二次函数中根的分布问题

一元二次方程 根的分布情况02 cbxa 设方程 的不等两根为 且 相应的二次函数为 20axbca 12 12 20fxabc 方程的根即为二次函数图象与 轴的交点 它们的分布情况见下面各表 每种情况对应的均是充要条件 x 表一 两根与 0 的大小比较即根的正负情况 分布情况 两个负根即两根都小于 0 12 x 两个正根即两根都大于 0 12 x 一正根一负根即一个根小于 0 一个大于 0 12x 大致图象 0 a 得出的结论 02baf 02baf 0 f 大致图象 0 a 得出的结论 02baf 02baf 0 f 综合结论 不讨论 a 02baf 02baf 0 fa 表二 两根与 的大小比较 k 分布情况 两根都小于 即kx 21 两根都大于 即kx 21 一个根小于 一个大于 即kk21x 大致图象 0 a 得出的结论 02bkaf 02bkaf 0 kf 大致图象 0 a 得出的结论 02bkaf 02bkaf 0 kf 综合结论 不讨论 a 02bkaf 02bkaf 0 kfa kk k 表三 根在区间上的分布 分布情况 两根都在 内 nm 两根有且仅有一根在 内 nm 图象有两种情况 只画了一种 一根在 内 另一根在 nm 内 qp qp 大致图象 0 a 得出的结论 02fmnba 0 nfm 或 0fmnfpq 0fnpq 大致图象 0 a 得出的结论 02fmnba 0 nfm 或 0fmnfpq 0fnpq 综合结论 不讨论 a 0 nfm 0qfpnm 根在区间上的分布还有一种情况 两根分别在区间 外 即在区间两侧 图形分别如下 n 12 xn 需满足的条件是 1 时 2 时 0a 0fmn 0a 0fmn 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明 1 两根有且仅有一根在 内有以下特殊情况 若 或 则此时 不成立 但对于这种情况是知道了方程有一根为 或 0fm fn 0fmn A m 可以求出另外一根 然后可以根据另一根在区间 内 从而可以求出参数的值 如方程n 在区间 上有一根 因为 所以 22xx 1 3 1f 2212mxxx 另一根为 由 得 即为所求 m1 2m 方程有且只有一根 且这个根在区间 内 即 此时由 可以求出参数的值 然后再将参数2 n 0 0 的值带入方程 求出相应的根 检验根是否在给定的区间内 如若不在 舍去相应的参数 如方程 有且一根在区间 内 求 的取值范围 分析 由 即2460 x 3 0 30f A 得出 由 即 得出 或 当 153m 154m 21646m 1m32 时 根 即 满足题意 当 时 根 故 不满足题意 2 x 3 x 综上分析 得出 或1 例 1 已知二次方程 有一正根和一负根 求实数 的取值范围 2110mx m 解 由 即 从而得 即为所求的范围 20f Am 12 例 2 已知方程 有两个不等正实根 求实数 的取值范围 210 x 解 由 02mf A 2180m 32320m 或 或 即为所求的范围 03 3 例 3 已知二次函数 与 轴有两个交点 一个大于 1 一个小于 1 求 243ymxxm x 实数 的取值范围 m 解 由 即 即为所求的范围 210f A10 A 12 例 4 已知二次方程 只有一个正根且这个根小于 1 求实数 的取值范围 234xmx m 解 由题意有方程在区间 上只有一个正根 则 即为所求0 1 0f A 430 A 13 范围 注 本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在 内 由 计算检验 均不复合0 1 题意 计算量稍大