初中数学应用题(含答案解析)

武汉中考数学 22 题专题 二次函数应用 2 2001 安徽 某工厂生产的 A 种产品 它的成本是 2 元 售价是 3 元 年销量为 100 万件 为了获得更好的效 益 厂家准备拿出一定的资金做广告 根据统计 每年投入的广告费是 x 十万元 产品的年销量将是原销售量 的 y 倍 且 y 是 x 的二次函数 它们的关系如表 x 十万元 0 1 2 y 1 1 5 1 8 1 求 y 与 x 的函数关系式 2 如果把利润看成销售总额减去成本费和广告费 试写出年利润 S 十万元 与广告费 x 十万元的函数关系 式 3 如果投入的年广告费为 10 万元 30 万元 问广告费在什么范围内 工厂获得的利润最大 最大利润是多少 3 2014 合肥模拟 某工厂共有 10 台机器 生产一种仪器元件 由于受生产能力和技术水平等因素限制 会产 生一定数量的次品 每台机器产生的次品数 p 千件 与每台机器的日产量 x 千件 生产条件要求 4 x 12 之 间变化关系如表 日产量 x 千件 台 5 6 7 8 9 次品数 p 千件 台 0 7 0 6 0 7 1 1 5 已知每生产 1 千件合格的元件可以盈利 1 6 千元 但没生产 1 千件次品将亏损 0 4 千元 利润 盈利 亏损 1 观察并分析表中 p 与 x 之间的对应关系 用所学过的一次函数 反比例函数或二次函数的有关知识求出 p 千件 与 x 千件 的函数解析式 2 设该工厂每天生产这种元件所获得的利润为 y 千元 试将 y 表示 x 的函数 并求当每台机器的日产量 x 千件 为多少时所获得的利润最大 最大利润为多少 4 2013 乌鲁木齐 某公司销售一种进价为 20 元 个的计算机 其销售量 y 万个 与销售价格 x 元 个 的变 化如下表 价格 x 元 个 30 40 50 60 销售量 y 万个 5 4 3 2 同时 销售过程中的其他开支 不含造价 总计 40 万元 1 观察并分析表中的 y 与 x 之间的对应关系 用所学过的一次函数 反比例函数或二次函数的有关知识写出 y 万个 与 x 元 个 的函数解析式 2 求出该公司销售这种计算器的净得利润 z 万个 与销售价格 x 元 个 的函数解析式 销售价格定为多少 元时净得利润最大 最大值是多少 3 该公司要求净得利润不能低于 40 万元 请写出销售价格 x 元 个 的取值范围 若还需考虑销售量尽可能 大 销售价格应定为多少元 5 2013 沙市区三模 某公司准备购进一批产品进行销售 该产品的进货单价为 6 元 个 根据市场调查 得到了 四组关于日销售量 y 个 与销售单价 x 元 个 的数据 如表 x 10 12 14 16 y 300 240 180 120 1 如果在一次函数 二次函数和反比例函数这三个函数模型中 选择一个来描述日销售量与销售单价之间的关 系 你觉得哪个合适 并写出 y 与 x 之间的函数关系式 不要求写出自变量的取值范围 2 2 按照 1 中的销售规律 请你推断 当销售单价定为 17 5 元 个时 日销售量为多少 此时 获得日销售利 润是多少 3 为了防范风险 该公司将日进货成本控制在 900 元 含 900 元 以内 按照 1 中的销售规律 要想获得 的日销售利润最大 那么销售单价应定为多少 并求出此时的最大利润 6 2012 新区二模 某企业信息部进行市场调研发现 信息一 如果单独投资 A 种产品 所获利润 yA 万元 与投资金额 x 万元 之间存在某种关系的部分对应值如 下表 x 万元 1 2 2 5 3 5 yA 万元 0 4 0 8 1 1 2 2 信息二 如果单独投资 B 种产品 则所获利润 yB 万元 与投资金额 x 万元 之间存在二次函数关系 yB ax2 bx 且投资 2 万元时获利润 2 4 万元 当投资 4 万元时 可获利润 3 2 万元 1 求出 yB 与 x 的函数关系式 2 从所学过的一次函数 二次函数 反比例函数中确定哪种函数能表示 yA 与 x 之间的关系 并求出 yA 与 x 的 函数关系式 3 如果企业同时对 A B 两种产品共投资 15 万元 请设计一个能获得最大利润的投资方案 并求出按此方案 能获得的最大利润是多少 7 哪里的民营经济发展得好 哪里的经济就越发达 恒强科技公司在重庆市委市政府这一执政理念的鼓舞下 在 已有高科技产品 A 产生利润的情况下 决定制定一个开发利用高科技产品 B 的 10 年发展规划 该规翘晦年的专 项投资资金是 50 万元 在前五年 每年从专项资金中最多拿出 25 万元投入到产品 A 使它产生利润 剩下的资金 全部用于产品 B 的研发 经测算 每年投入到产品 A 中 x 万元时产生的利润 y1 万元 满足下表的关系 x 万元 10 20 30 40 y1 万元 2 8 10 8 从第六年年初开始 产品 B 已研发成功 在产品 A 继续产生利润的同时产品 B 也产生利润 每年投入到产品 B 中 x 万元时产生的利润 y2 万元 满足 1 请观察题目中的表格 用所学过的一次函数 二次函数或反比例函数的相关知识 求出 y1 与 x 的函数关系式 2 按照此发展规划 求前 5 年产品 A 产生的最大利润之和是多少万元 3 后 5 年 专项资金全部投入到产品 A 产品 B 使它们产生利润 求后 5 年产品 A 产品 B 产生的最大利润之 和是多少万元 8 某农户生产经销一种农副产品 已知这种产品的成本价为 20 元 千克 而且物价部门规定这种产品的销售价不 得高于 28 元 千克 通过市场调查发现 该产品每天的销售量 w 千克 与销售价 x 元 千克 的变化如下表 销售价 x 元 千克 21 23 25 27 销售量 w 千克 38 34 30 26 设这种产品每天的销售利润为 y 元 1 请观察题中的表格 用所学过的一次函数 反比例函数或二次函数的有关知识直接写出 w 与 x 所满足的函数 关系式 并求出 y 与 x 所满足的函数关系式 2 当销售价定为多少元时 每天的销售利润最大 最大利润是多少 3 该农户想要每天获得 150 元的销售利润 销售价应定为多少元 