4一元积分学的几何应用与重积分计算-(1)

1 一元微积分的几何综合应用与重积分计算 一 考试内容 一 一元积分学的几何应用 1 平面图形的面积 baDXDxyabgxyfSdxyfgxd 型 区 域 的 面 积 为 f a 由 曲 线 与 直 线 所 围 图 型 的 面 积 为 dcDYfcdfy 型 区 域 的 面 积 为 xfygySgd 由 曲 线 与 直 线 所 围 图 型 的 面 积 为 21 DDfdf 型 区 域 的 面 积 为 2 旋转体体积 2 0 bxaXxyabgxyfxVfgxd 型 区 域 绕 轴 旋 转 一 周 的 0yfga 所 围 图 形 绕 轴 旋 转 一 周 的 2 dycYDfcdfy 型 区 域 绕 轴 旋 转 一 周 的 2 xfxyyyVgd 所 围 图 形 绕 轴 旋 转 一 周 的 0 byaXaxbgfxxfx 型 区 域 绕 轴 旋 转 一 周 的 0yfg 所 围 图 形 绕 轴 旋 转 一 周 生 成 的 2 dxcYDxyfycdVfgyd 型 区 域 绕 轴 旋 转 一 周 的 xfcdxy 所 围 图 形 绕 轴 旋 转 一 周 的 22 baabkgfkfkxk 绕 旋 转 一 周 的 2 bayfyxaxbyVfgdx 所 围 图 形 绕 旋 转 一 周 的 2 baDxyf x 绕 旋 转 一 周 的 注 利用平面图形的面积与旋转体体积公式时 有时可借助参数方程或极坐标表示 xy 3 曲线的弧长 2 btLaLftygtabdsftgtd 的 弧 长 的 弧 长 4 旋转体的侧面积 2 0 2 2 1 bxLayfxabxSfdsfxfdx 绕 轴 旋 转 一 周 的 侧 面 积 xyfygDgyf ss 绕 轴 旋 转 一 周 的 222 1 1 baff d 2 二 重积分计算法则 1 记忆以下二重积分奇偶对称性性质 1 当积分域 对称于 轴时 令 是 关于 轴某一侧的部分 则有DxD x 2 0fyfydfyfyfxd 连 续 若 关 于 为 偶若 关 于 为 奇 上述性质可类似地应用于关于 轴的对称性与函数关于 的奇偶性x 3 当积分域关于原点对称时 若 则有 yfxf 0 Ddyxf 4 若将 互换 积分域 不变 关于 对称 xyD 则 轮换性 1 2Dfdfxdffxd 2 记忆以下三重积分奇偶对称性性质 1 当积分域 对称于 面时 令 是 关于 面某一侧的部分 则有 oy oy 0fxzfxzdvfxzfxyzfydv 连 续 若 关 于 为 偶若 关 于 为 奇 上述性质可类似地应用于关于其它坐标面的对称性与函数的奇偶性 2 若将 互换 积分域 不变 xz 则 轮换性 fydvfxzydvfyzxdv 3 记忆重积分的算法 对 XDabgh 型 区 域 bhxagDfydfyd 对 Yxyycd 型 区 域 ycx 对 型 区 域 cosinos in hgDDfdf fd 特别地 2 21 1 cr rd 对 为 在 面的投 xyzDxyzhxy 疑 似 柱 体 区 域 D xoy 影 则 此为先二后一法 hgxyDfxyzdvfz 对 绕 轴 的旋转体区域 为 在 处的横截面区域 0F azb z 则 此为先一后二法 zbaDfxyzdvfxyd 特别地 截面面积为已知的立体体积 bbaaDxVAxdyzdv 对由球面与锥面所围成的区域 可利用球坐标法计算 2 sinco sin cosinfxyzdvfrrrr 3 二 一元微积分的几何综合应用典型例题 例 1 是奇函数 除 外处处连续 是其第一类间断点 则 是 fx0 x 0 x 0 xftd B A 连续奇函数 B 连续偶函数 C 在 x 0 间断的奇函数 D 在 x 0 间断的偶函数 例 2 如图 在 上有连续的导数 则定积分 fx a 0axfd C A 曲边梯形 ABOD 面积 B 梯形 ABOD 面积 C 曲边三角形 ACD 面积 D 三角形 ACD 面积 例 