二次函数知识点梳理

二次函数的基础 一 考点 热点回顾 二次函数知识点 一 二次函数概念 1 二次函数的概念 一般地 形如 是常数 的函数 叫做二次函数 2yaxbc a 0a 这里需要强调 和一元二次方程类似 二次项系数 而 可以为零 二次函数的定bc 义域是全体实数 2 二次函数 的结构特征 2yaxbc 等号左边是函数 右边是关于自变量 的二次式 的最高次数是 2 xx 是常数 是二次项系数 是一次项系数 是常数项 c bc 二 二次函数的基本形式 1 二次函数基本形式 的性质 2yax a 的绝对值越大 抛物线的开口越小 2 的性质 上加下减 2yaxc 3 的性质 左加右减 2yaxh 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0 向上 0 轴y 时 随 的增大而增大 时 随0 x yx0 x y 的增大而减小 时 有最小值 y 向下 轴 时 随 的增大而减小 时 随 的增大而增大 时 有最大值 xx 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a 向上 0c 轴y 时 随 的增大而增大 时 随0 x yx0 x y 的增大而减小 时 有最小值 yc 向下 轴 时 随 的增大而减小 时 随 的增大而增大 时 有最大值 xx 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0 向上 0h X h 时 随 的增大而增大 时 随xh yxxh y 的增大而减小 时 有最小值 y0a 向下 X h 时 随 的增大而减小 时 随 的增大而增大 时 有最大值 xx 4 的性质 2yaxhk 三 二次函数图象的平移 在原有函数的基础上 值正右移 负左移 值正上移 负下移 hk 概括成八个字 左加右减 上加下减 方法二 沿 轴平移 向上 下 平移 个单位 变成cbxay 2ymcbxay 2 或 mcbxa 2 沿轴平移 向左 右 平移 个单位 变成cxy2 cxy2 或 ba mbxy 2 四 二次函数 与 的比较 2yxhk 2abc 从解析式上看 与 是两种不同的表达形式 后者通过配方可以yx 得到前者 即 其中 224bacyax 242bacbhk 五 二次函数 图象的画法2 五点绘图法 利用配方法将二次函数 化为顶点式 确定其开口2yaxbc 2 yaxhk 方向 对称轴及顶点坐标 然后在对称轴两侧 左右对称地描点画图 一般我们选取的五点为 顶点 与 轴的交点 以及 关于对称轴对称的点 与 轴的交点 y 0c 0c 2h 10 若与 轴没有交点 则取两组关于对称轴对称的点 2x x 画草图时应抓住以下几点 开口方向 对称轴 顶点 与 轴的交点 与 轴的交点 xy 六 二次函数 的性质2yaxbc 1 当 时 抛物线开口向上 对称轴为 顶点坐标为 0 2bxa 24bac 当 时 随 的增大而减小 当 时 随 的增大而增大 当 时 2bxa yx yx2bxa 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0 向上 hk X h 时 随 的增大而增大 时 随xh yxxh y 的增大而减小 时 有最小值 yka 向下 X h 时 随 的增大而减小 时 随 的增大而增大 时 有最大值 xx 有最小值 y 24acb 2 当 时 抛物线开口向下 对称轴为 顶点坐标为 当0 2bxa 24bac 时 随 的增大而增大 当 时 随 的增大而减小 当 时 有最大2bxa yx yx2x y 值 4c 七 二次函数解析式的表示方法 1 一般式 为常数 2yaxbc ac0a 2 顶点式 为常数 hk hk 3 两根式 是抛物线与 轴两交点的横坐标 12x0 1x2x 注意 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式 但并非所有的二次函数都可以写成交点式 只 有抛物线与 轴有交点 即 时 抛物线的解析式才可以用交点式表示 二次函数解析x4bac 式的这三种形式可以互化 八 二次函数的图象与各项系数之间的关系 1 二次项系数 a 二次函数 中 作为二次项系数 显然 2yxbc a0a 当 时 抛物线开口向上 的值越大 开口越小 反之 的值越小 开口越大 0 当 时 抛物线开口向下 的值越小 开口越小 反之 的值越大 开口越大 a 总结起来 决定了抛物线开口的大小和方向 的正负决定开口方向 的大小决定开口的大aa 小 2 一次项系数 b 在二次项系数 确定的前提下 决定了抛物线的对称轴 ab 在 的前提下 0 当 时 即抛物线的对称轴在 轴左侧 2 y 当 时 即抛物线的对称轴就是 轴 