3 9 某商品每件成本 60 元 试销阶段每件商品的销售价 x 元 与商品的日销售量 y 件 之间的关系如下表 其 中日销售量 y 是销售价 x 的函数 x 元 50 60 65 70 y 件 100 80 70 60 1 请判断这种函数是一次函数 反比例函数 还是二次函数 并求出函数解析式 2 要使每日的销售利润最大 每件商品的销售价应定为多少元 此时每日销售利润是多少 3 要使这种商品每日的销售利润不低于 600 元 且每件商品的利润率不得高于 40 那么该商品的销售价 x 应 定为多少 请直接写出结果 10 某厂设计了一款成本为 20 元 件的公益用品投放市场进行试销 经过调查 得到如下数据 销售单价 x 元 件 30 40 50 60 每天销售量 y 件 500 400 300 200 1 认真分析上表中的数据 用所学过的一次函数 二次函数 反比例函数的知识确定一个满足这些数据的 y 与 x 的函数关系 并求出函数关系式 2 当销售单价定为多少时 该厂试销该公益品每天获得的利润最大 最大利润是多少 利润 销售总价 成本 总价 3 当地民政部门规定 若该厂销售此公益品单价不低于成本价且不超过 46 元 件时 该厂每销售一件此公益品 国家就补贴该厂 a 元利润 a 4 公司通过销售记录发现 日销售利润随销售单价的增大而增大 求 a 的取值范 围 11 2011 南昌模拟 阅读下列文字 2010 年广州亚运会前夕某公司生产一种时令商品每件成本为 20 元 经市场发现该商品在未来 40 天内的日销售量 为 a 件 与时间 t 天的关系如下表 时间 t 天 1 3 6 10 36 日销售量 a 件 94 90 84 76 24 未来 40 天内 前 20 天每天的价格 b 元 件 与时间 t 的关系为 b t 25 1 t 20 后 20 天每天价格为 c 元 件 与时间 t 的关系式为 c t 40 21 t 40 解得下列问题 1 分析表中的数据 用所学过的一次函数 二次函数 反比例函数知识确定一个满足这些数据的 a 与 t 的函数 关系式 2 请预测未来 40 天中哪一天日销售利润最大 最大日销售利润是多少 3 在实际销售的前 20 天中该公司决定销售一件就捐赠 n 元 n 4 利润给亚运会组委会 通过销售记录发现 前 20 天中 每天扣除捐赠后利润随时间 t 的增大而增大 求 n 的取值范围 12 2009 年 11 月 4 日 上海市人民政府新闻办宣布上海迪斯尼项目报告已获国家有关部门核准 相应的周边城市 效应也随即带动 某周边城市计划开通至上海的磁悬浮列车 列车走完全程包含启动加速 均匀运行 制动减速 三个阶段 已知磁悬浮列车从启动加速到稳定匀速运行共需 200 秒 在这段时间内的相关数据如表所示 时间 t 秒 0 50 100 150 200 速度 V 米 秒 0 30 60 90 120 路程 s 米 0 750 3000 6750 12000 1 请你在一次函数 二次函数和反比例函数中选择合适的函数来分别表示在加速阶段 0 t 200 速度 v 与时间 t 的函数关系 路程 s 与时间 t 的函数关系 4 2 最新研究表明 此种列车的稳定运行速度可达 180 米 秒 为了检测稳定运行时各项指标 在列车达到这一速 度后至少要运行 100 秒 才能收集全相关数据 若在加速过程中 路程 速度随时间的变化关系任然满足 1 中 的函数关系式 并且制动减速所需路程与启动加速的路程相同 根据以上要求 至少要建多长的轨道才能满足实 验检测要求 13 2013 蕲春县模拟 今年我国多个省市遭受严重干旱 受旱灾的影响 4 月份 我市某蔬菜价格呈上升趋势 其前四周每周的平均销售价格变化如表 周数 x 1 2 3 4 价格 y 元 千克 2 2 2 2 4 2 6 1 请观察题中的表格 用所学过的一次函数 反比例函数或二次函数的有关知识直接写出 4 月份 y 与 x 的函数 关系式 2 进入 5 月 由于本地蔬菜的上市 此种蔬菜的平均销售价格 y 元 千克 从 5 月第 1 周的 2 8 元 千克下降至 第 2 周的 2 4 元 千克 且 y 与周数 x 的变化情况满足二次函数 y x2 bx c 请求出 5 月份 y 与 x 的函数关系式 3 若 4 月份此种蔬菜的进价 m 元 千克 与周数 x 所满足的函数关系为 m x 1 2 5 月份此种蔬菜的进价 m 元 千克 与周数 x 所满足的函数关系为 m x 2 试问 4 月份与 5 月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克 的利润最大 且最大利润分别是多少 14 2014 宜兴市模拟 在气候对人类生存压力日趋加大的今天 发展低碳经济 全面实现低碳生活逐渐成为人 们的共识 某企业采用技术革新 节能减排 今年前 5 个月二氧化碳排放量 y 吨 与月份 x 月 之间的关系如 下表 月份 x 月 1 2 3 4 5 二氧化碳排放量 y 吨 48 46 44 42 40 1 请你从所学过的一次函数 二次函数和反比例函数中确定哪种函数关系能表示 y 和 x 的变化规律 请写出 y 与 x 的函数关系式 2 随着二氧化碳排放量的减少 每排放一吨二氧化碳 企业相应获得的利润也有所提高 且相应获得的利润 p 万元 与月份 x 月 的函数关系如图所示 那么今年哪月份 该企业获得的月利润最大 最大月利润是多少 万元 3 受国家政策的鼓励 该企业决定从今年 6 月份起 每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降 a 与 此同时 每排放一吨二氧化碳 企业相应获得的利润在上一个月的基础上都增加 50 要使今年 6 7 月份月利润 的总和是今年 5 月份月利润的 3 倍 求 a 的值 精确到个位 参考数据 15 2010 安庆一模 某公司生产的某种时令商品每件成本为 20 元 经过市场调研发现 这种商品在未来 40 天 内的日销售量 m 件 与时间 t 天 的关系如图 未来 40 天内 前 20 天每天的价格 