3 设 D 是由曲线 直线 及 轴所转成的平面图形 分别3xy a 0 xyxV 是 D 绕 轴和 轴旋转一周所形成的立体的体积 若 则 x yV 17a 提示 2530aVd 7302 6yVfd 例 4 求曲线 的全长 xty8sinS 解 而 3 xsi 3221 4y 例 5 设 求其所示曲线与直线 及 轴 轴围成的区域绕 轴旋21 txfed xy 转一周生成的旋转体体积 V 解 11 122000 Vffxfdfx 1 e 例 6 求曲线 和 所围图形的面积 及其绕极轴旋转一周的 cos4 r SxV 解 24 1 22008 1cos 61DSdrd 8202sincsxVyr 0 cos dttt 例 7 某曲线以极坐标可表示为 3 则其在 处的切线的直角坐标方程为 1 3xy 则其斜渐近线的直角坐标方程为 注意仅 时 2yx x 例 8 已知抛物线 上任一点 处的曲率半径为 是该抛物线上yx M s 介于点 与 之间的弧长 求 1 A 223 dxss 解 32 1 4 yxx 211 4xxydd 4 故有原式 6dxxs 2 641dxs 9 例 9 求曲线 与 轴所围成图形的面积 0 sin eyx A2 e 提示 dAx 0 dxenxn 1 0si tdetntnsi0 例 10 设 是 内过点 的光滑曲线 当 时 曲线上 y 2 x 任一点处的法线都过原点 当 时 满足 求 的表达式 x yy y 提示 当 时 即 得 有x y x2C 2 当 时 得 的通解为0 0 12cosinCx 由 在 处连续且可导 有 yx1 0 1 0 yy 故 2 cosin xx 例 11 设 是第一象限内连接点 的一段连续曲线 为该曲 yf AB Mxy 线上任一点 点 为 在 轴上的投影 为坐标原点 若梯形 的面积与曲边CMOOCA 的面积之和为 求 的表达式 B 32 6 f 提示 当 时 得 13 1 2 6xxfftd 0 x 211 fxfx 则 因 由 的连续性知 2 f 0 f 2 f 例 12 设 在 0 1 上连续 在 0 1 内大于零 且 为常数 3a 又曲线 与 所围成的图形 S 的面积值为 2 求 并问 为何值时 图xfyy x 形 S 绕 轴旋转一周秘得的旋转体的体积最小 提示 则 由 2 有 32fa 2 3fxaCx 10 fd C 4 因此 体积为 2 4x 216 33Va 令 得 又 故知当 时 体积最小 0 315 V515 5 例 13 曲线 与直线 及 围成一曲边梯形 该图形xye 0 xt y 绕 轴旋转一周得一旋转体 其体积为 侧面积为 在 处的底面积为 x Stxt Ft 求 的值 计算极限 St lim tF 提示 2200 1t tVydxy 0lim li tt tFt li 1LHtttttee 例 14 设 是区间 上具有连续导数的单调增加函数 且 对任意的 yx 0y 直线 曲线 以及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一 0 t 0t y 周生成一旋转体 若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的 2 倍 求函数 的表 达式 5 提示 由 得2200 1 t tStVydxy 21yy 由题意知 则有 即 ddt 解得 由 得 从而 2ln tyC C xe 三 重积分计算典型例题 例 1 计算 210 xyde 解 原式 221y 210 yed 12e 例 2 设区域 由曲线 围成 则 Dsin x 5Dxyd 提示 对称奇偶性与二重积分的几何意义 例 3 设 是 的第 象限的部分 记 则k 1 2 kkxyI B A B C D 01 I02 I03 I04 I 提示 由轮换性知 由不等式性质知 13 24 例 4 求二重积分 其中 Dxyd 22 1 xyyx 提示 由 得 22 sincor 