2018二次函数压轴题题型归纳

1 一 二次函数常考点汇总 1 两点间的距离公式 22BABAxy 2 中点坐标 线段 的中点 的坐标为 BC y 直线 与 的位置关系 1bxky 0 2bxky0 1 两直线平行 且 2 两直线相交 1 1 21k 3 两直线重合 且 4 两直线垂直2121 21 3 一元二次方程有整数根问题 解题步骤如下 用 和参数的其他要求确定参数的取值范围 解方程 求出方程的根 两种形式 分式 二次根式 分析求解 若是分式 分母是分子的因数 若是二次根式 被开方式是完全平方式 例 关于 x的一元二次方程 有两个整数根 且 为整数 求 的值 0122 mxx 5 mm 4 二次函数与 轴的交点为整数点问题 方法同上 例 若抛物线 与 轴交于两个不同的整数点 且 为正整数 试确定 312 xmxy 此抛物线的解析式 5 方程总有固定根问题 可以通过解方程的方法求出该固定根 举例如下 已知关于 的方程 为实数 求证 无论 为何值 方程总x23 1 230 x mm 有一个固定的根 解 当 时 0 m 当 时 032 x21 x321 12x 综上所述 无论 为何值 方程总有一个固定的根是 1 6 函数过固定点问题 举例如下 已知抛物线 是常数 求证 不论 为何值 该抛物线总经过一个22 mxy m 固定的点 并求出固定点的坐标 解 把原解析式变形为关于 的方程 xxy 12 解得 抛物线总经过一个固定的点 1 1 012xy 题目要求等价于 关于 的方程 不论 为何值 方程恒成立 m xmxy 2 2 小结 关于 的方程 有无数解xba 0 ba 7 路径最值问题 待定的点所在的直线就是对称轴 1 如图 直线 点 在 上 分别在 上确定两点 使得1l2A2l1l2MN 之和最小 MNA 2 如图 直线 相交 两个固定点 分别在 上确定两点 使得1l2AB1l2MN 之和最小 ANMB 3 如图 是直线 同旁的两个定点 线段 在直线 上确定两点 在BA l alEF 的左侧 使得四边形 的周长最小 FEF 8 在平面直角坐标系中求面积的方法 直接用公式 割补法 三角形的面积求解常用方法 如右图 S PAB 1 2 PM x 1 2 AN y 9 函数的交点问题 二次函数 与一次函数 cbxay 2 hkxy 1 解方程组 可求出两个图象交点的坐标 hkxyca 2 2 解方程组 即 通过 可判断两个图象的交b 2 02 hcxkba 点的个数 有两个交点 0 仅有一个交点 3 没有交点 0 10 方程法 1 设 设主动点的坐标或基本线段的长度 2 表示 用含同一未知数的式子表示其他相关的数量 3 列方程或关系式 11 几何分析法 特别是构造 平行四边形 梯形 相似三角形 直角三角形 等腰三角形 等图形时 利用几何分析法能给解题带来方便 几何要求 几何分析 涉及公式 应用图形 跟平行有关的 图形 平移 2121kl 21x y 平行四边形矩形 梯形 跟直角有关的 图形 勾股定理逆定理 利用相似 全等 平 行 对顶角 互余 互补等 22BABAy 直角三角形直角梯形 矩形 跟线段有关的 图形 利用几何中的全等 中垂线的性质等 22BABAx等腰三角形全等 等腰梯形 跟角有关的图 形 利用相似 全等 平 行 对顶角 互余 互补等 例题精讲 一 基础构图 y 以下几种分类的函数解析式就是这个 32 x 和最小 差最大 1 在对称轴上找一点 P 使得 PB PC 的和最小 求出 P 点坐标 2 在对称轴上找一点 P 使得 PB PC 的差最大 求出 P 点坐标 求面积最大 连接 AC 在第四象限找一点 P 使得 面积最大 求出 P 坐标AC 讨论直角三角 连接 AC 在对称轴上找一点 P 使得 为直角三角形 AC 求出 P 坐标或者在抛物线上求点 P 使 ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形 讨论等腰三角 连接 AC 在对称轴上找一点 P 使得 为等腰三角形 O x y AB C D O x y AB C D O x y AB C D 4 求出 P 坐标 讨论平行四边形 1 点 E 在抛物线的对称轴上 点 F 在抛物线上 且以 B A F E 四点为顶点的四边形为平行四边形 求点 F 的坐标 二 综合题型 例 1 中考变式 如图 