y1 元 件 与时间 t 天 5 的函数关系式为 1 t 20 且 t 为整数 后 20 天每天的价格 30 元 件 21 t 40 且 t 为整数 下面 我们就来研究销售这种商品的有关问题 1 认真分析上表中的数据 用所学过的一次函数 二次函数 反比例函数的知识确定一个满足这些数据的 m 件 与 t 天 之间的关系式 2 请预测未来 40 天中哪一天的日销售利润最大 最大日销售利润是多少 3 在实际销售的前 20 天中 该公司决定每销售一件商品就捐赠 a 元利润 a 4 给希望工程 公司通过销售 记录发现 前 20 天扣除捐赠后的日销售利润随时间 t 天 的增大而增大 求 a 的取值范围 16 中央综治委在对全国各省市自治区 2010 年社会治安综合治理考评中 重庆市以 93 48 分居全国第一 成为全 国最安全 最稳定的城市之一 市政府非常重视交巡警平台的建设 据统计 某行政区在去年前 7 个月内 交巡 警平台的数量与月份之间的关系如下表 月份 x 月 1 2 3 4 5 6 7 交巡警平台数量 y1 个 32 34 36 38 40 42 44 而由于部分地区陆续被划分到其它行政区 该行政区 8 至 12 月份交巡警平台数量 y2 个 与月份 x 月 之间存 在如图所示的变化趋势 1 请观察表格 用所学过的一次函数 反比例函数或二次函数的有关知识 直接写出 y1 与 x 之间的函数关系式 根据如图所示的变化趋势 直接写出 y2 与 x 之间满足的一次函数关系式 2 2012 年一月份 政府计划该区的交巡警平台数量比去年 12 份减少 a 在去年 12 月份的基础上每一个交巡 警平台所需的资金量将增加 0 1a 某民营企业为表示对 平安重庆 的鼎力支持 决定在 1 月份对每个交巡警平台 分别赞助 30000 元 若政府计划一月份用于交巡警平台的资金总额为 126 万元 请参考以下数据 估计 a 的整数 值 参考数据 87 2 7569 88 2 7744 89 2 7921 17 2012 重庆模拟 樱桃含铁量位于各种水果之首 常食樱桃可促进血红蛋白再生 既可防治缺铁性贫血 又 可增强体质 健脑益智 樱桃营养丰富 具有调中益气 健脾和胃 祛风湿 令人好颜色 美志性 之功效 对食 6 欲不振 消化不良 风湿身痛等症状均有益处 今年 4 月份 某樱桃种植基地种植的樱桃喜获丰收 4 月 1 日至 10 日 销售价格 y 元 千克 与天数 x 天 1 x 10 且 x 为整数 的函数关系如下表 天数 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 市场价格 y 19 5 19 18 5 18 17 5 17 16 5 16 15 5 15 销售量 z 千克 与天数 x 天 1 x 10 且 x 为整数 之间存在如图所示的变化趋势 1 请观察题中的表格 用所学过的一次函数 反比例函数或二次函数的有关知识 直接写出 y 与 x 之间的函数 关系式 根据如图所示的变化趋势 直接写出 z 与 x 之间满足的一次函数关系式 2 若采摘樱桃的人员费用 m 元 与销售量 z 千克 之间的函数关系式为 m 0 1z 100 则 4 月份前 10 天 哪天销售樱桃的利润最大 求出这个最大利润 3 在 1 问的基础上 4 月 11 日至 4 月 12 日 该樱桃种植基地调整了销售价格 每天都比前一天增加 a 0 a 20 在此影响下 销售量每天都比前一天减少 100 千克 若这两天销售樱桃的利润为 80330 元 请你 参考以下数据 通过计算估算出整数值 参考数据 74 2 5476 74 5 2 5550 25 75 2 5625 18 该厂生产了一种成本为 20 元 个的小镜子投放市场进行试销 经过调查 得到如下数据 销售单价 x 元 个 30 40 50 60 每天销售量 y 个 500 400 300 200 1 认真分析上表中的数据 用所学过的一次函数 二次函数 反比例函数的知识确定一个满足这些数据的 y 个 与 x 元 个 之间的关系式 2 当销售单价定为多少时 该厂试销这种镜子每天获得的总利润最大 最大利润是多少 总利润 每个镜子 的利润 销售量 7 参考答案与试题解析 一 解答题 共 18 小题 1 2014 武汉四月调考 某工厂生产一种矩形材料板 其长宽之比为 3 2 每张材料板的成本 c 单位 元 与 它的面积 单位 cm 2 成正比例 每张材料板的销售价格 y 单位 元 与其宽 x 之间满足我们学习过的三种函 数 即一次函数 反比例函数和二次函数 关系中的一种 下表记录了该工厂生产 销售该材料板一些数据 材料板的宽 x 单位 cm 24 30 42 54 成本 c 单位 元 96 150 294 486 销售价格 y 单位 元 780 900 1140 1380 1 求一张材料板的销售价格 y 与其宽 x 之间的函数关系式 不要求写出自变量的取值范围 2 若一张材料板的利润 w 为销售价格 y 与成本 c 的差 请直接写出一张材料板的利润 w 与其宽 x 之间的函数关系 不要求写出自变量的取值范围 当材料板的宽为多少时 一张材料板的利润最大 最大利润是多少 考点 二次函数的应用 菁优网版权所有 分析 1 根据图表可知所有点在一条直线上 故是一次函数 2 因为长宽之比为 3 2 当宽为 x 时 则长为 1 5x 根据矩形的面积公式可得 x 和 y 的关系进而得 到 c 和 x 的关系 所以一张材料板的利润 w 与其宽 x 之间的函数关系可求出 利用 中的函数性质即 可求出当材料板的宽为多少时 一张材料板的利润最大 以及最大利润是多少 解答 解 1 根据表中的数据判断 销售价格 y 于宽 x 之间的函数关系不是反比例函数关系 假设是一次函数 设其解析式为 y kx b 则 24k b 780 30k b 900 解得 k 20 b 300 将 x 42 y 1140 和 x 54 y 1380 代入检验 满足条件 所以其解析式为 y 20 x 300 2 矩形材料板 其长宽之比为 3 2 当宽为 x 时 