平面直角坐标系知识梳理及经典题型

平面直角坐标系知识结构图： 一、知识要点： （一）有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对。记作（a ，b） （二）平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系； 1、坐标平面上的任意一点P的坐标，都和惟一的一对 有序实数对（）一一对应；其中，为横坐标，为 纵坐标坐标； 2、轴上的点，纵坐标等于0；轴上的点，横坐标等于0；坐标轴上的点不属于任何象限 （三）四个象限的点的坐标具有如下特征：象限横坐标纵坐标第一象限正正第二象限负正第三象限负负第四象限正负 1、点P（）所在的象限 横、纵坐标、的取值的正负性； 2、点P（）所在的数轴 横、纵坐标、中必有一数为零；P（） （四）在平面直角坐标系中，已知点P，则 1、点P到轴的距离为； 2、点P到轴的距离为； 3、点P到原点O的距离为PO （五）平行直线上的点的坐标特征： 1、在与轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等；YABB 点A、B的纵坐标都等于； XYX2、 2、在与轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；CD 点C、D的横坐标都等于； （六）对称点的坐标特征： 1、点P关于轴的对称点为， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数； 2、点P关于轴的对称点为， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数；XyPOXyPOXyPO 3、点P关于原点的对称点为，即横、纵坐标都互为相反数； 关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点对称 （七）两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征： 1、若点P（）在第一、三象限的角平分线上，则，即横、纵坐标相等； 2、若点P（）在第二、四象限的角平分线上，则，即横、纵坐标互为相反数；yPOXXyPO 在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上 （八）利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下： 1、建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向； 2、根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； 3、在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。P（x，y）P（x，ya）P（xa，y）P（xa，y）P（x，ya）向上平移a个单位长度向下平移a个单位长度向右平移a个单位长度向左平移a个单位长度 （九）用坐标表示平移：见下图 二、题型分析： 题型一： 代数式与点坐标象限判定 此类问题通常与不等式（组）联系在一起，或由点所在的象限确定字母的取值范围，或由字母的取值范围确定点所在的象限【例1】在平面直角坐标系中，点在（）第一象限第二象限第三象限第四象限【解析】由各象限点的特征知，点在第四象限，故选D【点评】解答这类问题所需的知识点是第一、二、三、四象限内的点的坐标符号分别是（+，+）、（-，+）、（-，-）、（-，+）【例2】若点（）的横坐标与纵坐标互为相反数，则点一定在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解析】由题意知，解得于是点P的坐标为（1，-1），于是点P在第二象限选B【点评】本题设置了一个小小的障碍，即先根据横坐标与纵坐标互为相反数列出方程解出m，然后才能根据会标特点确定象限 【例3】若点P（a，b）在第四象限，则点M（b-a，a-b）在 （ ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 答案：B分析：第四象限横坐标大于0，纵坐标小于0. 【例4】如果ab0,且ab0,那么点(a，b)在 ( )A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限, D、第四象限. 答案：B 【例5】对任意实数x，点P（x，x22x）一定不在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案：C 【例7】点P（x，y）在第四象限，且|x|=3，|y|=2，则P点的坐标是 。