抛物线 cbxy 2与 x 轴交与 A 1 0 B 3 0 两点 顶点为 D 交 Y 轴于 C 1 求该抛物线的解析式与 ABC 的面积 2 在抛物线第二象限图象上是否存在一点 M 使 MBC 是以 BCM 为直角的直角三角形 若存 在 求出点 P 的坐标 若没有 请说明理由 3 若 E 为抛物线 B C 两点间图象上的一个动点 不与 A B 重合 过 E 作 EF 与 X 轴垂直 交 BC 于 F 设 E 点横坐标为 x EF 的长度为 L 求 L 关于 X 的函数关系式 关写出 X 的取值范围 当 E 点运动到什么位置时 线段 EF 的值最大 并求此时 E 点的坐标 4 在 5 的情况下直线 BC 与抛物线的对称轴交于点 H 当 E 点运动到什么位置时 以点 E F H D 为顶点的四边形为平行四边形 5 在 5 的情况下点 E 运动到什么位置时 使三角形 BCE 的面积最大 O x y AB C D 5 例 2 考点 关于面积最值 如图 在平面直角坐标系中 点 A C 的坐标分别为 1 0 0 点 B 在 x 轴上 已知某3 二次函数的图象经过 A B C 三点 且它的对称轴为直线 x 1 点 P 为直线 BC 下方的二次函数 图象上的一个动点 点 P 与 B C 不重合 过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 F 1 求该二次函数的解析式 2 若设点 P 的横坐标为 m 试用含 m 的代数式表示线段 PF 的长 3 求 PBC 面积的最大值 并求此时点 P 的坐标 例 3 考点 讨论等腰 如图 已知抛物线 y x 2 bx c 与 y 轴相交于 C 与 x 轴相交于 A B 点 A 的坐标为 2 0 1 点 C 的坐标为 0 1 1 求抛物线的解析式 2 点 E 是线段 AC 上一动点 过点 E 作 DE x 轴于点 D 连结 DC 当 DCE 的面积最大时 求点 D 的坐标 3 在直线 BC 上是否存在一点 P 使 ACP 为等腰三角形 若存在 求点 P 的坐标 若不存在 说明理由 例 4 考点 讨论直角三角 如图 已知点A 一1 0 和点B 1 2 在坐标轴上 确定点P 使得 ABP为直角三角形 则满足这样条件的点P共有 A 2个 B 4个 C 6个 D 7个 D B C O A y xE B C O A 备用图 y x y xBA F P x 1 C O 6 已知 如图一次函数 y x 1 的图象与 x 轴交于点 A 与 y 轴交于点 B 二次函数 y x 2 21 2 bx c 的图象与一次函数 y x 1 的图象交于 B C 两点 与 x 轴交于 D E 两点且 D 点坐标 为 1 0 1 求二次函数的解析式 2 求四边形 BDEC 的面积 S 3 在 x 轴上是否存在点 P 使得 PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形 若存在 求出所有的 点 P 若不存在 请说明理由 例 5 考点 讨论四边形 已知 如图所示 关于 x 的抛物线 y ax 2 x c a 0 与 x 轴交于点 A 2 0 点 B 6 0 与 y 轴交于点 C 1 求出此抛物线的解析式 并写出顶点坐标 2 在抛物线上有一点 D 使四边形 ABDC 为等腰梯形 写出点 D 的坐标 并求出直线 AD 的 解析式 3 在 2 中的直线 AD 交抛物线的对称轴于点 M 抛物线上有一动点 P x 轴上有一动点 Q 是否存在以 A M P Q 为顶点的平行四边形 如果存在 请直接写出点 Q 的坐标 如果不存在 请说明理由 OA B y C x D E 2 BA y O C x 7 综合练习 1 平面直角坐标系 xOy 中 抛物线 与 x 轴交于点 A 点 B 与 y 轴的正半轴24yaxac 交于点 C 点 A 的坐标为 1 0 OB OC 抛物线的顶点为 D 1 求此抛物线的解析式 2 若此抛物线的对称轴上的点 P 满足 APB ACB 求点 P 的坐标 3 Q 为线段 BD 上一点 点 A 关于 AQB 的平分线的对称点为 若 求点 Q 的A 2 BQ 坐 标和此时 的面积 2 在平面直角坐标系 中 已知二次函数 的图像与 轴交于点 与xOy2 yaxc y 3 0 C 轴交于 A B 两点 点 B 