则长为 1 5x w yx 1 5x x 1 5x 20 x 300 x 1 5x x 1 5x x2 20 x 300 由 可知 w x2 20 x 300 x 60 2 900 当材料板的宽为 60cm 时 一张材料板的利润最大 最大利润是 900 元 点评 本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用 最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答 我们首 先要吃透题意 确定变量 建立函数模型 然后结合实际选择最优方案 其中要注意应该在自变量的取值 范围内求最大值 或最小值 也就是说二次函数的最值不一定在 x 时取得 8 2 2001 安徽 某工厂生产的 A 种产品 它的成本是 2 元 售价是 3 元 年销量为 100 万件 为了获得更好的效 益 厂家准备拿出一定的资金做广告 根据统计 每年投入的广告费是 x 十万元 产品的年销量将是原销售量 的 y 倍 且 y 是 x 的二次函数 它们的关系如表 x 十万元 0 1 2 y 1 1 5 1 8 1 求 y 与 x 的函数关系式 2 如果把利润看成销售总额减去成本费和广告费 试写出年利润 S 十万元 与广告费 x 十万元的函数关系 式 3 如果投入的年广告费为 10 万元 30 万元 问广告费在什么范围内 工厂获得的利润最大 最大利润是多少 考点 二次函数的应用 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 1 根据题意可求出 y 与 x 的二次函数关系式 2 根据题意可知 S 3 2 100y 10 x x2 5x 10 3 根据解析式求最值即可 解答 解 1 设 y 与 x 的函数关系式为 y ax2 bx c 由题意得 解得 y 与 x 的函数关系式为 y 0 1x 2 0 6x 1 2 利润 销售总额减去成本费和广告费 S 3 2 100y 10 x x2 5x 10 3 S x2 5x 10 x 2 5 2 16 25 当 x 2 5 时 函数有最大值 所以 x 2 5 是函数的递增区间 由于 1 x 3 所以 1 x 2 5 时 S 随 x 的增大而增大 x 2 5 时利润最大 最大利润为 16 25 十万元 点评 求二次函数的最大 小 值有三种方法 第一种可由图象直接得出 第二种是配方法 第三种是公式 法 要学会用二次函数解决实际问题 3 2014 合肥模拟 某工厂共有 10 台机器 生产一种仪器元件 由于受生产能力和技术水平等因素限制 会产 生一定数量的次品 每台机器产生的次品数 p 千件 与每台机器的日产量 x 千件 生产条件要求 4 x 12 之 间变化关系如表 日产量 x 千件 台 5 6 7 8 9 次品数 p 千件 台 0 7 0 6 0 7 1 1 5 已知每生产 1 千件合格的元件可以盈利 1 6 千元 但没生产 1 千件次品将亏损 0 4 千元 利润 盈利 亏损 9 1 观察并分析表中 p 与 x 之间的对应关系 用所学过的一次函数 反比例函数或二次函数的有关知识求出 p 千件 与 x 千件 的函数解析式 2 设该工厂每天生产这种元件所获得的利润为 y 千元 试将 y 表示 x 的函数 并求当每台机器的日产量 x 千件 为多少时所获得的利润最大 最大利润为多少 考点 二次函数的应用 菁优网版权所有 分析 1 由表格中的数据可以看出 p 与 x 是二次函数关系 根据对称点找出顶点坐标 6 0 6 设出顶点式 代入点求得函数即可 2 根据实际利润 合格产品的盈利 生产次品的亏损将生产这种元件所获得的实际利润 y 万元 表示 为日产量 x 万件 的函数 再进一步求得最值即可 解答 解 1 根据表格中的数据可以得出 p 与 x 是二次函数关系 且图象经过的顶点坐标为 6 0 6 设函数解析式为 p a x 6 2 0 6 把 8 1 代入 的 4a 0 6 1 解得 a 0 1 所以函数解析式为 p 0 1 x 6 2 0 6 0 1x2 1 2x 4 2 2 y 10 1 6 x p 0 4p 16x 20p 16x 20 0 1x 2 1 2x 4 2 2x2 40 x 84 4 x 12 y 2x2 40 x 84 2 x 10 2 116 4 x 12 当 x 10 时 y 取得最大值 最大利润为 116 千元 答 当每台机器的日产量为 10 千件时 所获得的利润最大 最大利润为 116 千元 点评 此题考查的知识点是根据实际问题选择函数类型 熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键 4 2013 乌鲁木齐 某公司销售一种进价为 20 元 个的计算机 其销售量 y 万个 与销售价格 x 元 个 的变 化如下表 价格 x 元 个 30 40 50 60 销售量 y 万个 5 4 3 2 同时 销售过程中的其他开支 不含造价 总计 40 万元 1 观察并分析表中的 y 与 x 之间的对应关系 用所学过的一次函数 反比例函数或二次函数的有关知识写出 y 万个 与 x 元 个 的函数解析式 2 求出该公司销售这种计算器的净得利润 z 万个 与销售价格 x 元 个 的函数解析式 销售价格定为多少 元时净得利润最大 最大值是多少 3 该公司要求净得利润不能低于 40 万元 请写出销售价格 x 元 个 的取值范围 若还需考虑销售量尽可能 大 销售价格应定为多少元 考点 二次函数的应用 菁优网版权所有 专题 压轴题 10 分析 1 根据数据得出 y 与 x 是一次函数关系 进而利用待定系数法求一次函数解析式 2 根据 z x 20 y 40 得出 z 与 x 的函数关系式 求出即可 3 首先求出 40 x 50 2 50 时 x 的值 进而得出 x 元 个 的取值范围 解答 解 1 根据表格中数据可得出 y 与 x 是一次函数关系 设解析式为 y ax b 则 解得 故函数解析式为 y x 8 2 根据题意得出 z x 20 y 40 x 