2016年全国普通高等学校招生统一文科数学(新课标3卷精编版)

试卷第 1 页 总 6 页 外 装 订 线 学校 姓名 班级 考号 内 装 订 线 绝密 启用前 2016 2017 学年度 学校 12 月月考卷 试卷副标题 考试范围 xxx 考试时间 100 分钟 命题人 xxx 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项 1 答题前填写好自己的姓名 班级 考号等信息 2 请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷 选择题 请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一 选择题 1 设集合 则 0 2468 1 4 8AB AB A B C D 48 0261 024681 2 若 则 3iz z A 1 B C D 1 43i5 43i5 3 已知向量 则 ABC 2 1 2B A 30 B 45 C 60 D 120 4 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况 绘制了一年中各月平均最高气温和平均 最低气温的雷达图 图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15 B 点表示四月的平均 最低气温约为 5 下面叙述不正确的是 A 各月的平均最低气温都在 0 以上 B 七月的平均温差比一月的平均温差大 C 三月和十一月的平均最高气温基本相同 试卷第 2 页 总 6 页 外 装 订 线 请 不 要 在 装 订 线 内 答 题 内 装 订 线 D 平均气温高于 20 的月份有 5 个 5 小敏打开计算机时 忘记了开机密码的前两位 只记得第一位是 中的一 MIN 个字母 第二位是 1 2 3 4 5 中的一个数字 则小敏输入一次密码能够成功开机的概 率是 A B C D 8151815130 6 若 则tan3 cos2 A B C D 45 15154 7 已知 则 42133 abc A B C D a bca cab 8 执行下面的程序框图 如果输入的 a 4 b 6 那么输出的 n A 3 B 4 C 5 D 6 9 在 中 BC 边上的高等于 则 13BCsinA A B C D 10105310 10 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 粗实线画出的是某多面体的三视图 则该 多面体的表面积为 试卷第 3 页 总 6 页 外 装 订 线 学校 姓名 班级 考号 内 装 订 线 A B C 90 D 8118365 4185 11 在封闭的直三棱柱 内有一个体积为 V 的球 若 AC ABC 则 V 的最大值是B 13 A 4 B C 6 D 9 2 32 12 已知 O 为坐标原点 F 是椭圆 C 的左焦点 A B 分别为 21 0 xyab C 的左 右顶点 P 为 C 上一点 且 轴 过点 A 的直线 l 与线段 交于点 M PF PF 与 y 轴交于点 E 若直线 BM 经过 OE 的中点 则 C 的离心率为 A B C D 13234 试卷第 4 页 总 6 页 外 装 订 线 请 不 要 在 装 订 线 内 答 题 内 装 订 线 第 II 卷 非选择题 请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二 填空题 13 若 满足约束条件 则 的最小值为 xy 210 xy 235zxy 14 函数 的图像可由函数 的图像至少向右平移sin3cosx sin 个单位长度得到 15 已知直线 与圆 交于 两点 过 分别作l60y 21y AB 的垂线与 轴交于 两点 则 lx CD 16 已知 为偶函数 当 时 则曲线 在点 fx 1 exf yfx 处的切线方程是 1 2 评卷人 得分 三 解答题 17 已知各项都为正数的数列 满足 na1 211 20nnaa 求 23 a 求 的通项公式 n 18 下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量 单位 亿吨 的折线图 由折线图看出 可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系 请用相关系数加以说明 建立 y 关于 t 的回归方程 系数精确到 0 01 预测 2016 年我国生活垃圾无害 化处理量 附注 试卷第 5 页 总 6 页 外 装 订 线 学校 姓名 班级 考号 内 装 订 线 参考数据 2 646 719 32iy 7140 ity 721 0 5iiy 7 参考公式 相关系数 1221 y niiniiitr 回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 yabt 12 niiitb yt 19 如图 四棱锥 D 中 平面 PABC ABCD 为线段 