《材料力学》附录I--截面的几何性质-习题解

1 附录 I 截面的几何性质 习题解 习题 I 1 试求图示各截面的阴影线面积对 轴的静积 x a 解 240 1 204 3myAScx b 解 56 5 3cx c 解 280 1 201 3myAScx d 解 5 4 3cx 习题 I 2 试积分方法求图示半圆形截面对 轴的静矩 并确定其形心的坐标 x 解 用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示 微分面积的纵坐标 微分面积对 轴的静矩为 dxA sinxy x ddxyySx i 2 半圆对 轴的静矩为 2 32 0cos 3 cos 3sin0002 rrxdxSrrx 因为 所以 cxyA cyr 214 习题 I 3 试确定图示各图形的形心位置 a 解 习题 I 3 a 求门形截面的形心位置 矩形 Li Bi Ai Yci AiYci Yc 离顶边 上 400 20 8000 160 1280000 左 150 20 3000 75 225000 右 150 20 3000 75 225000 14000 1730000 123 6 46 4 Ai Li Bi Yc AiYci Ai b 解 习题 I 3 b 求 L 形截面的形心位置 矩形 Li Bi Ai Yci AiYci Yc Xci AiXci Xc 下 160 10 1600 5 8000 80 128000 左 90 10 900 55 49500 5 4500 2500 57500 23 132500 53 Ai Li Bi Yc AiYci Ai Xc AiXci Ai c 解 习题 I 3 c 求槽形与 L 形组合截面的形心位置 3 型钢号 Ai cm2 Yci cm AiYci cm3 Yc cm Xci cm AiXci cm3 Xc cm 槽钢 20 32 837 10 328 37 1 95 64 03 等边角钢 80 10 15 126 2 35 35 546 2 35 35 546 47 963 363 92 7 6 28 49 0 6 Yc AiYci Ai Xc AiXci Ai 习题 I 4 试求图示四分之一圆形截面对于 轴和 轴的惯性矩 和惯性积 xyxIyxyI 解 用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示 微分面积的纵坐标 微分面积对 轴的惯性矩为 dxA sinxy x ddxyIx 23222 isi 四分之一圆对 轴的惯性矩为 2 042 03 cos1 sin dI rrx cos21 4 0 0 sin 8 0 r 16 4 由圆的对称性可知 四分之一圆对 轴的惯性矩为 y4rIxy 微分面积对 轴 轴的惯性积为 y 4 xydAI 8 42 1 42 1 2102002 rrxrdxrx rrrxy 习题 I 5 图示直径为 的圆形截面 在其上 下对称地切去两个高为m 的弓形 试用积分法求余下阴影部分对其对称轴 的惯性矩 m2 解 圆的方程为 22ryx 如图 作两条平行 轴的 相距为 线段 截圆构成微分面积 微分面积为 xdydyrdA2 切去 之后 剩下部分对 轴的惯性矩为 Irx 2sin2 sinsi422arc8 8rryyry 4sin1 4 r i 84 22110 x 36 01mx 3462tan 5 927 013 54arctnrad 1063 5 sin 810 47mIx 习题 I 6 试求图示正方形对其对角线的惯性矩 解 正方形四条边的直线方程如图所示 设水平坐标轴为 竖坐标轴为 zydyzdyzdAyI aaaaz 2022022 20202aazza 32023023 aazaz dydy 2 203023 aa azdzzz aazz 2040 24 3 3 16324a24 故正方形对其的对角线的惯性矩为 12 4aIz 6 习题 I 7 试分别求图示环形和箱形截面对其对称轴 的惯性矩 x a 解 217368 50 1 74 361 641 442 mDIx b 95050 433Ix 习题 I 8 试求图示三角形截面对通过顶点 A 并平行于底边 BC 的 轴的惯性矩 解 已知三角形截面对以 BC 边为轴的惯性矩是 利用平行轴定理 可求得截面对形 心轴 的惯性矩 所以 再次应用平行轴定理 得 7 习题 I 9 试求图示 的半圆形截面对于轴 的惯性矩 其中轴 与半圆形的底 边平行 相距 1 m 解 已知半圆形截面对其底边的惯性矩是 用平行轴定理得截面对形心轴 的惯性矩 再用平行轴定理 得截面对轴 的惯性矩 习题 I 10 试求图示组合截面对于形心轴 的惯性矩 x 解 由于三圆直径相等 并两两相切 它们的圆心构成一个边长为 的等边三角形 该等 边三角形的形心就是组合截面的形心 因此下面两个圆的圆心 到形心轴 的距离是 上面一个圆的圆心到 轴的距离是 d632 8 利用平行轴定理 得组合截面对 轴的惯性矩如下 习题 I 11 试求图示各组合截面对其对称轴 的惯性矩 解 a 22a 号工字钢对其对称轴的惯性矩是 利用平行轴定理得组合截面对轴 的惯性矩 65702 105102 104 3 4237 mIz b 等边角钢 的截面积是 