对数指数函数公式全集

1 指数函数和对数函数 重点 难点 重点 指数函数和对数函数的概念 图象和性质 难点 指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用 以及逻辑划分思想讨论函数 在 及 两种不同情况 yaxxa log 10 a 1 指数函数 定义 函数 叫指数函数 yx 且 定义域为 R 底数是常数 指数是自变量 为什么要求函数 中的 a 必须 x a 01且 因为若 时 当 时 函数值不存在 a 0 y 4 当 函数值不存在 x 时 对一切 x 虽有意义 函数值恒为 1 但a1y 的反函数不存在 因为要求函数 中的yx yax 0且 1 对三个指数函数 的图象的yyx xx 210 认识 图象特征与函数性质 图象特征 函数性质 1 图象都位于 x 轴上方 1 x 取任何实数值时 都有 ax 0 2 图象都经过点 0 1 2 无论 a 取任何正数 时 y 3 在第一象限内的纵坐yxx 10 标都大于 1 在第二象限内的纵坐标都小于 1 的图象正好相反 x 2 3 当 时 xax 10 则 则 当 时 01axx 1 则 则 4 的图象自左到右逐渐yxx 10 4 当 时 是增函数 yx 2 上升 的图象逐渐下降 y x 12当 时 是减函数 01 ayax 对图象的进一步认识 通过三个函数相互关系的比较 所有指数函数的图象交叉相交于点 0 1 如 和 相交于 当 时 yx 2x10 1 x 0 的图象在 的图象的上方 当 刚好相反 故有 及 yx yx 2x 02 2 与 的图象关于 y 轴对称 x 1 通过 三个函数图象 可以画出任意一个函数 的yx 2x0 x 12 yax 01且 示意图 如 的图象 一定位于 和 两个图象的中间 且过点 从而 也由x3yxx0 1 y x 3 关于 y 轴的对称性 可得 的示意图 即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象 x 13 2 对数 定义 如果 那么数 b 就叫做以 a 为底的对数 记作 a 是底数 N aNab 01且 b log 是真数 是对数式 log 由于 故 中 N 必须大于 0 bloga 当 N 为零的负数时对数不存在 1 对数式与指数式的互化 由于对数是新学的 常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题 如 求 log 03254 分析 对于初学者来说 对上述问题一般是束手无策 若将它写成 再改写为指数式log 03254 x 就比较好办 解 设 log 03254 x 3 则即 即 03254812541203 log xx 评述 由对数式化为指数式可以解决问题 反之由指数式化为对数式也能解决问题 因此必须因题而异 如求 中的 化为对数式 即成 x x log35 2 对数恒等式 由 aNbNba l 12 将 2 代入 1 得 og 运用对数恒等式时要注意此式的特点 不能乱用 特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同 计算 31 2 log 解 原式 221313llog 3 对数的性质 负数和零没有对数 1 的对数是零 底数的对数等于 1 4 对数的运算法则 logllogaaaMNNMR llana ogogNR 1 3 对数函数 定义 指数函数 的反函数yax 01且 叫做对数函数 yxa log 0 1 对三个对数函数 xyx logl212 的图象的认识 yxl 图象特征与函数性质 图象特征 函数性质 4 1 图象都位于 y 轴右侧 1 定义域 R 值或 R 2 图象都过点 1 0 2 时 即 x y0loga10 3 当 时 图x log2lx 象在 x 轴上方 当 时 图象在 x 轴0 下方 与上述情况刚好相反 yl12 3 当 时 若 则 若a xy 则 01 y 当 时 若 则 若x0y 时 则 xy 4 从左向右图象是yxy logl2 上升 而 从左向右图象是下降 1 4 时 是增函数 a1xa log 时 是减函数 0 y 对图象的进一步的认识 通过三个函数图象的相互关系的比较 1 所有对数函数的图象都过点 1 0 但是 与 在点 1 0 曲线是交叉的 即当x log2l 时 的图象在 的图象上方 而 时 的图象在 的图象的x 0yx log2yx lg01 yx og2yx lg 下方 故有 l 15 o 201 2 的图象与 的图象关于 x 轴对称 yxl2yxl 3 通过 三个函数图象 可以作出任意一个对数函数的示意图 如 g lg12 作 的图象 它一定位于 和 两个图象的中间 且过点 1 0 时 在yxlo3yxloyl x 0 的上方 而位于 的下方 时 刚好相反 则对称性 可知 的示意图 gl20 y log13 因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象 4 对数换底公式 logll banegNLN 其 中 称 为 的 自 然 对 数称 为 常 数 对 数271810 由换底公式可得 Nen llg lg4320 由换底公式推出一些常用的结论 1 logllolabab11或 5 2 loglogamanb 3 n 4 lamn 5 指数方程与对数方程 定义 在指数里含有未知数的方程称指数方程 在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程 由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算 故指数方程对数方程不是代数方程而属于超越方程 指数方程的题型与解法 名称 题型 解法 基本型 同底数型 不同底数型 需代换型 abfx f fxxFax 0取以 a 为底的对数 fxba log 取以 a 为底的对数 取同底的对数化为 fxx ll 换元令 转化为 的代数方程t t 对数方程的题型与解法 名称 题型 解法 基本题 logafxb对数式转化为指数式 fxab 同底数型 la 转化为 必须验根 fx 需代换型 Fax log 0换元令 转化为代数方程ta log