20 x 8 40 x2 10 x 200 x2 100 x 200 x 50 2 2500 200 x 50 2 50 故销售价格定为 50 元 个时净得利润最大 最大值是 50 万元 3 当公司要求净得利润为 40 万元时 即 x 50 2 50 40 解得 x 1 40 x 2 60 如上图 通过观察函数 y x 50 2 50 的图象 可知按照公司要求使净得利润不低于 40 万元 则销售 价格的取值范围为 40 x 60 而 y 与 x 的函数关系式为 y x 8 y 随 x 的增大而减少 因此 若还需考虑销售量尽可能大 销售价格应定为 40 元 个 点评 此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式 二次函数最值问题等知识 根据已知 得出 y 与 x 的函数关系是解题关键 11 5 2013 沙市区三模 某公司准备购进一批产品进行销售 该产品的进货单价为 6 元 个 根据市场调查 得到了 四组关于日销售量 y 个 与销售单价 x 元 个 的数据 如表 x 10 12 14 16 y 300 240 180 120 1 如果在一次函数 二次函数和反比例函数这三个函数模型中 选择一个来描述日销售量与销售单价之间的关 系 你觉得哪个合适 并写出 y 与 x 之间的函数关系式 不要求写出自变量的取值范围 2 按照 1 中的销售规律 请你推断 当销售单价定为 17 5 元 个时 日销售量为多少 此时 获得日销售利 润是多少 3 为了防范风险 该公司将日进货成本控制在 900 元 含 900 元 以内 按照 1 中的销售规律 要想获得 的日销售利润最大 那么销售单价应定为多少 并求出此时的最大利润 考点 二次函数的应用 菁优网版权所有 分析 1 观察可得该函数图象是一次函数 设出一次函数解析式 把其中两点代入即可求得该函数解析式 进而把其余两点的横坐标代入看纵坐标是否与点的纵坐标相同 2 根据销售利润 每个商品的利润 销售量计算即可 3 根据进货成本可得自变量的取值 结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润 解答 解 1 y 是 x 的一次函数 设 y kx b 图象过点 10 300 12 240 解得 y 30 x 600 当 x 14 时 y 180 当 x 16 时 y 120 即点 14 180 16 120 均在函数 y 30 x 600 图象上 y 与 x 之间的函数关系式为 y 30 x 600 2 w x 17 5 30 x 600 30 x 2 780 x 3600 即 w 与 x 之间的函数关系式为 w 30 x2 780 x 3600 3 由题意得 6 30 x 600 900 解得 x 15 w 30 x2 780 x 3600 的对称轴为 x 13 a 30 0 抛物线开口向下 当 x 15 时 w 随 x 增大而减小 当 x 15 时 w 最大 1350 即以 15 元 个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润 1350 元 点评 此题主要考查了二次函数的应用 要注意应该在自变量的取值范围内求最大值 或最小值 6 2012 新区二模 某企业信息部进行市场调研发现 12 信息一 如果单独投资 A 种产品 所获利润 yA 万元 与投资金额 x 万元 之间存在某种关系的部分对应值如 下表 x 万元 1 2 2 5 3 5 yA 万元 0 4 0 8 1 1 2 2 信息二 如果单独投资 B 种产品 则所获利润 yB 万元 与投资金额 x 万元 之间存在二次函数关系 yB ax2 bx 且投资 2 万元时获利润 2 4 万元 当投资 4 万元时 可获利润 3 2 万元 1 求出 yB 与 x 的函数关系式 2 从所学过的一次函数 二次函数 反比例函数中确定哪种函数能表示 yA 与 x 之间的关系 并求出 yA 与 x 的 函数关系式 3 如果企业同时对 A B 两种产品共投资 15 万元 请设计一个能获得最大利润的投资方案 并求出按此方案 能获得的最大利润是多少 考点 二次函数的应用 菁优网版权所有 专题 阅读型 图表型 分析 1 用待定系数法将坐标 2 2 4 4 3 2 代入函数关系式 yB ax2 bx 求解即可 2 根据表格中对应的关系可以确定为一次函数 通过待定系数法求得函数表达式 3 根据等量关系 总利润 投资 A 产品所获利润 投资 B 产品所获利润 列出函数关系式求得最大值 解答 解 1 由题意得 将坐标 2 2 4 4 3 2 代入函数关系式 yB ax2 bx 求解得 yB 与 x 的函数关系式 yB 0 2x2 1 6x 2 根据表格中对应的关系可以确定为一次函数 故设函数关系式 yA kx b 将 1 0 4 2 0 8 代入得 解得 则 yA 0 4x 3 设投资 B 产品 x 万元 投资 A 产品 15 x 万元 总利润为 W 万元 W 0 2x2 1 6x 0 4 15 x 0 2 x 3 2 7 8 即当投资 B3 万元 A12 万元时所获总利润最大 为 7 8 万元 点评 本题考查了函数关系式以及其最大值的求解问题 7 哪里的民营经济发展得好 哪里的经济就越发达 恒强科技公司在重庆市委市政府这一执政理念的鼓舞下 在 已有高科技产品 A 产生利润的情况下 决定制定一个开发利用高科技产品 B 的 10 年发展规划 该规翘晦年的专 项投资资金是 50 万元 在前五年 每年从专项资金中最多拿出 25 万元投入到产品 A 使它产生利润 剩下的资金 全部用于产品 B 的研发 经测算 每年投入到产品 A 中 x 万元时产生的利润 y1 万元 满足下表的关系 x 万元 10 20 30 40 y1 万元 2 8 10 8 从第六年年初开始 产品 B 已研发成功 在产品 A 继续产生利润的同时产品 B 也产生利润 每年投入到产品 B 中 x 万元时产生的利润 y2 万元 满足 13 1 请观察题目中的表格 用所学过的一次函数 