合充要条件相关概念进行 分析 破解 易知 即乙 甲 但当 时 显然满足0123xy 2403xy 2301xy 不满足 故甲 乙 不成立 从而甲是乙的必要但不充分条件 故选 B40 xy 收获 本题将不等式的可加性与充要条件的相关概念进行了有机结合 做题时不要将充分不必要条件与必 要不充分条件混淆起来 例 2 已知 设0 c 函数 在 R 上单调递减 Pxy 不等式 的解集为 R Q1 2 如果 和 有且仅有一个正确 求 的取值范围 c 思路 此题虽是一道在老教材之下的高考试题 但揭示了 解不等式 一类高考试题的命题方向 在新教材 中 绝对值不等式的解法和二次不等式的解法与集合运算 命题判断都有一定联系 属于对于学生提出 的基本要求内容的范畴 本题将这几部分知识内容有机地结合在一起 在考查学生基础知识 基本方法 掌握的同时 考查了学生命题转换 分类讨论等能力 在不同的方法下有不同的运算量 较好地体现出 了 多考一点想 少考一点算 的命题原则 破解 函数 在 R 上单调递减 不等式 的解集为 R 函数xcy 10 c1 2 cx 21 在 R 上恒大于 1 函数 在 R 上的最 2 cxy cxcx2 2 2 cxy 小值为 不等式 的解集为 R 即 若 正确 且 不正确 则 2 cx 1 PQ 若 正确 且 不正确 则 210 cQP 所以 的取值范围为 1 20 收获 解不等式 一类的命题可以有形式上的更新和内容上的变化 结合简易逻辑的概念和集合的语言来 命题 借助集合的运算性质和四个命题的关系来作答 是这个命题的基本特征 在求解时则主要以化归 思想为破解切入点 复习中对于此类问题要引起足够的重视 2 解不等式的题常以填空题和解答题的形式出现 此类题主要以一元二次不等式 分式不等式 含 绝对值不等式为主 在解答题中含字母参数的不等式较多 需要对字母进行分类讨论 例 3 解关于 的不等式 x2680kx 分析 本例涉及了两个讨论点 二次项系数和判别式的符号 解 64 8 9 1 1 当 时 若 则 不等式解集为 若 则 解集为0k k 0 09k 0 3 9 13 kxx 2 当 时 不等式为 解集为 0k 68043x 3 当 时 若 则 解集为 1k 3 9 3 9 1kxx 或 若 不等式为 解集为 且 1k 260 x R3 若 则 解集为 0 R 点拨 由于分类的原因有两个 为了避免逻辑混乱 本例采取了 二级分类 方法 第一级 以二次项系数的符号作为划分的依据 第二级依判别式的符号进行划分 例 4 若不等式 4 3 0 时 先求不等式 4 3 有解时 的取值范围 xxa 令 4 0 得 4 令 3 0 得 3x 22 当 4 时 原不等式化为 4 3 即 2 7147272a 当 3 4 时 原不等式化为 4 31xx 当 3 时 原不等式化为 4 3 即 7 2 13372a 综合 可知 当 1 时 原不等式有解 从而当 01 时 4 3 4 3 4 3 1 当 1 时 4 3 有解从而当x x 1 时 原不等式解集为空集 收获 1 一题有多法 破解时需学会寻找最优解法 2 有解 解集为空集 这两者互补 fxa minfx fa minafx 恒成立 有解 解集为空集a if a 这两者互补 恒成立 有解 minfx fx maxf maxf 解集为空集 这两者互补 恒成立 a ma f infx 有解 解集为空集 这两者互补 恒 fx xf f maxf f 成立 minf 3 证明不等式一般同函数知识相结合 综合性较强 灵活性较大 具有较好的区分度 例 5 若二次函数 的图象经过原点 且 求 的范围 yfx 12f 314f 2f 思路 要求 的取值范围 只需找到含 的不等式 组 由于 是二次函数 所以2f 2f yx 应先将 的表达形式写出来 即可求得 的表达式 然后依题设条件列出含有 的不 yx f 等式 组 即可求解 破解 因为 的图象经过原点 所以可设 于是f 2yfxab 12123434fab 解法一 利用基本不等式的性质 不等式组 1 变形得 其中等号分别在 与 621062102ababf 21ab 23 时成立 且 与 也满足 1 所以 的取值范围是 31ab 2ab 3 2f 6 10 解法二 数形结合 建立直角坐标系 作出不等式组 1 所表示的区域 如图中的阴影部分 因为aob 所以 表示斜率为 2 的直线系 如图 6 当直线 24f 420f 过点 时 分别取得 的最小值 6 最大值 10 即 的0abf 1A3 B f 2f 取值范围是 6 1 解法三 利用方程的思想 因为 所以 又 1fab 112f 而 243fabff 1 14 所以 6f 得 即 30f 6210f 收获 1 在解不等式时 要求作同解变形 要避免出现以下一种错解 将不等式组 1 变形得 而 所以 246133aabb 24fab 8412 31 ab 521f 2 对这类问题的求解关键一步是 找到 的数学结构 然后依其数学结构特征 揭示其代数的 f 几何的本质 利用不等式的基本性质 数形结合 方程等数学思想方法 从不同角度去解决同一问 题 若长期这样思考问题 数学的素养一定会迅速提高 3 本题灵活地考查了同向不等式的可加性 但要注意 的数学结构 2f 3 我们的收获 通过这次的研究性学习 我们懂得了很多有关不等式的知识 并得出以下心得 1 重视数学思想方法的复习 从命题趋向来看 我们应该加强对数学思想方法的复习 在复习不等式的解法时 加强等价转化思想的训练力度 由于解不等式的过程实质就是一个等价 转化的过程 通过等价转化可以简化不等式 组 以快速 准确求解 加强分类讨论思想的复习 在解不等式或证不等式的过程中 如含有参数等问题 这时可能要对 参数进行分类讨论 其中在讨论的过程中 要明白引起讨论的原因 同时要合理分类 要做到不重不 漏 加强函数与方程思想在不等式中的应用训练 不等式 函数 方程三者密不可分 相互联系 互 相转化 如求参数的取值范围问题 函数与方程思想是解决这类问题的重要方法 24 在不等式的证明中 要加强化归思想的复习 证明不等式的过程是一个把已知条件向要证结论的 一个转化过程 这既可考查学生的基础知识 又可考查学生分析问题和解决问题的能力 正因为证明不 等式是高考考查学生代数推理能力的重要素材 所以在复习中应特别加以关注 2 强化不等式的应用 由于不等式单独命题较少 常在函数 数列 立几 解几和实际应用问题的试题中涉及不等式的知 识 加强不等式应用能力 是提高解综合问题能力的关键 因此 在复习时应加强这方面知识和能力的 训练 提高应用意识 总结不等式的应用规律 才能提高解决问题的能力 如在实际问题应用中 主要 有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法 在求最值时要注意等号成立的条件 避免不必要的 错误 同时还要注意实际情况的限制 4 展望 未来的学习和生活中我们会继续与不等式打交道 不等式的美我们在日后也能继续欣赏 希望会有 等多的人重视不等式 也希望不等式领域能继续扩大