上一点 为3ABD4 M2AMD N 的中点 PC 证明 平面 MN PAB 求四面体 的体积 C 20 已知抛物线 的焦点为 平行于 轴的两条直线 分别交 于2yx Fx12 lC 两点 交 的准线于 两点 AB Q 若 在线段 上 是 的中点 证明 FARPARFQ 若 的面积是 的面积的两倍 求 中点的轨迹方程 P BF B 21 设函数 ln1fx 讨论 的单调性 证明当 时 1 x lnx 设 证明当 时 c 0 1 xc 22 选修 4 1 几何证明选讲 试卷第 6 页 总 6 页 外 装 订 线 请 不 要 在 装 订 线 内 答 题 内 装 订 线 如图 O 中 的中点为 弦 分别交 于 两点 PCD ABEF 若 求 的大小 2PFBCD P 若 的垂直平分线与 的垂直平分线交于点 证明 EGOCD 23 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系 中 曲线 的参数方程为 以坐标原点为极xOy13cos inxy 为 参 数 点 以 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系 曲线 的极坐标方程为2C sin 24 写出 的普通方程和 的直角坐标方程 1C2C 设点 P 在 上 点 Q 在 上 求 PQ 的最小值及此时 P 的直角坐标 24 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 2 fxa 当 a 2 时 求不等式 的解集 6fx 设函数 当 时 求 的取值范围 21 gx R 3fxg a 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 1 页 总 11 页 参考答案 1 C 解析 试题分析 由补集的概念 得 故选 C 0 261 AB 考点 集合的补集运算 名师点睛 研究集合的关系 处理集合的交 并 补的运算问题 常用韦恩图 数轴等 几何工具辅助解题 一般地 对离散的数集 抽象的集合间的关系及运算 可借助韦恩图 而对连续的集合间的运算及关系 可借助数轴的直观性 进行合理转化 2 D 解析 试题分析 故选 D 243ii 5z 考点 复数的运算 共轭复数 复数的模 名师点睛 复数的加 减法运算中 可以从形式上理解为关于虚数单位 的多项式i 合并同类项 复数的乘法与多项式的乘法相类似 只是在结果中把 换成 1 复数除法可2i 类比实数运算的分母有理化 复数加 减法的几何意义可依平面向量的加 减法的几何意 义进行理解 3 A 解析 试题分析 由题意 得 所以 131322cos BAC 故选 A 30ABC 考点 向量的夹角公式 思维拓展 1 平面向量 与 的数量积为 其中 是 与 的夹角 ab cos abab 要注意夹角的定义和它的取值范围 2 由向量的数量积的性质知018 因此 利用平面向量的数量积可以解决 a cos ab ab 与长度 角度 垂直等有关的问题 4 D 解析 试题分析 由图可知各月的平均最低气温都在 0 以上 A 正确 由图可知在七月的平均温 差大于 而一月的平均温差小于 所以七月的平均温差比一月的平均温差大 7 5C 7 5C B 正确 由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在 基本相同 C 正确 由图10 可知平均最高气温高于 20 的月份有 3 个 所以不正确 故选 D 考点 统计图 易错警示 解答本题时易错可能有两种 1 对图形中的线条认识不明确 不知所措 只觉得是两把雨伞重叠在一起 找不到解决问题的方法 2 估计平均温差时易出现错误 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 2 页 总 11 页 错选 B 5 C 解析 试题分析 开机密码的可能有 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5MMIII 共 15 种可能 所以小敏输入一次密码能够成功开机NN 的概率是 故选 C 15 考点 古典概型 解题反思 对古典概型必须明确两点 对于每个随机试验来说 试验中所有可能出现 的基本事件只有有限个 每个基本事件出现的可能性相等 只有在同时满足 的条 件下 运用的古典概型计算公式 其中 n 是基本事件的总数 m 是事件 A 包含 PA 的基本事件的个数 得出的结果才是正确的 6 D 解析 试题分析 22221 cosin1ta435 考点 同角三角函数的基本关系 二倍角公式 方法点拨 三角函数求值 给角求值 将非特殊角向特殊角转化 通过相消或相约 消去非特殊角 进而求出三角函数值 给值求值 关键是目标明确 建立已知和所求 之间的联系 7 A 解析 试题分析 因为 又函数 在 上是增函数 所以 423a 1235c 23yx 0 即 故选 A 223345 b 考点 幂函数的单调性 技巧点拨 比较指数的大小常常根据三个数的结构 联系相关的指数函数与对数函数 幂函数的单调性来判断 