原 式 3 sinco 240si dd 33488 is incos 3d 注 令 则原式 1 XxYy 540coirr 例 5 设 计算 10 yxD 2maxdDI yxy 解 记 1 0y 2 x3 1 则 1 2 32 2 d d DDI y 2113000d dxxx y 23415 d6 例 6 设 则 sec r 22sin1cosDrr 136 提示 可化为直角坐标形式 注 actyxatxy 例 7 计算二重积分 其中 D 为由曲线 与xDeyd 所围区域 1yx 解 如图 01 xyxy y O 1 x 6 10limxxxDeydeyd 1 112 20 00li lixxx xx ed 10lim2 xx xeed 01lim2xx 例 8 设 为单调递减的可微函数 且 为其反函数 若曲线 f 1 0f gx 与 及 轴所围区域绕 轴旋转一周的体积为 求 yf yy 1 0fxdgy 解 由题意知 则102 xfd 10 2xfd 原式 1 10000 fxfxfxgggyxfxd 1 122200 例 9 连续函数 的定义域为 且 f Dyftf 1 sin 227 其 中 求 2 ytxyD xf 提示 由二重积分奇偶对称性性质知 Ddxyf0 sin2207 有 得 20 0 1 1t tftdfdfd ftft xef2 例 10 求 2601limsinttxt y 026 50 sinlimsin lm6tyt ttdxd 2 40650s1lili38xtutdutt 例 11 已知函数 具有二阶连续偏导数 且 fxy 1 0fyfx 其中 计算 Dfya 0 Dxy xyDIfd 解 1100 xy xy xIfdfddf 1 11100 00 xxf yx x xyfyff 1 0111000 fxdffyd fy Dxyxyda 7 例 12 设 f r 在 0 1 上连续 则 0dlim1222 yxnn yxf 证明 10201122d2 rfrfyx nn yn 设 则rfM0ma 2 122 201 ddn nxy Mfxyr 注意到 于是由夹逼定理可知要证结论成立 li 0n 注 是错误 222221 lim0n nnxyfxyf 的 例 13 其中 由锥面 与平面 围成的区域 dvyx 2 22xyz a0 解 1 原式 22 20 51 axyxyaddz 解 2 原式 2 230 0azxyzd a 解 3 原式 22224cos00 incosins inarrrd 2340iadd51 例 14 其中 是由球面 所围成的闭区域 xyzv 122 zyx 解 1 因区域 具有轮换性 则 2vdv 故原式 22 201 zxyxydv 对 称奇 偶 2 221 110001xydddz 85 解 2 原式 222 1212 30 001 zxyzxyz 解 3 原式 dv 28 sin35drdr 例 15 计算 由平面 以及曲面 围成 其中 是由曲线 2 8 zS 绕 轴旋转所生成的旋转面 02xzy 8 解 原式 28 822 2019845zxyzddxyzd 例 16 计算 其中 1I xyz 解 1 222 22 zdxyzd 2 12 24cos 40000sin sin 21 6drrdrr 例 17 求 上的连续函数 1 xyzz fxyz 使 3fzfxyv 提示 令 则 fxydvA 44 1zdA 四 课后练习 一 一元微积分的几何综合应用 1 设 在区间 上连续 则曲线 夹在 之间的平面图形 gxfm ab fxg ab 绕直线 旋转而成的旋转体体积为 y B Adxgfxfba 2 dxgfxfmba 2 Cg D 2 设 连续 曲线 与 轴围成三块面积 其中 在 轴的下方 xf fy 321 S31 在 轴的上方 若 则 S 2321 qpSqS badxf C Aqp BpC qp 3 与 轴 轴围成图形的面积为 21 