的坐标为 x 0 3 1 求二次函数的解析式及顶点 D 的坐标 2 点 M 是第二象限内抛物线上的一动点 若直线 OM 把四边形 ACDB 分成面积为 1 2 的 两部分 求出此时点 的坐标 3 点 P 是第二象限内抛物线上的一动点 问 点 P 在何处时 的面积最大 最大面积CB 是多少 并求出此时点 P 的坐标 3 如图 在平面直角坐标系 中 抛物线 与 轴负半轴交于点 顶点为 xOyxmy2 AB 且对称轴与 轴交于点 xC 1 求点 的坐标 用含 的代数式表示 Bm 2 为 中点 直线 交 轴于 若 0 2 求抛物线的解析式 DADyE 3 在 2 的条件下 点 在直线 上 且使得 的周长最小 在抛物线上 在MOBAMC PQ 直线 上 若以 为顶点的四边形是平行四边形 求点 的坐标 BCQP 4 已知关于 的方程 x2 1 4 30mx 8 1 若方程有两个不相等的实数根 求 的取值范围 m 2 若正整数 满足 设二次函数 的图象与 轴交于m82 2 1 4 3yxm x 两点 将此图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折 图象的其余部分保持不变 得到一AB 个新的图象 请你结合这个新的图象回答 当直线 与此图象恰好有三个公共点k 时 求出 的值 只需要求出两个满足题意的 k 值即可 k 5 如图 抛物线 y ax2 2ax c a 0 与 y 轴交于点 C 0 4 与 x 轴交于点 A 4 0 和 B 1 求该抛物线的解析式 2 点 Q 是线段 AB 上的动点 过点 Q 作 QE AC 交 BC 于点 E 连接 CQ 当 CEQ 的面积最大时 求点 Q 的坐标 3 平行于 x 轴的动直线 l 与该抛物线交于点 P 与直线 AC 交于点 F 点 D 的坐标为 2 0 问是否有直线 l 使 ODF 是等腰三角形 若存在 请求出点 F 的坐标 若不存在 请说 明理由 三 中考二次函数代数型综合题 题型一 抛物线与 x 轴的两个交点分别位于某定点的两侧 例 1 已知二次函数 y x 2 m 1 x m 2 的图象与 x 轴相交于 A x1 0 B x2 0 两点 且 x1 x2 1 若 x1x2 0 且 m 为正整数 求该二次函数的表达式 2 若 x1 1 x2 1 求 m 的取值范围 3 是否存在实数 m 使得过 A B 两点的圆与 y 轴相切于点 C 0 2 若存在 求出 m 的值 若 不存在 请说明理由 4 若过点 D 0 的直线与 1 中的二次函数图象相交于 M N 两点 且 求该直线 12 MDDN 13 的表达式 题型二 抛物线与 x 轴两交点之间的距离问题 例 2 已知二次函数 y x 2 mx m 5 9 1 求证 不论 m 取何值时 抛物线总与 x 轴有两个交点 2 求当 m 取何值时 抛物线与 x 轴两交点之间的距离最短 题型三 抛物线方程的整数解问题 例 1 已知抛物线 与 x 轴的两个交点的横坐标均为整数 且 m 5 则22 1 0yxxm 整数 m 的值为 例 2 已知二次函数 y x 2 2mx 4m 8 1 当 x 2 时 函数值 y 随 x 的增大而减小 求 m 的取值范围 2 以抛物线 y x 2 2mx 4m 8 的顶点 A 为一个顶点作该抛物线的内接正 M N 两点A 在拋物线上 请问 AMN 的面积是与 m 无关的定值吗 若是 请求出这个定值 若不是 请说 明理由 3 若抛物线 y x 2 2mx 4m 8 与 x 轴交点的横坐标均为整数 求整数 m 的值 题型四 抛物线与对称 包括 点与点关于原点对称 抛物线的对称性 数形结合 例 1 已知抛物线 其中 b 0 c 0 与 y 轴的交点为 A 点 A 关于抛物线对称轴的2yxbc 对称点为 B m n 且 AB 2 1 求 m b 的值 2 如果抛物线的顶点位于 x 轴的下方 且 BO 求抛物线所对应的函数关系式 友情提醒 20 请画图思考 题型五 抛物线中韦达定理的广泛应用 线段长 定点两侧 点点关于原点对称 等等 例 1 已知 二次函数 的图象与 x 轴交于不同的两点 A 0 B 0 2y4xm 1x2x 其顶点是点 C 对称轴与 x 轴的交于点 D x2 1 求实数 m 的取值范围 2 如果 1 1 8 求二次函数的解析式 12 3 把 2 