如果两个数指数相同 底数不同 则考虑幂函数的单调性 如果 指数不同 底数相同 则考虑指数函数的单调性 如果涉及到对数 则联系对数的单调性 来解决 8 B 解析 试题分析 第一次循环 得 第二次循环 得2 46 1absn 第三次循环 得 第2 64 10abs n2 46 1 3absn 四次循环 得 退出循环 输出 故选 B 0 s 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 3 页 总 11 页 考点 循环结构的程序框图 注意提示 解决此类型时要注意 第一 要明确是当型循环结构 还是直到型循环结 构 根据各自的特点执行循环体 第二 要明确图中的累计变量 明确每一次执行循环体 前和执行循环体后 变量的值发生的变化 第三 要明确循环体终止的条件是什么 会判 断什么时候终止循环体 9 D 解析 试题分析 设 边上的高线为 则 所以BCAD3 2BCAD 由正弦定理 知 即 解25A siniB53sin2A 得 故选 D 310sin 考点 正弦定理 方法点拨 在平面几何图形中求相关的几何量时 需寻找各个三角形之间的联系 交叉 使用公共条件 常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形 然后选用正 弦定理与余弦定理求解 10 B 解析 试题分析 由三视图可知该几何体是斜四棱柱 所以该几何体的表面积 故选 B 236235418S 考点 空间几何体的三视图及表面积 技巧点拨 对于求解多面体的表面积及体积的题 关键是找到其中的特征图形 如棱柱 中的矩形 棱锥中的直角三角形 棱台中的直角梯形等 通过这些图形 找到几何元素间 的关系 建立未知量与已知量间的关系 进行求解 11 B 解析 试题分析 要使球的体积 最大 必须球的半径 最大 因为 ABC 的内切圆的半径为VR 2 且 AA1 3 所以由题意易知球与直三棱柱的上下底面都相切时 球的半径取得最大值 32 此时球的体积为 故选 B 3349 2R 考点 三棱柱的内切球 球的体积 思维拓展 立体几何的最值问题通常有三种思考方向 1 根据几何体的结构特征 变 动态为静态 直观判断在什么情况下取得最值 2 将几何体平面化 如利用展开图 在 平面几何图中直观求解 3 建立函数 通过求函数的最值来求解 12 A 解析 试题分析 由题意设直线 的方程为 分别令 与 得l ykxa xc 0 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 4 页 总 11 页 设 OE 的中点为 H 由 得 FMkac OEka OBHFM 即 整理得 所以椭圆离心率为 故 1 2EB 2 kc 13ca 13e 选 A 考点 椭圆的几何性质 三角形相似 思路点拨 求解椭圆的离心率问题主要有三种方法 1 直接求得 的值 进而求得 ac 的值 2 建立 的齐次等式 求得 或转化为关于 的等式求解 3 通过特e abcbae 殊值或特殊位置 求出 e 13 0 解析 试题分析 作出不等式组满足的平面区域 如图所示 由图知当目标函数 经过点 时取得最小值 即 235zxy 1 A min2 1 3 510z 考点 简单的线性规划问题 技巧点拨 利用图解法解决线性规划问题的一般步骤 1 作出可行域 将约束条件中 的每一个不等式当作等式 作出相应的直线 并确定原不等式的区域 然后求出所有区域 的交集 2 作出目标函数的等值线 等值线是指目标函数过原点的直线 3 求出最 终结果 14 3 解析 试题分析 因为 所以函数 的的图sin3cos2in 3yxx sin3cosyx 像可由函数 的图像至少向右平移 个单位长度得到 2 考点 三角函数图像的平移变换 两角差的正弦公式 误区警示 在进行三角函数图像变换时 提倡 先平移 后伸缩 但 先伸缩 后平移 也经常出现在题目中 所以也必须熟练掌握 无论是哪种变形 切记每一个变换总是对字 母 而言 即图像变换要看 变量 变化多少 而不是 角 变化多少 x 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 5 页 总 11 页 15 4 解析 试题分析 由 得 代入圆的方程 整理得360 xy 36xy 解得 所以 所以23y12 120 3x 又直线 的倾斜角为 由平面几何知识知在梯212 ABxy l 形 中 DC 4cos30AB 考点 直线与圆的位置关系 技巧点拨 解决直线与圆的综合问题时 一方面 要注意运用解析几何的基本思想方法 即几何问题代数化 把它转化为代数问题 另一方面 由于直线与圆和平面几何联系的 非常紧密 因此 准确地作出图形 并充分挖掘几何图形中所隐含的条件 利用几何知识 使问题较为简捷地得到解决 16 2yx 解析 试题分析 当 时 则 又因为 为偶函数 所以0 x 1 exf fx 所以 则 所以切线方程为1 exfx 2f 即 2 y 2y 考点 函数的奇偶性 解析式及导数的几何意义 知识拓展 本题题型可归纳为 已知当 时 函数 则当 时 求函0 x yfx 