3xfd y1ln3 4 求证 由平面图形 绕 轴旋转形成的旋转体体积bxa 0 0 xfyy 并利用该题结论 计算 与 轴所围区域绕 轴旋转bafV 2 xy 一周而成的旋转体体积 2 5 设曲线的极坐标方程为 则该曲线上相应于 从 0 边到 的一段弧 ea 2 与极轴所围成的图形面积为 4 1 6 求摆线 一拱 的弧长 tyxsinco1 0 t8 S 7 求心形线 的全长 其中 ar 0 aa 8 设 平面上有 及 若 表示 1 yxyDtyxl 0 tS 位于直线 左下方部分的面积 试求 l dtS0 x 9 210136 230 xxdtSx 9 点 是曲线 的一个拐点 分别是曲线 在 与 处的切线 其交点 2 C1l2C 0 2 3 为 设函数 具有三阶连续导数 求 4 f 302 dxfx yl1 fy 2 0 2 3 4 x 10 已知曲线 L 的方程 21 4xtty I 讨论 L 的凹凸性 凸 II 过点 引 L 的切线 求切点 并写出切线的方程 1 0 0 xy1yx III 求此切线与 L 对应 部分 及 x 轴所围的平面图形的面积 0 x 73 11 设 求 的极值 单调区间和凹凸区间 10fxtdt 1 f 为极大值 为极小值2 63f 2 63f 的单调增区间是 单调减区间是 fx 2 为凸区间 为凹区间 0 0 12 设 D 是位于曲线 下方 x 轴上方的无界区域 2 1 0 xay I 求区域 D 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 V a 2ln II 当 a 为何值时 V a 最小 并求此最小值 e 13 设 在 上连续 若由 与 轴所围图形绕 轴f 1 xfy0 1 txxx 旋转一周所成的旋转体体积 则 3 2tt 2 9f f 31 14 设 是正值连续函数 且对任何 曲线 在 上的 xf 10f y 一段弧长总是等于由过 轴上点 且垂直于 轴的直线及 轴 轴与这段弧围成的曲边xxx 10 梯形面积 求这条曲线的方程 xey 12 15 设位于第一象限的曲线 过点 其上任一点 P x y 处的法线与 y 轴的 fx 交点为 Q 且线段 PQ 被 x 轴平分 1 求曲线 的方程 yf21y 2 已知曲线 在 上的弧长为 试用 表示 的弧长sin 0 ll yfx s24l 16 设非负函数 x 0 满足微分方程 当曲线 过原点 yx 20 xy yx 时 其与直线 x 1 及 y 0 围成平面区域的面积为 2 求 D 绕 y 轴旋转所得旋转体体积 176 17 请设计一条经过原点且介于曲线 与 轴之间的连续曲线 使其与曲线2xy C 所围面积 等于由曲线 所围的面积 其中2xy 0y1S2xy 02S 为曲线 上的任一点 0P2x 293 二 重积分计算 1 改变 次序 2sin0 xdfyd i 1sinarcsn0arc y yfxd 2 计算 21 220101xI y ln38 3 设 为由曲线 与 所围的区域 则 Dyx xDed 2 4 若 则 2 0 2yx 2y 109 5 设 为 上的连续奇函数 则 1 221 xyabdx 2ab 6 若 则 02 Dxy m Dy 19ln4 7 设 2 1 2xyf 则 2 dxyf 4ln13 8 设 为整个平面区域 则 0 xf 其 它 D Dfyxdy 14 11 9 22 01limtxytde 10 设 可导 为其反函数 证明 f gx 1 0f 11002 xgyxfd 11 设 满足 则 fz 2 0 2 xfyz 221 xyxyfed e 12 记曲线 绕 轴旋转一周生成的曲面与 所围的立体区域为 20 xy z 求 221dvz 43ln 13 设 则 1xabc dv 43abc 14 设 则 22yzR2 xyzdv 5163R 15 设 计算 2 3x Ixy 24 16 由 面上的区域 绕 轴旋转一周而成的空 间区域 则