答案：（3，-2） 【例8】若点M (1 x，x + 2 ) 在第二象限内，则x的取值范围为 ；答案：x2习题演练：1、在平面直角坐标系中，点P（）一定在 象限。2、点P（x1，x1）不可能在（ ）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限3、如果点M（ab，ab）在第二象限，那么点N（a，b）在第_象限。4、点Q (3 a，5 a )在第二象限，则= ；5、点M（a，a-1）不可能在 （ ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 6、如果0，那么点P（x，y）在 （ ） A、 第二象限 B、第四象限 C、第四象限或第二象限 D、第一象限或第三象限 题型二：用代数式求坐标轴上的点坐标 例1：在平面直角坐标系中，已知点P（）在轴上，则P点坐标为 答案： （7，0） 例2：已知:A(1,2),B(x,y),ABx轴,且B到y轴距离为2,则点B的坐标是 . 答案：（-2，2）或（2，2） 习题演练： 1、已知点A（m，-2），点B（3，m-1），且直线ABx轴，则m的值为 。2、已知线段AB=3，AB轴，若点A的坐标为（，2），则B点的坐标为 ；3、已知点P（x2-3，1）在一、三象限夹角平分线上，则x= . 题型三：求对称点的坐标解答此类问题所需知识点是：点（a,b）关于x轴的对称点是(a,-b)，关于y轴的对称点是(-a,b)，关于原点的对称点是（-a,-b）图1【例1】在如图1所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，如果以所在的直线为轴，以小正方形的边长为单位长度建立平面直角坐标系，使点与点关于原点对称，则这时点的坐标可能是（）【解析】根据题意，点与点关于原点对称，MN所在直线为y轴，于是可确定原点为图中O点位置，即x轴为过O点的一条横线，于是C点的坐标为（2，-1），即选B【点评】本题逆向考查了两点关于原点对称问题，求C点坐标的关键是确定直角坐标系的原点所在 例1：点M（2，3）关于轴的对称点N的坐标为 ； 关于轴的对称点P的坐标为 ；关于原点的对称点Q的坐标为 。答案：（2，3） ； （-2，-3） ； （3，-2） 例2 已知点A（a，5），B（8，b）根据下列要求，确定a，b的值（1）A，B两点关于y轴对称；（2）A，B两点关于原点对称；（3）ABx轴；（4）A，B两点在一，三象限两坐标轴夹角的平分线上 【分析】（1）两点关于y轴对称时，它们的横坐标互为相反数，而纵坐标相同； （2）两点关于原点对称时，两点的横纵坐标都互为相反数； （3）两点连线平行于x轴时，这两点纵坐标相同（但横坐标不同）； （4）当两点位于一，三象限两坐标轴夹角的平分线上时，每个点的横纵坐标相同 【解答】（1）当点A（a，5），B（8，b）关于y轴对称时有： （2）当点A（a，5），B（8，b）关于原点对称时有 （3）当ABx轴时，有（4）当A，B两点位于一，三象限两坐标轴夹角平分线上时有：xA=yB且xA=yB即a=5，b=8 【点评】运用对称点的坐标之间的关系是解答本题的关键习题演练：1、点P(，)关于轴的对称点的坐标是 ，关于轴的对称点的坐标是 ，关于原点的对称点的坐标是 ；2、在平面直角坐标系下，下列各组中关于原点对称又关于y轴对称的点是（ ）A、（3，2）（3，2） B、（0，3）（0，3） C、（3，0）（3，0） D、（3，2）（3，2） 题型四：根据坐标对称求代数式的值 例1：已知点P和点A关于轴对称，那么= ； 答案：习题演练： 1、已知点A（2a+3b，2）和点B（8，3a+2b）关于x轴对称，那么a+b=（ ） A、2 B、2 C、0 D、4 答案：A2、已知：点P的坐标是(,)，且点P关于轴对称的点的坐标是(,)，则； 答案：-3 ； 题型五：根据到坐标轴的距离求坐标 例1：过点A（2，-3）且垂直于y轴的直线交y轴于点B，则点B坐标为 （ ）A、（0，2） B、（2，0） C、（0，-3） D、（-3，0）答案：C 例2：已知点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则M点的坐标为（ ）A、（3，2） B、（-3，-2） C、（3，-2） D、（2，3），（2，-3），（-2，3），（-2，-3）答案：D 例3：若点P（，）到轴的距离是，到轴的距离是，则这样的点P有 （ ）、个 、个 、个 、个答案：D习题演练： 1、点P位于x轴下方，y轴左侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，那么点P的坐标是 （ ）A、（4，2） B、（2，4） C、（4，2） D、（2，4）答案：B2、点E（a,b）到x轴的距离是4，到y轴距离是3，则有 （ ）A、a=3, b=4 B、a=3,b=4 C、a=4, b=3 D、a=4,b=3 答案：D3、已知点P的坐标为（2 a，3a + 6），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P坐标是 ( )A、（3，3) B、(3，3) C、(6，一6) D、(3，3)或(6，一6)答案：D 题型六：根据图形的其他顶点坐标求点坐标 例1：在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（0，0），（0，-5），（-2，-2），以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在第_象限 答案：一习题演练：1、一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（1,1）、（1，2）、（3,1），则第四个顶点的坐标为（ ） A、（2，2） B、（3，2） C、（3，3） D、（2，3） 答案：B 题型七：根据点的坐标求图形的面积 例1：已知点A（-2，0）B（4，0）C（-2，-3）。（1）求A、B两点之间的距离。（2）求点C到X轴的距离。（3）求ABC的面积。 答案：（1）6 ； （2）3 ； （3）9习题演练：1、在坐标系中，已知A（2，0），B（3，4），C（0，0），则ABC的面积为（ ）A、4 B、6 C、8 D、3答案：A技巧：割补法求面积 题型八： 求平移后的坐标 例1：已知三角形的三个顶点坐标分别是（1，4）、（1，1）、（4，1），现将这三个点先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（ ）A、（2，2），（3，4），（1，7） B、（2，2），（4，3），（1，7）C、（2，2），（3，4），（1，7） D、（2，2），（3，3），（1，7）答案：A 例2：线段CD是由线段AB平移得到的.点A（1，4）的对应点为C（4，7），则点B（ 4， 1）的对应点D的坐标为（ ） A、（2，9） B、（5，3） C、（1，2） D、（ 9， 4）答案：C习题演练：1、已知点，将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点，则点的坐标是 答案：（-1,1） 题型九：图形变换后点的坐标【例4】将点沿轴的正方向平移个单位得到点的坐标是（） 【解析】将点P沿轴的正方向平移时，横坐标发生变化，然纵坐标是不变化的，于是点的坐标为（2，2），即选C图2【点评】处理类似问题不妨新建一个直角坐标系草图分析一下，沿x轴正方向平移时，纵坐标的不变性就很直观了【例5】如图2，将绕点逆时针旋转，得到若点的坐标为，则点的坐标为 【解析】从图形上可以看出，逆时针旋转后，得到的所在位置也很特殊，即B恰好落在y轴上，于是点的纵坐标为a,横坐标应该为-b;故点的坐标为（-b,a）【点评】本题分析出得到的所在位置很特殊还算容易，但在处理坐标时更容易粗心致错，即认为点的横坐标应该为b，忽视逆时针旋转后点A所在象限变化到第二象限了 例1：如图4所示，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2006次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，P2006的位置，则P2006的横坐标x2006=_ 答案：2006 图1 图2 例2：已知ABC在平面直角坐标系中的位置如图8所示，将ABC向右平移6个单位，则平移后A的坐标是（ ） A（2，1） B（2，1） C（2，1） D（2，1） 答案：B 题型十：寻点构造等腰三角形 例1：在平面直角坐标系中，O是坐标原点，已知A点的坐标为（1，1），请你在坐标轴上找出点B，使AOB为等腰三角形，则符合条件的点B共有（ ）A6个 B7个 C8个 D9个答案：C题型十一、平面直角坐标系下的作图问题图6【例8】如图6，网络中每个小正方形的边长为1，点的坐标为（1）画出直角坐标系（要求标出轴，轴和原点）并写出点的坐标；（2）以为基本图形，利用轴对称或旋转或平移设计一个图案，说明你的创意【解析】（1）由题意，分析给出的点的坐标为，可以确定出直角坐标系数的原点及坐标轴所在（如下图）， 于是点A的坐标可确定为（-4，3）； （2）此题较开放，如下图，图案设计的创意为：“比冀双飞”【点评】本题是一道新课标下的开放性试题，可以充分发挥考生的主观能动性，培养发散思维，值得同学们在今后学习时重视