0 数的解析式 有如下结论 若函数 为偶函数 则当 时 函数的解析式为 f 0 若 为奇函数 则函数的解析式为 yfx f yfx 17 41 23 a12 na 解析 试题分析 将 代入递推公式求得 将 的值代入递推公式可求得 1 2a3a 将已知的递推公式进行因式分解 然后由定义可判断数列 为等比数列 由此可 n 求得数列 的通项公式 na 试题解析 由题意 得 41 23 a 由 得 0 12 1 nn 1 1 nna 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 6 页 总 11 页 因为 的各项都为正数 所以 na21 na 故 是首项为 公比为 的等比数列 因此 n11 na 考点 数列的递推公式 等比数列的通项公式 方法总结 等比数列的证明通常有两种方法 1 定义法 即证明 常数 1naq 2 中项法 即证明 根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形 212nna 转化为等比数列或等差数列来求解 18 说明 与 的线性相关程度相当高 从而可以用线性回归模型拟合0 9r yt 与 的关系 1 82 亿吨yt 解析 试题分析 根据相关系数 公式求出相关数据后 然后代入公式即可求得 的值 r r 最后根据其值大小回答即可 利用最小二乘法的原理提供的回归方程 准确求得相 关数据即可建立 y 关于 t 的回归方程 然后作预测 试题解析 由折线图中数据和附注中参考数据得 4 t28 71 it 5 0 712 iiy 89 23 4 717171 iiii tyyt 9064 25 08 r 因为 与 的相关系数近似为 0 99 说明 与 的线性相关程度相当高 从而可以用线性yt yt 回归模型拟合 与 的关系 t 由 及 得 31 72 9 y 103 289 712 iiityb 9204 tba 所以 关于 的回归方程为 y ty 将 2016 年对应的 代入回归方程得 9t 82190 所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1 82 亿吨 考点 线性相关与线性回归方程的求法与应用 方法点拨 判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法 1 利用散点图直 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 7 页 总 11 页 观判断 2 将相关数据代入相关系数 公式求出 然后根据 的大小进行判断 求线rrr 性回归方程时再严格按照公式求解 一定要注意计算的准确性 19 见解析 453 解析 试题分析 取 的中点 然后结合条件中的数据证明四边形 为平行四边PBTAMNT 形 从而得到 由此结合线面平行的判断定理可证 由条件可知四面体MNA N BCM 的高 即点 到底面的距离为棱 的一半 由此可顺利求得结果 PA 试题解析 由已知得 取 的中点 连接 由 为23 DBT 中点知 PCBT 1C 又 故 平行且等于 四边形 为平行四边形 于是 AD NMNATMN 因为 平面 平面 所以 平面 MPA PA 因为 平面 为 的中点 PABCDNP 所以 到平面 的距离为 NA21 取 的中点 连结 由 得 BCE3 BCE 52 BEA 由 得 到 的距离为 故 AM B51452MS 所以四面体 的体积 N 133NBCMBCPV 考点 直线与平面间的平行与垂直关系 三棱锥的体积 技巧点拨 1 证明立体几何中的平行关系 常常是通过线线平行来实现 而线线平行 常常利用三角形的中位线 平行四边形与梯形的平行关系来推证 2 求三棱锥的体积关 键是确定其高 而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置 当然有时也采取割补法 体积转换法求解 20 见解析 12 xy 解析 试题分析 设出与 轴垂直的两条直线 然后得出 的坐标 然后通过 ABPQR 证明直线 与直线 的斜率相等即可证明结果 设直线 与 轴的交点坐标ARFQlx 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 8 页 总 11 页 利用面积可求得 设出 的中点 根据 与 轴是否垂直分两种1 0 Dx1xAB ExyABx 情况结合 求解 ABDEk 试题解析 由题设 设 则 且 0 2 Fbylal 21 0 a 1 02 RQPba 记过 两点的直线为 则 的方程为 BA l 02 abyx 由于 在线段 上 故 F01 ab 记 的斜率为 的斜率为 则R1k2k 21abk 所以 FQA 设 与 轴的交点为 lx 0 1xD 则 11 222ABF PQFabSbabaS 由题设可得 所以 舍去 1x 01x1x 设满足条件的 的中点为 AB yE 当 与 轴不垂直时 由 可得 xDABk 1 2 xyba 而 所以 yba 2 1 2 x 当 与 轴垂直时 与 