中所得的二次函数的图象沿 y 轴上下平移 如果平移后的函数图象与 x 轴交于点 1A 顶点为点 C1 且 是等边三角形 求平移后所得图象的函数解析式 1B1ABC 综合提升 1 已知二次函数的图象与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于点 C 0 4 且 AB 2 图象3 的对称轴为 x 1 1 求二次函数的表达式 2 若二次函数的图象都在直线 y x m 的下方 求 m 的取值范围 A O x y 10 2 已知二次函数 y x 2 mx m 2 1 若该二次函数图象与 x 轴的两个交点 A B 分别在原点的两侧 并且 AB 求 m 的值 5 2 设该二次函数图象与 y 轴的交点为 C 二次函数图象上存在关于原点对称的两点 M N 且 S MNC 27 求 m 的值 3 已知关于 x 的一元二次方程 x 2 2 k 1 x k 2 0 有两个整数根 k 5 且 k 为整数 1 求 k 的值 2 当此方程有两个非零的整数根时 将关于 x 的二次函数 y x 2 2 k 1 x k 2的图象沿 x 轴向左平移 4 个单位 求平移后的二次函数图象的解析式 3 根据直线 y x b 与 2 中的两个函数图象交点的总个数 求 b 的取值范围 4 已知二次函数的图象经过点 A 1 0 和点 B 2 1 且与 y 轴交点的纵坐标为 m 1 若 m 为定值 求此二次函数的解析式 2 若二次函数的图象与 x 轴还有异于点 A 的另一个交点 求 m 的取值范围 3 若二次函数的图象截直线 y x 1 所得线段的长为 2 求 m 的值 2 四 中考二次函数定值问题 1 2012 江西南昌 8 分 如图 已知二次函数 L1 y x 2 4x 3 与 x 轴交于 A B 两点 点 A 在点 B 左边 与 y 轴交于点 C 1 写出二次函数 L1的开口方向 对称轴和顶点坐标 2 研究二次函数 L2 y kx 2 4kx 3k k 0 写出二次函数 L2与二次函数 L1有关图象的两条相同的性质 若直线 y 8k 与抛物线 L2交于 E F 两点 问线段 EF 的长度是否发生变化 如果不会 请求出 EF 的长度 如果会 请说明理由 11 2 2012 山东潍坊 11 分 如图 已知抛物线与坐标轴分别交于 A 2 O B 2 0 C 0 l 三点 过坐标原点 O 的直线 y kx 与抛物线交于 M N 两点 分别过点 C D 0 2 作平行于 x 轴 的直线 1l 2 1 求抛物线对应二次函数的解析式 2 求证以 ON 为直径的圆与直线 1l相切 3 求线段 MN 的长 用 k 表示 并证明 M N 两点到直线 2l的距离之和等于线段 MN 的长 3 2012 浙江义乌 12 分 如图 1 已知直线 y kx 与抛物线 24y x 73 交于点 A 3 6 1 求直线 y kx 的解析式和线段 OA 的长度 2 点 P 为抛物线第一象限内的动点 过点 P 作直线 PM 交 x 轴于点 M 点 M O 不重合 交直 线 OA 于点 Q 再过点 Q 作直线 PM 的垂线 交 y 轴于点 N 试探究 线段 QM 与线段 QN 的长度之比 是否为定值 如果是 求出这个定值 如果不是 说明理由 3 如图 2 若点 B 为抛物线上对称轴右侧的点 点 E 在线段 OA 上 与点 O A 不重合 点 D m 0 是 x 轴正半轴上的动点 且满足 BAE BED AOD 继续探究 m 在什么范围时 符合 条件的 E 点的个数分别是 1 个 2 个 4 2011 株洲 孔明是一个喜欢探究钻研的同学 他在和同学们一起研究某条抛物线 y ax2 a 0 的性质时 将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点 O 两直角边与该抛物线交于 A B 两点 请解答以下问题 1 若测得 OA OB 2 如图 1 求 a 的值 2 2 对同一条抛物线 孔明将三角板绕点 O 旋转到如图 2 所示位置时 过 B 作 BF x 轴于点 F 测得 OF 1 写出此时点 B 的坐标 并求点 A 的横坐标 3 对该抛物线 孔明将三角板绕点 O 旋转任意角度时惊奇地发现 交点 A B 的连线段总 经过一个 固定的点 试说明理由并求出该点的坐标 FE y xB A O