其形心距外边缘的距离是 28 4 mm 求得组合截面对轴 的惯性矩如下 习题 I 11 b 图 图形 b h Ixc a A Ix 中间矩形 10 600 180000000 0 6000 180000000 上矩形 250 10 20833 305 2500 232583333 下矩形 250 10 20833 305 2500 232583333 左上 L 形 1795100 271 6 1926 143869495 右上 L 形 1795100 271 6 1926 143869495 左下 L 形 1795100 271 6 1926 143869495 右下 L 形 1795100 271 6 1926 143869495 AaIxc2 1220644645 习题 I 12 试求习题 I 3a 图所示截面对其水平形心轴 的惯性矩 关于形心位置 可 利 用该题的结果 9 解 形心轴 位置及几何尺寸如图所示 惯性矩 计算如下 习题 I 12 试求图示各截面对其形心轴 的惯性矩 x 习题 I 13 a 图形 bi hi Ai Yci AiYci Yc ai Ixc Ix mm4 上矩形 1000 100 100000 650 65000000 225 83333333 5145833333 下矩形 300 600 180000 300 54000000 125 5400000000 8212500000 全图 280000 119000000 425 13358333333 习题 I 13 c 图 形 bi hi r Ai Yci AiYci Yc Ixc mm4 ai Ix mm 4 习题 I 13 b 图形 bi hi Ai Yci AiYci Yc ai Ixc Ix mm4 上图 3 25 150 3750 275 1031250 148 7031250 89601489 中图 2 200 150 30000 125 3750000 2 56250000 56328044 下图 1 100 50 5000 25 125000 102 1041667 52667577 全图 38750 4906250 127 198597110 10 矩 形 2140 1150 2461000 575 1415075000 271222708333 159 333213698275 半 圆 790 980333 335 328692667 42750202791 399 198820222116 全 图 1480667 1086382333 734 134393476159 半圆 3 4ryc 半圆 9 8 44rIxc 习题 I 13 d 图形 bi hi Ai Yci AiYci Yc ai Ixci Ix mm4 220 16 3520 8 28160 374 75093 492438613 180 14 2520 23 57960 359 41160 324821280 16 674 10784 367 3957728 0 408242699 408242699 220 14 3080 711 2189880 329 50307 333432587 445 9 4005 722 5 2893613 341 27034 464367735 从下往上 23909 9127341 382 2023302914 习题 I 14 在直径 圆截面中 开了一个 的矩形孔 如图所示 试求截面aD8 a42 对其水平形心轴和竖直轴形心的惯性矩 和 xIy 解 先求形心主轴 的位置 截面图形对形心轴的静矩 面积矩 等于零 y 轴向下为正 组合图形对过圆心轴 x1 的惯性矩 组合图形对形心轴 x 的惯性矩 习题 I 14 11 b a h a r a Ai a2 Yci a AiYci Yc a Ixc ai Ix a4 矩 形 4 2 8 00 1 8 2 667 1 1893 14 0 圆 4 50 27 0 0 201 062 0 1893 202 9 42 27 8 0 1893 188 9 习题 I 15 正方形截面中开了一个直径为 的半圆形孔 如图所示 试确定md10 截面的形心位置 并计算对水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩 解 习题 I 15 图形 bi hi r Ai Yci AiYci Yc Ixci ai Ix 正方形 200 200 40000 100 4000000 133333333 2 133546801 半圆 50 3927 79 309365 685977 24 2860346 全图 36073 3690635 102 130686455 3410ryc 984rIxc AaIxc2 形心位置 X 0 102 对水平形心轴的惯性矩 对竖直形心轴413065mIx 的惯性矩 879850149 320812 4444raIy 习题 I 15 图形 a r Iy mm 4 正方形 200 133333333 3 半圆 50 2454367 全图 130878966 12 81244raIy 习题 I 16 图示由两个 号槽钢组成的组合截面 若欲使截面对两对称轴的惯性矩a20 和 相等 则两槽钢的间距 应为多少 xIy 解 20a 