函数产生的历史背景和发展过程

函数产生的历史背景和发展过程 历史表明 重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的 函数概念对数学发展的影响 可以说是贯穿古今 旷日持久 作用非凡 回顾函数概念的历史发展 看一看函数概念不断被 精炼 深化 丰富的历史过程 是一件十分有益的事情 它不仅有助于我们提高对函数概念来 龙去脉认识的清晰度 而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展 数学学习的巨大作用 一 马克思曾经认为 函数概念来源于代数学中不定方程的研究 由于罗马时代的丢番图对不定 方程已有相当研究 所以函数概念至少在那时已经萌芽 自哥白尼的天文学革命以后 运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题 人们在思 索 既然地球不是宇宙中心 它本身又有自转和公转 那么下降的物体为什么不发生偏斜而还 要垂直下落到地球上 行星运行的轨道是椭圆 原理是什么 还有 研究在地球表面上抛射物体 的路线 射程和所能达到的高度 以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题 既是科学家的 力图解决的问题 也是军事家要求解决的问题 函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数 学概念 这是函数概念的力学来源 二 早在函数概念尚未明确提出以前 数学家已经接触并研究了不少具体的函数 比如对数函数 三角函数 双曲函数等等 1673 年前后笛卡儿在他的解析几何中 已经注意到了一个变量对于 另一个变量的依赖关系 但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念 因此直到 17 世纪 后期牛顿 莱布尼兹建立微积分的时候 数学家还没有明确函数的一般意义 1673 年 莱布尼兹首次使用函数一词表示 幂 后来他用该词表示曲线上点的横坐标 纵 坐标 切线长等曲线上点的有关几何量 由此可以看出 函数一词最初的数学含义是相当广泛 而较为模糊的 几乎与此同时 牛顿在微积分的讨论中 使用另一名词 流量 来表示变量间的 关系 直到 1689 年 瑞士数学家约翰 贝努里才在莱布尼兹函数概念的基础上 对函数概念进 行了明确定义 贝努里把变量 x 和常量按任何方式构成的量叫 x 的函数 表示为 yx 当时 由于连接变数与常数的运算主要是算术运算 三角运算 指数运算和对数运算 所以 后来欧拉就索性把用这些运算连接变数 x 和常数 c 而成的式子 取名为解析函数 还将它分成 了 代数函数 与 超越函数 18 世纪中叶 由于研究弦振动问题 达朗贝尔与欧拉先后引出了 任意的函数 的说法 在 解释 任意的函数 概念的时候 达朗贝尔说是指 任意的解析式 而欧拉则认为是 任意画出的 一条曲线 现在看来这都是函数的表达方式 是函数概念的外延 三 函数概念缺乏科学的定义 引起了理论与实践的尖锐矛盾 例如 偏微分方程在工程技术中 有广泛应用 但由于没有函数的科学定义 就极大地限制了偏微分方程理论的建立 1833 年至 1834 年 高斯开始把注意力转向物理学 他在和 W 威伯尔合作发明电报的过程中 做了许多 关于磁的实验工作 提出了 力与距离的平方成反比例 这个重要的理论 使得函数作为数学的 一个独立分支而出现了 实际的需要促使人们对函数的定义进一步研究 后来 人们又给出了这样的定义 如果一个量依赖着另一个量 当后一量变化时前一量也随 着变化 那么第一个量称为第二个量的函数 这个定义虽然还没有道出函数的本质 但却把变 化 运动注入到函数定义中去 是可喜的进步 在函数概念发展史上 法国数学家富里埃的工作影响最大 富里埃深刻地揭示了函数的本质 主张函数不必局限于解析表达式 1822 年 他在名著 热的解析理论 中说 通常 函数表 示相接的一组值或纵坐标 它们中的每一个都是任意的 我们不假定这些纵坐标服从一个 共同的规律 他们以任何方式一个挨一个 在该书中 