二次函数或反比例函数的相关知识 求出 y1 与 x 的函数关系式 2 按照此发展规划 求前 5 年产品 A 产生的最大利润之和是多少万元 3 后 5 年 专项资金全部投入到产品 A 产品 B 使它们产生利润 求后 5 年产品 A 产品 B 产生的最大利润之 和是多少万元 考点 二次函数的应用 菁优网版权所有 专题 应用题 分析 1 根据表格数据特点 可发现 y 1 与 x 不是一次函数关系 也不是反比例函数关系 故可设 y1 ax2 bx c 选择三点代入可得出答案 2 利用配方法确定 A 产品每年的最大利润 继而可得前 5 年产品 A 产生的最大利润之和 3 设每年投入 B a 万元 则每年投入 A 50 a 万元 设后 5 年每年产生的最大利润为 W 利用配方 法求出最值 继而可得后 5 年产品 A 产品 B 产生的最大利润之和 解答 解 1 设 y1 ax2 bx c 则 解得 故可得 y1 x2 x 8 2 y 1 x2 x 8 x 30 2 10 0 x 25 当 x 25 时 y 1 取得最大 y1 最大 9 5 万元 故前 5 年产品 A 产生的最大利润之和 9 5 5 47 5 万元 3 设每年投入 B a 万元 则投入 A 50 a 万元 后 5 年每年产生的最大利润为 W 则 W a2 a 202 50 a 2 50 a 8 a2 60a 200 a 30 2 700 当 a 30 时 W 取得最大 W 最大 700 万元 故后 5 年产品 A 产品 B 产生的最大利润之和是 3500 万元 点评 本题考查了二次函数的应用 待定系数法求函数解析式的知识 解答本题的关键是熟练掌握配方法求二次 函数最值的应用 计算量较大 注意细心求解 8 某农户生产经销一种农副产品 已知这种产品的成本价为 20 元 千克 而且物价部门规定这种产品的销售价不 得高于 28 元 千克 通过市场调查发现 该产品每天的销售量 w 千克 与销售价 x 元 千克 的变化如下表 销售价 x 元 千克 21 23 25 27 销售量 w 千克 38 34 30 26 设这种产品每天的销售利润为 y 元 1 请观察题中的表格 用所学过的一次函数 反比例函数或二次函数的有关知识直接写出 w 与 x 所满足的函数 关系式 并求出 y 与 x 所满足的函数关系式 2 当销售价定为多少元时 每天的销售利润最大 最大利润是多少 14 3 该农户想要每天获得 150 元的销售利润 销售价应定为多少元 考点 二次函数的应用 菁优网版权所有 分析 1 从表格看出 x 每增加 2 w 就减少 4 由此可确定是一次函数关系式 设 w kx b 把 21 38 23 34 代入求出 k 和 b 即可得到 w 和 x 的关系 因为 y x 20 w 所以可得到 y 与 x 的函数关系式 2 先利用配方法将 1 的函数关系式变形 再利用二次函数的性质即可求解即可 3 先把 y 150 代入 1 的函数关系式中 解一元二次方程求出 x 再根据 x 的取值范围即可确定 x 的 值 解答 解 1 设 w kx b 把 21 38 23 34 代入得 解得 w 2x 80 y x 20 w x 20 2x 80 2x2 120 x 1600 y 与 x 的函数关系式为 y 2x 2 120 x 1600 2 y 2x2 120 x 1600 2 x 30 2 200 x 28 当 x 28 时 y 有最大值 192 当销售价定为 28 元 千克时 每天可获最大销售利润 192 元 3 当 y 150 时 可得方程 2 x 30 2 200 150 解这个方程 得 x1 25 x 2 35 根据题意 x 2 35 不合题意 应舍去 当销售价定为 25 元 千克时 该农户每天可获得销售利润 150 元 点评 本题考查了二次函数的应用 难度适中 得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键 利用配方法或 公式法求解二次函数的最值问题是常用的解题方法 9 某商品每件成本 60 元 试销阶段每件商品的销售价 x 元 与商品的日销售量 y 件 之间的关系如下表 其 中日销售量 y 是销售价 x 的函数 x 元 50 60 65 70 y 件 100 80 70 60 1 请判断这种函数是一次函数 反比例函数 还是二次函数 并求出函数解析式 2 要使每日的销售利润最大 每件商品的销售价应定为多少元 此时每日销售利润是多少 3 要使这种商品每日的销售利润不低于 600 元 且每件商品的利润率不得高于 40 那么该商品的销售价 x 应 定为多少 请直接写出结果 考点 二次函数的应用 菁优网版权所有 15 分析 1 根据一次函数的性质利用待定系数法求出函数解析式即可 2 利用 W 销量 每件商品利润 进而结合二次函数最值求法得出即可 3 分别求出这种商品每日的销售利润不低于 600 元 且每件商品的利润率不得高于 40 时 商品售价 进而得出定价范围 解答 解 1 根据表格中数变化情况可得出这种函数是一次函数 设解析式为 y kx b 将 50 100 60 80 代入得出 解得 此函数解析式为 y 2x 200 2 设每日的销售利润为 W 则 W y x 60 2x 200 x 60 2x2 320 x 12000 2 x 80 2 800 故每件商品的销售价应定为 80 元 此时每日销售利润是 800 元 3 每件商品的利润率不得高于 40 每件商品的售价应不高于 60 1 40 84 元 当每日销售利润是 600 元 则 600 2 x 80 2 800 解得 x 1 70 x 2 90 当 70 x 90 时 这种商品每日的销售利润不低于 600 元 要使这种商品每日的销售利润不低于 600 元 且每件商品的利润率不得高于 40 那么该商品的销售价 x 应定为 70 x 84 点评 此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数的性质以及待定系数法求一次函数解析式等知识 利用二次 函数的性质得出 