二次函数知识点总结及相关典型题目(教师用)

用专业的心 做专业的教育 自强不息 敢争第一 1 二 次 函 数 主讲 陈老师 一 定义 一般地 如果 是常数 那么 叫做 的二次函数 cbaxy 2 0 ayx 例 已知关于 x 的函数 当 a b c 满足什么条件时是 常 数a 1 是一次函数 2 是正比例函数 3 是二次函数 二 二次函数 是常数 的性质cby 2 0 a 1 当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点 0 a 当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点 越大 开口越小 2 顶点是 对称轴是直线 abc42 2 abx2 3 当 时 在对称轴左边 y 随 x 的增大而减小 在在对称轴右边 y 随 x 的增大而增大 0 a 当 时 在对称轴左边 y 随 x 的增大而增大 在在对称轴右边 y 随 x 的增大而减小 4 轴与抛物线 得交点为 0 cbax 2c 例 1 2011 四川重庆 7 4 分 已知抛物线 y ax2 bx c a 0 在平面直角坐标系中的位置如图所 示 则下列结论中正确的是 D A a 0 B b 0 C c 0 D a b c 0 练习 1 2011 山东威海 7 3 分 二次函数 23yx 的图象如图所示 当 y 0 时 自变量 x 的取值范 围是 A A 1 x 3 B x 1 C x 3 D x 1 或 x 3 2 2010 湖北孝感 12 3 分 如图 二次函数 y ax2 bx c 的图象与 y 轴正半 轴相交 其顶点坐标为 2 下列结论 y x O 山东威海题图 轴 下 方轴 的 交 点 在 抛 物 线 与 轴 上 方 轴 的 交 点 在 抛 物 线 与 xy0 用专业的心 做专业的教育 自强不息 敢争第一 2 ac 0 a b 0 4ac b 2 4a a b c 0 其中正确的个数是 C A 1 B 2 C 3 D 4 三 求抛物线的顶点 对称轴的方法 1 公式法 顶点是 对称轴是直线 cbxay 2 abc422 abx2 2 配方法 的顶点为 对称轴是直线 kh 2hkh 3 利用交点式求对称轴及顶点 对称轴为 21xay 21x 例 1 求下列各抛物线的顶点和对称轴 1 2 3 532 xy 7 2y 9 7 xy 例 2 2011 江苏淮安 14 3 分 抛物线 y x2 2x 3 的顶点坐标是 1 4 四 抛物线的平移 方法 1 计算机两条抛物线的顶点 由顶点判定平移情况 方法 2 将函数换成顶点式 用口决 x 左加右减 上加下减 例 1 抛物线 经过怎样平移得到32 xy 142 xy 答案 向右平移 3 再向下移 5 个单位得到 例 2 2011 四川乐山 5 3 分 将抛物线 2向左平移 2 个单位后 得到的抛物线的解析式是 A A 2 yx B 2yx C yx D 2yx 例 3 2011 重庆江津 18 4 分 将抛物线 y x2 2x 向上平移 3 个单位 再向右平移 4 个单位等到的 抛物线是 y x 5 2 2 或 y x 2 10 x 27 练习 1 抛物线 经过怎样平移得到32 xy 142 xy 2 抛物线 向左平移 2 个单位 再向上移 3 个单位得到 求 b 和 c xy 2 3 2011 山东滨州 7 3 分 抛物线 2yx 可以由抛物线 平移得到 则下列平移过程正 确的是 B A 先向左平移 2 个单位 再向上平移 3 个单位 用专业的心 做专业的教育 自强不息 敢争第一 3 B 先向左平移 2 个单位 再向下平移 3 个单位 C 先向右平移 2 个单位 再向下平移 3 个单位 D 先向右平移 2 个单位 再向上平移 3 个单位 五 用待定系数法求二次函数的解析式 1 一般式 已知图像上三点或三对 的值 通常选择一般式 cbxay 2 xy 2 顶点式 已知图像的顶点或对称轴 通常选择顶点式 kh 3 交点式 已知图像与 轴的交点坐标 通常选用交点式 x1x2 21xay 4 一般式与顶点式的变换 例 1 根据已知条件确定下列函数的解析式 1 已知抛物线过 05 303 2 已知抛物线的顶点在 x 轴上 且过点 1 0 2 4 3 已知抛物线的顶点坐标为 2 0 过点 1 4 例 2 将 换 成 顶 点 式和 2262 xyxy 292 7 1 32 xxyy 练习 1 将 换 成 顶 点 式和 47354 2 2011 山东济宁 12 3 分 将二次函数 25yx 化为 2 yxhk 的形式 则y 2 1x 七 与一元二次方程 的关系2cbax 0 a 0 2 acbxa4 0 0 0 02 cbxa 方程有两个不相等的实数根 x21 方程有两个相等的 实数根 x21 方程没有实 数根 抛物物与 x 轴有两个交点 0 