b a 当 时 即抛物线对称轴在 轴的右侧 0 02 y 在 的前提下 结论刚好与上述相反 即 当 时 即抛物线的对称轴在 轴右侧 ba 当 时 即抛物线的对称轴就是 轴 0 02 y 当 时 即抛物线对称轴在 轴的左侧 b a 总结起来 在 确定的前提下 决定了抛物线对称轴的位置 b 的符号的判定 对称轴 在 轴左边则 在 轴的右侧则 概括的ax2 y0 aby0 ab 说就是 左同右异 总结 3 常数项 c 当 时 抛物线与 轴的交点在 轴上方 即抛物线与 轴交点的纵坐标为正 0 yxy 当 时 抛物线与 轴的交点为坐标原点 即抛物线与 轴交点的纵坐标为 0 当 时 抛物线与 轴的交点在 轴下方 即抛物线与 轴交点的纵坐标为负 总结起来 决定了抛物线与 轴交点的位置 c 总之 只要 都确定 那么这条抛物线就是唯一确定的 ab 二次函数解析式的确定 根据已知条件确定二次函数解析式 通常利用待定系数法 用待定系数法求二次函数的解析式必须 根据题目的特点 选择适当的形式 才能使解题简便 一般来说 有如下几种情况 1 已知抛物线上三点的坐标 一般选用一般式 2 已知抛物线顶点或对称轴或最大 小 值 一般选用顶点式 3 已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标 一般选用两根式 x 4 已知抛物线上纵坐标相同的两点 常选用顶点式 九 二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况 可以用一般式或顶点式表达 1 关于 轴对称x 关于 轴对称后 得到的解析式是 2yabc x2yaxbc 关于 轴对称后 得到的解析式是 xhk hk 2 关于 轴对称y 关于 轴对称后 得到的解析式是 2abc y2yaxbc 关于 轴对称后 得到的解析式是 yxhk hk 3 关于原点对称 关于原点对称后 得到的解析式是 2abc 2yaxbc 关于原点对称后 得到的解析式是 yxhk hk 4 关于顶点对称 即 抛物线绕顶点旋转 180 关于顶点对称后 得到的解析式是 2abc 22byaxca 关于顶点对称后 得到的解析式是 yxhk 2hk 5 关于点 对称 mn 关于点 对称后 得到的解析式是 2yaxhk n 2yaxhmnk 根据对称的性质 显然无论作何种对称变换 抛物线的形状一定不会发生变化 因此 永远不a 变 求抛物线的对称抛物线的表达式时 可以依据题意或方便运算的原则 选择合适的形式 习惯上是先 确定原抛物线 或表达式已知的抛物线 的顶点坐标及开口方向 再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口 方向 然后再写出其对称抛物线的表达式 十 二次函数与一元二次方程 1 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数与 轴交点情况 x 一元二次方程 是二次函数 当函数值 时的特殊情况 20axbc 2yabc 0y 图象与 轴的交点个数 当 时 图象与 轴交于两点 其中的 是24 x 120AxB 12 x 12x 一元二次方程 的两根 这两点间的距离 20axbca 214bacA 当 时 图象与 轴只有一个交点 0 当 时 图象与 轴没有交点 当 时 图象落在 轴的上方 无论 为任何实数 都有 1 a xx0y 当 时 图象落在 轴的下方 无论 为任何实数 都有 2 2 抛物线 的图象与 轴一定相交 交点坐标为 yxbc y c 3 二次函数常用解题方法总结 求二次函数的图象与 轴的交点坐标 需转化为一元二次方程 求二次函数的最大 小 值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式 根据图象的位置判断二次函数 中 的符号 或由二次函数中 2yaxbc acab 的符号判断图象的位置 要数形结合 c 二次函数的图象关于对称轴对称 可利用这一性质 求和已知一点对称的点坐标 或已知与 轴的x 一个交点坐标 可由对称性求出另一个交点坐标 与二次函数有关的还有二次三项式 二次三项式 本身就是所含字母 的二次函2 0 axbc 数 下面以 时为例 揭示二次函数 二次三项式和一元二次方程之间的内在联系 0a 十一 函数的应用 二次函数应用 何 抛物线与 轴有两x个交点 二次三项式的值可正 可零 可负 一元二次方程有两个不相等实根 抛物线与 轴只有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根0 抛物线与 轴无交x点 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根