x 的取值范围是解题关键 10 某厂设计了一款成本为 20 元 件的公益用品投放市场进行试销 经过调查 得到如下数据 销售单价 x 元 件 30 40 50 60 每天销售量 y 件 500 400 300 200 1 认真分析上表中的数据 用所学过的一次函数 二次函数 反比例函数的知识确定一个满足这些数据的 y 与 x 的函数关系 并求出函数关系式 2 当销售单价定为多少时 该厂试销该公益品每天获得的利润最大 最大利润是多少 利润 销售总价 成本 总价 3 当地民政部门规定 若该厂销售此公益品单价不低于成本价且不超过 46 元 件时 该厂每销售一件此公益品 国家就补贴该厂 a 元利润 a 4 公司通过销售记录发现 日销售利润随销售单价的增大而增大 求 a 的取值范 围 考点 二次函数的应用 菁优网版权所有 分析 1 直接运用待定系数法根据统计表的数据就可以求出 y 与 x 之间的函数关系式 16 2 设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是 W 元 先表示出每件的利润为 x 20 再根据总利润 销 售总价 成本总价建立等式即可得出结论 3 设总利润为 m 元 根据条件可以得出每件工艺用品的利润为 x 20 a 元 再根据总利润 销售总价 成本总价建立函数关系式即可 解答 解 设 y 与 x 之间的函数关系式为 y kx b 根据统计表 得 解得 故函数关系式是 y 10 x 800 2 设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是 W 元 依题意得 W x 20 10 x 800 10 x2 1000 x 16000 10 x 50 2 9000 则当 x 50 时 W 有最大值 9000 故当销售单价定为 50 元 件时 工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大 最大利润是 9000 元 3 设总利润为 m 元 则每件工艺用品的利润为 x 20 a 元 由题意 得 M 10 x 800 x 20 a 10 x2 10 100 a x 16000 800a 10 x 50 a 2 100 a 2 16000 800a a 10 0 抛物线的开口向下 在对称轴的左侧 M 随 x 的增大而增大 x 50 a 时 M 有最大值 日销售利润 M 随销售单价 x 的增大而增大 且 x 46 50 a 46 a 8 a 4 4 a 8 点评 本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用 二次函数的顶点式的运用 不等式的解法和运用 解答时建立二次函数的解析式 根据二次函数的解析式求解是关键 11 2011 南昌模拟 阅读下列文字 17 2010 年广州亚运会前夕某公司生产一种时令商品每件成本为 20 元 经市场发现该商品在未来 40 天内的日销售量 为 a 件 与时间 t 天的关系如下表 时间 t 天 1 3 6 1 0 3 6 日销售量 a 件 9 4 9 0 8 4 7 6 2 4 未来 40 天内 前 20 天每天的价格 b 元 件 与时间 t 的关系为 b t 25 1 t 20 后 20 天每天价格为 c 元 件 与时间 t 的关系式为 c t 40 21 t 40 解得下列问题 1 分析表中的数据 用所学过的一次函数 二次函数 反比例函数知识确定一个满足这些数据的 a 与 t 的函数 关系式 2 请预测未来 40 天中哪一天日销售利润最大 最大日销售利润是多少 3 在实际销售的前 20 天中该公司决定销售一件就捐赠 n 元 n 4 利润给亚运会组委会 通过销售记录发现 前 20 天中 每天扣除捐赠后利润随时间 t 的增大而增大 求 n 的取值范围 考点 二次函数的应用 菁优网版权所有 专题 代数综合题 分析 1 从表格可看出每天比前一天少销售 2 件 所以判断为一次函数关系式 2 日利润 日销售量 每件利润 据此分别表示前 20 天和后 20 天的日利润 根据函数性质求最大值后 比较得结论 3 列式表示前 20 天中每天扣除捐赠后的日销售利润 根据函数性质求 n 的取值范围 解答 解 1 将 代入一次函数 a kt m 有 a 2t 96 经检验 其他点的坐标均适合以上解析式 故所求函数的解析式为 a 2t 96 2 设前 20 天日销售利润为 P1 后 20 天日销售利润为 P2 由 P1 2t 96 t 5 t2 14t 480 t 14 2 578 1 t 20 当 t 14 时 P 1 有最大值 578 元 由 P2 2t 96 t 20 t 2 88t 1920 t 44 2 16 21 t 40 且对称轴为 t 44 函数 P2 在 21 t 40 上随 t 的增大而减小 当 t 21 时 P 2 有最大值为 21 44 2 16 529 16 513 元 578 513 故第 14 天时 销售利润最大 为 578 元 3 P 3 2t 96 t 5 n t2 14 2n t 480 96n 对称轴为 t 14 2n 1 t 20 14 2n 20 得 n 3 时 P 3 随 t 的增大而增大 又 n 4 18 3 n 4 点评 本题考查二次函数的应用 注意 1 熟练掌握各函数的性质和图象特征 针对所给条件作出初步判断 后需验证其正确性 2 最值问题需由函数的性质求解时 正确表达关系式是关键 同时注意自变量的 取值范围 12 2009 年 11 月 4 日 上海市人民政府新闻办宣布上海迪斯尼项目报告已获国家有关部门核准 相应的周边城市 效应也随即带动 某周边城市计划开通至上海的磁悬浮列车 列车走完全程包含启动加速 均匀运行 制动减速 三个阶段 已知磁悬浮列车从启动加速到稳定匀速运行共需 200 秒 在这段时间内的相关数据如表所示 时间 t 秒 0 50 100 150 200 速度 V 米 秒 0 30 60 90 120 路程 s 米 0 750 3000 6750 12000 1 