21BA抛物物与 x 轴只有 一个交点 0 1 抛物物与 x轴没有交点cbxay 2 0 214 用专业的心 做专业的教育 自强不息 敢争第一 4 韦达定理 二者都可以用 acbx 2121 例 1 2011 台湾台北 32 如图 十四 将二次函数 228931 xy的图形画在坐标平面上 判断方程式 089322 x的两根 下列叙述何者正确 A A 两根相异 且均为正根 B 两根相异 且只有一个正根 C 两根相同 且为正根 D 两根相同 且为负根 例 2 抛物线 与 x 轴分别交于 A B 两点 与 y 轴交于点 C 则 AB 的长为 4 三角形32 xy ABC 的面积是 6 练习 1 已知二次函数 的图象经过点 1 1 求这个二次函数的解析式 并判断该函数图2 a 象与 x 轴的交点的个数 两个交点 2 xy 2 2011 湖北襄阳 12 3 分 已知函数 12 3 xky的图象与 x 轴有交点 则 k 的取值范 围是 B A 4 kB 4 kC 4 k且 D 4 k且 3 3 2011 广东东莞 15 6 分 已知抛物线 21yxc 与 x 轴有交点 1 求 c 的取值范围 2 试确定直线 y cx l 经过的象限 并说明理由 八 二次函数的应用 1 求 是常数 最大值或最小值cbaxy 2 0 a 函数有最小值为顶点的纵坐标 此时 x 等于顶点的横坐标 0 a 函数有最大值为顶点的纵坐标 此时 x 等于顶点的横坐标 2 面积问题 主要利用各种图形的面积公式 如三角形面积 底 21 高 3 利润问题 利润 销量 售价 进价 其他 4 拱桥问题 用专业的心 做专业的教育 自强不息 敢争第一 5 例 1 2011 广东肇庆 10 3 分 二次函数 52 xy有 D A 最大值 5 B 最小值 5 C 最大值 6D 最小值 6 例 2 一块矩形耕地大小尺寸如图所示 单位 m 要在这块土地上沿东 西方向挖一条水渠 沿南北方向挖两条水渠 水渠的宽为 x m 余下的可耕地面积为 y 2 1 请你写出 y 与 x 之间的解析式 2 根据你写出的函数解析式 当水渠的宽度为 1m 时 余下的 可耕地面积为多少 3 若余下的耕地面积为 4408 求此时水渠的宽度 2 例 3 某商场以每件 30 元的价格购进一种商品 试销中发现 这种商品每天的销量 m 件 与每件的销 售价 x 元 满足一次函数 m 162 3x 1 写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件的销售价 x 间的函数关系式 2 如果商场要想每天获得最大销售利润 每件商品的定价为多少最合适 最大销售利润为多少 练习 1 某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品 据市场分析 若按每千克 50 元销售 一个 月能售出 500 千克 销售单价每涨 1 元 月销售量就减少 10 千克 针对这种水产品的销售情 况 请解答下列问题 1 当销售单价定为每千克 55 元时 计算月销售量和月销售利润 2 设销售单价为每千克 X 元 月销售利润为 Y 元 求 Y 与 X 的函数关系式 不必写出 X 的取值范围 3 商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下 使得月销售利润达到 8000 元 销售单 价应定为多少 2 卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分 在大桥截面 1 11000 的比例图上 跨度 AB 5 cm 拱高 OC 0 9 cm 线段 DE 表示大桥拱内桥长 DE AB 如图 1 在比例图上 以直线 AB 为 x 轴 抛物线的对称轴为 y 轴 以 1 cm 作为数轴的单位长度 建立平面直角坐标系 如 图 2 1 求出图 2 上以这一部分抛物线为图象的函数解析式 写出函数定义域 用专业的心 做专业的教育 自强不息 敢争第一 6 25 109258 xxy 2 如果 DE 与 AB 的距离 OM 0 45 cm 求卢浦大桥拱内实际桥长 备用数据 计算结4 12 果精确到 1 米 38571 2 3 如图 6 一单杠高 2 2m 两立柱之间的距离为 1 6m 将一根绳子的两端拴于立柱与横杠结合处 绳子自然下垂呈抛物线形状 一身高 0 7m 的小孩站在离左边立柱 0 4m 处 其头部刚好触到绳 子 求绳子最低点到地面的距离 答案 0 2m 图 6 附表 几种特殊的二次函数的图像特征如下 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标2axy 轴 0 xy 0 0 k 轴 0 k 2hxy hx 0 hka kcbxy 2 当 时0 a 开口向上 当 时 开口向下 abx2 abc42 2