重合 所以 所求轨迹方程为 ABxE2xy 考点 抛物线定义与几何性质 直线与抛物线位置关系 轨迹求法 方法归纳 1 解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化 为利用向量证明 2 求轨迹方程的方法在高考中最常考的是直接法与代入法 相关点法 利用代入法求解时必须找准主动点与从动点 21 当 时 单调递增 当 时 单调递减 见解析 0 x fx1x fx 见解析 解析 试题分析 首先求出导函数 然后通过解不等式 或 可确 fx 0fx fx 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 9 页 总 11 页 定函数 的单调性 左端不等式可利用 的结论证明 右端将左端的 换为 fx x 即可证明 变形所证不等式 构造新函数 然后通过利用导数研究函数的单调性1 来处理 试题解析 由题设 的定义域为 令 解 fx 0 1 fx 0fx 得 1x 当 时 单调递增 当 时 单调递减 0 0f f 0f f 由 知 在 处取得最大值 最大值为 x1 1 所以当 时 1x ln 故当 时 即 lnx lnx 由题设 设 则 令 c 1 xgc 1lxg c 0g x 解得 0 1lnx 当 时 单调递增 当 时 单调递减 0g x0 x 0g x 由 知 故 又 故当 时 1lnc 01 1 1x 0 x 所以当 时 1 xc 考点 利用导数研究函数的单调性 不等式的证明与解法 思路点拨 求解导数中的不等式证明问题可考虑 1 首先通过利用研究函数的单调性 再利用单调性进行证明 2 根据不等式结构构造新函数 通过求导研究新函数的单调性 或最值来证明 22 见解析 60 解析 试题分析 根据条件可证明 PFB 与 PCD 是互补的 然后结合 PFB 2 PCD 与三 角形内角和定理 不难求得 的大小 由 的证明可知 四点共PCD CEFD 圆 然后根据用线段的垂直平分线知 为四边形 的外接圆圆心 则可知 在线段GEFDG 的垂直平分线上 由此可证明结果 CD 试题解析 连结 则 B BCPCDPABF 因为 所以 又 所以 D PCDBF 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 10 页 总 11 页 又 所以 因此PCDFBBDPF 2 180 1803 6 C 因为 所以 由此知 四点共圆 EFEFDC 其圆心既在 的垂直平分线上 又在 的垂直平分线上 故 就是过 四点EDG 的圆的圆心 所以 在 的垂直平分线上 又 O 也在 CD 的垂直平分线上 因此GC DO 考点 圆周角定理 三角形内角和定理 垂直平分线定理 四点共圆 方法点拨 1 求角的大小通常要用到三角形相似 直角三角形两锐角互余 圆周角与 圆心角定理 三角形内角和定理等知识 经过不断的代换可求得结果 2 证明两条直线 的垂直关系 常常要用到判断垂直的相关定理 如等腰三角形三线合一 矩形的性质 圆 的直径 平行的性质等 23 的普通方程为 的直角坐标方程为 1C213xy 2C40 xy 3 2 解析 试题分析 利用同角三角函数基本关系中的平方关系化曲线 C1的参数方程普通方程 利用公式 与 代入曲线 C2的极坐标方程即可 利用参数方程cosx siny 表示出点 的坐标 然后利用点到直线的距离公式建立 的三角函数表达式 P PQd 然后求出最值与相应的 点坐标 试题解析 的普通方程为 的直角坐标方程为 1C213xy 2C40 xy 由题意 可设点 的直角坐标为 因为 是直线 所以 的P cos in 2 PQ 最小值即为 到 的距离 的最小值 2 d 3cosin4 2 sin 2 3d 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 11 页 总 11 页 当且仅当 时 取得最小值 最小值为 此时 的直角坐标 2 6k Z d 2P 为 31 考点 椭圆的参数方程 直线的极坐标方程 技巧点拨 一般地 涉及椭圆上的点的最值问题 定值问题 轨迹问题等 当直接处理 不好下手时 可考虑利用椭圆的参数方程进行处理 设点的坐标为 将 cos ab 其转化为三角问题进行求解 24 13 x 2 解析 试题分析 利用等价不等式 进而通过解不等式可求得 hxahxa 根据条件可先将问题转化求解 的最小值 此最值可利用三角不等式求 fg 得 再根据恒成立的意义建立关于 的不等式求解即可 试题解析 当 时 2a 2 fx 解不等式 得 2 6x 13 因此 的解集为 f x 当 时 x R 2 12 fgax 12 ax 1 a 当 时等号成立 2x 所以当 时 等价于 R 3fxg 1 3a 当 时 等价于 无解 1a 1a 当 时 等价于 解得 2 所以 的取值范围是 2 考点 绝对值不等式的解法 三角不等式的应用 易错警示 对于绝对值三角不等式 易忽视等号成立的条件 对 当且 ab 仅当 时 等号成立 对 当且仅当 且 时0ab abab 0 左边等号成立 当且仅当 时右边等号成立 0