请你在一次函数 二次函数和反比例函数中选择合适的函数来分别表示在加速阶段 0 t 200 速度 v 与时间 t 的函数关系 路程 s 与时间 t 的函数关系 2 最新研究表明 此种列车的稳定运行速度可达 180 米 秒 为了检测稳定运行时各项指标 在列车达到这一速 度后至少要运行 100 秒 才能收集全相关数据 若在加速过程中 路程 速度随时间的变化关系任然满足 1 中 的函数关系式 并且制动减速所需路程与启动加速的路程相同 根据以上要求 至少要建多长的轨道才能满足实 验检测要求 考点 二次函数的应用 菁优网版权所有 专题 应用题 分析 1 利用描点法可描出两个函数关系的大致图象 从而可确定速度 v 与时间 t 是一次函数关系 路程 s 与 时间 t 是二次函数关系 然后利用待定系数法确定两函数解析式 再把其他对应数据代入验证 2 把 v 180 代入 v t 求出加速的时间 t 300 然后把 t 300 代入 s t2 可计算出从启动加速到稳 定匀速运行的路程 然后根据题意即可得到要建的轨道最少的长度 解答 解 1 通过描点知道速度 v 与时间 t 是一次函数关系 路程 s 与时间 t 是二次函数关系 设 v kt b s at 2 bt c 把 0 0 50 30 代入 v kt b 得 b 0 50k b 30 解得 k b 0 v t 点 100 60 150 90 200 120 都满足 v t 在加速阶段 0 t 200 速度 v 与时间 t 的函数关系为 v t 把 0 0 50 750 100 3000 代入 s at2 bt c 得 c 0 a 50 2 b 50 c 750 a 1002 b 100 c 3000 解得 a b 0 c 0 s t2 点 150 6750 200 12000 都满足 s t2 在加速阶段 0 t 200 路程 s 与时间 t 的函数关系为 s t2 2 把 v 180 代入 v t 得 t 300 秒 19 把 t 300 秒代入 s t2 27000 米 27 千米 而 180 100 18000 米 18 千米 要建的轨道最少的长度 27 2 18 72 千米 点评 本题考查了二次函数的应用 先通过待定系数法确定二次函数关系式 然后给定自变量的值求出对应的函 数值 也考查了一次函数的应用 13 2013 蕲春县模拟 今年我国多个省市遭受严重干旱 受旱灾的影响 4 月份 我市某蔬菜价格呈上升趋势 其前四周每周的平均销售价格变化如表 周数 x 1 2 3 4 价格 y 元 千克 2 2 2 2 4 2 6 1 请观察题中的表格 用所学过的一次函数 反比例函数或二次函数的有关知识直接写出 4 月份 y 与 x 的函数 关系式 2 进入 5 月 由于本地蔬菜的上市 此种蔬菜的平均销售价格 y 元 千克 从 5 月第 1 周的 2 8 元 千克下降至 第 2 周的 2 4 元 千克 且 y 与周数 x 的变化情况满足二次函数 y x2 bx c 请求出 5 月份 y 与 x 的函数关系式 3 若 4 月份此种蔬菜的进价 m 元 千克 与周数 x 所满足的函数关系为 m x 1 2 5 月份此种蔬菜的进价 m 元 千克 与周数 x 所满足的函数关系为 m x 2 试问 4 月份与 5 月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克 的利润最大 且最大利润分别是多少 考点 二次函数的应用 菁优网版权所有 专题 应用题 压轴题 图表型 分析 1 从表格看出 x 每增加 1 y 就增加 0 2 由此可确定是一次函数关系式 继而代入两点可得出解析式 2 把 x 1 y 2 8 和 x 2 y 2 4 分别代入 y x2 bx c 可求 b c 的值 确定二次函数解析式 3 根据一次函数 二次函数的性质及自变量的取值范围 求最大利润 解答 解 1 通过观察可见四月份周数 y 与 x 的符合一次函数关系式 设这个关系式为 y kx b 则 解得 4 月份 y 与 x 的函数关系式为 y 0 2x 1 8 2 将 1 2 8 2 2 4 代入 y x2 bx c 可得 解之 即 y x2 x 3 1 3 4 月份此种蔬菜利润可表示为 W 1 y m 0 2x 1 8 x 1 2 即 W 1 0 05x 0 6 20 由函数解析式可知 四月份的利润随周数的增大而减小 所以应在第一周的利润最大 最大为 W 0 05 1 0 6 0 55 元 千克 5 月份此种蔬菜利润可表示为 W 2 y m x2 x 3 1 x 2 即 W 2 x2 x 1 1 由函数解析式可知 五月份的利润随周数变化符合二次函数且对称轴为 x 即在第 1 至 4 周的利润随周数的增大而减小 所以应在第一周的利润最大 最大为 W 1 1 1 元 千克 点评 本题考查了一次函数 二次函数解析式求法及二次函数的实际应用 解答本题的关键是求出两函数关系式 将实际问题转化为数学计算 有一定难度 14 2014 宜兴市模拟 在气候对人类生存压力日趋加大的今天 发展低碳经济 全面实现低碳生活逐渐成为人 们的共识 某企业采用技术革新 节能减排 今年前 5 个月二氧化碳排放量 y 吨 与月份 x 月 之间的关系如 下表 月份 x 月 1 2 3 4 5 二氧化碳排放量 y 吨 48 46 44 42 40 1 请你从所学过的一次函数 二次函数和反比例函数中确定哪种函数关系能表示 y 和 x 的变化规律 请写出 y 与 x 的函数关系式 2 随着二氧化碳排放量的减少 每排放一吨二氧化碳 企业相应获得的利润也有所提高 且相应获得的利润 p 万元 与月份 x 月 的函数关系如图所示 那么今年哪月份 该企业获得的月利润最大 最大月利润是多少 万元 3 受国家政策的鼓励 该企业决定从今年 6 月份起 每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降 a 与 此同时 每排放一吨二氧化碳 企业相应获得的利润在上一个月的基础上都增加 50 要使今年 6 7 月份月利润 的总和