号槽钢截面对其自身的形心轴 的惯性矩是 横截面积为 槽钢背到其形心轴 的距离是 根据惯性矩定义 和平行轴定理 组合截面对 轴的惯性矩分别是 若 即 等式两边同除以 2 然后代入数据 得 于是 所以 两槽钢相距 13 习题 I 17 试求图示截面的惯性积 xyI 解 设矩形的宽为 b 高为 h 形心主惯性轴为 则cyx0 由平行移轴公式得 241 2 0hbaAICyx 故 矩形截面对其底边与左边所构成的坐标系的惯性积为 241hbIxy 习题 I 18 图示截面由两个 的等边角钢及缀板 图中虚线 组m10251 合而成 试求该截面的最大惯性矩 和最小惯性矩 maxIaxI 解 从图中可知 该截面的形心 C 位于两缀板共同的形心上 过 C 点作水平线 向右为 轴正向 过 C 点 垂直于 轴c c 的直线为 轴向上为正 把 坐标绕 C 点逆时针转cyyx045 后所得到的坐标系是截面的的两条对称轴 也就是该截面的 形心主惯性轴 主惯性矩 0 xmax0Ix min0Iy 查型钢表得 12 5 号等边角钢的参数如下 237 4cmA 4 6 1900cIxy 4 89 57300cIyx cmz5 30 角钢形心主惯性轴与截面形心主惯性轴之间的距离 mza 25 3 4 20 习题 I 17 图形 b h Ixy 左矩形 10 100 250000 下矩形 100 10 250000 重复加的矩形 10 10 2500 全图 上图 下图 重复图 497500 14 1820 37 4 295 3 46 1 2 4max0 cmI 857in0 cmy 注 缀板用虚线画出 表示其面积可忽略不计 习题 I 19 试求图示正方形截面的惯性积 和惯性矩 并作出比较 1yxI1xI1y 解 12 4aIx 4Iy 为形心主惯性轴 0 xy 12021sin2co2 441 aaIIII xyyxyx sic 441 IIII xyyxyxy 02osin2 1 xyyxyIII 结论 1 过正方形形心的一对相互垂直的轴 它们的惯性矩相等 它们的惯性积为零 2 过正方形形心的一对相互垂直的轴 绕形心转动之后 惯性矩 惯性积保持不变 习题 I 20 确定图示截面的形心主惯性轴的位置 并求形心主惯性矩 15 a 解 截面的形心主惯性轴与竖直矩形的形心主惯性轴重合 5 7146 024 012 402 40 21 433 mIx 1833y 59 2 240 4mIx 316 183465 746 90 tan0 yxI 231 rct200 46 Ix Iy Ixy 575146666 5 183146666 6 259200000 Ix0 704109187 575146666 5 183146666 6 259200000 Iy0 54184146 24 210 xyyxyxy IIII b 解 以 20 号槽钢 图 I 的下边缘为 x 轴 左边缘为 y 轴 建立坐标系 8 号槽钢编 号为图 II 则组合截面的形心计算如下 习题 I 20 b 长度单位 cm 图形 Ai Xci Yci AiXci AiYci Xc Yc I 32 8 1 95 10 64 328 3 II 10 2 1 4 16 15 163 8 全图 43 1 49 4 492 1 1 15 11 4 16 习题 I 20 b 图 形 Ai i abIxci Iyci Ixci Iyci Ixciyci Ixciyci tan2a0 a0 Ix0 Iy0 I 32 8 1 43 0 804 1913 7 143 6 1981 165 0 37 635 II 10 2 4 573 2 58 101 3 16 6 315 5 84 6 0 120 66 全 图 43 1 2296 249 0 158 29 0 1547 4 4 2308 2 237 2 习题 21 试用近似法求习题 I 4 所示截面的 并与该题得出的精确值相比较 已矩该xI 截面的半径 mr10 解 圆的方程为 2210 yx 把 y 轴的半径 10 等分 即 过等分点 作 x 轴的平行线 从下往上 每个m10 分块 的中点的 y 坐标与 x 坐标如下表所示 习题 I 21iyixia ixa 2 5 99 87 5 10 24969 15 98 87 15 10 222454 25 96 82 25 10 605154 35 93 67 35 10 1147518 45 89 30 45 10 1808383 55 83 52 55 10 2526373 17 65 75 99 65 10 3210722 75 66 14 75 10 3720588 85 52 68 85 10 3806005 95 31 22 95 10 2818055 近似解 iixaI 102 19890221 精确解 610459 3 4 rx 19634938 误差 1 30 习题 I 22 试证明 直角边长度为 的等腰三角形 对于平行于直角边的一对形心轴之惯a 性积绝对值为 提示 最简单的证法是利用惯性积的平行移轴公式 并利用一对72 4aIxy 相互垂直的坐标轴中有一为截面的对称轴时 其惯性积为零的特征 解 byhz 24 2200 hbydbhydzdAzIbyz 734 3 22hIyzzyC 令 得 ab72 aICzy