他用一个三角级数和的形式表达了一个 由不连续的 线 所给出的函数 更确切地说就是 任意一个以 2 为周期函数 在 区间内 可以由 表示出 其中 富里埃的研究 从根本上动摇了旧的关于函数概念的传统思想 在当时的数学界引起了很大 的震动 原来 在解析式和曲线之间并不存在不可逾越的鸿沟 级数把解析式和曲线沟通了 那种视函数为解析式的观点终于成为揭示函数关系的巨大障碍 通过一场争论 产生了罗巴切夫斯基和狄里克莱的函数定义 1834 年 俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数的定义 x 的函数是这样的一个数 它对于每 个 x 都有确定的值 并且随着 x 一起变化 函数值可以由解析式给出 也可以由一个条件给出 这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法 函数的这种依赖关系可以存在 但仍然是未知 的 这个定义建立了变量与函数之间的对应关系 是对函数概念的一个重大发展 因为 对应 是函数概念的一种本质属性与核心部分 1837 年 德国数学家狄里克莱 Dirichlet 认为怎样去建立 x 与 y 之间的关系无关紧要 所以他的定义是 如果对于 x 的每一值 y 总有完全确定的值与之对应 则 y 是 x 的函数 根据这个定义 即使像如下表述的 它仍然被说成是函数 狄里克莱函数 f x 1 x 为有理数 0 x 为无理数 在这个函数中 如果 x 由 0 逐渐增大地取值 则 f x 忽 0 忽 1 在无论怎样小的区间里 f x 无限止地忽 0 忽 1 因此 它难用一个或几个式子来加以表示 甚至究竟能否找出表达 式也是一个问题 但是不管其能否用表达式表示 在狄里克莱的定义下 这个 f x 仍是一个 函数 狄里克莱的函数定义 出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述 以完全清 晰的方式为所有数学家无条件地接受 至此 我们已可以说 函数概念 函数的本质定义已经 形成 这就是人们常说的经典函数定义 四 生产实践和科学实验的进一步发展 又引起函数概念新的尖锐矛盾 本世纪 20 年代 人类 开始研究微观物理现象 1930 年量子力学问世了 在量子力学中需要用到一种新的函数 函数 即 x 0 x 0 x 0 且 函数的出现 引起了人们的激烈争论 按照函数原来的定义 只允许数与数之间建立对应 关系 而没有把 作为数 另外 对于自变量只有一个点不为零的函数 其积分值却不等于 零 这也是不可想象的 然而 函数确实是实际模型的抽象 例如 当汽车 火车通过桥梁 时 自然对桥梁产生压力 从理论上讲 车辆的轮子和桥面的接触点只有一个 设车辆对轨道 桥面的压力为一单位 这时在接触点 x 0 处的压强是 P 0 压力 接触面 1 0 其余点 x 0 处 因无压力 故无压强 即 P x 0 另外 我们知道压强函数的积分等于 压力 即 函数概念就在这样的历史条件下能动地向前发展 产生了新的现代函数定义 若对集合 M 的 任意元素 x 总有集合 N 确定的元素 y 与之对应 则称在集合 M 上定义一个函数 记为 y f x 元素 x 称为自变元 元素 y 称为因变元 函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然只相差几个字 但却是概念上的重大发展 是数 学发展道路上的重大转折 近代的泛函分析可以作为这种转折的标志 它研究的是一般集合上 的函数关系 函数概念的定义经过二百多年来的锤炼 变革 形成了函数的现代定义 应该说已经相当完 善了 不过数学的发展是无止境的 函数现代定义的形式并不意味着函数概念发展的历史终结 近二十年来 数学家们又把函数归结为一种更广泛的概念 关系 设集合 X Y 我们定义 X 与 Y 的积集 X Y 为 X Y x y x X y Y 积集 X Y 中的一子集 R 称为 X 与 Y 的一个关系 若 x y R 则称 x 与 y 有关系 R 记为 xRy 若 x y R 则称 x 与 y 无关系 现设 f 是 X 与 Y 的关系 即 fX Y 如果 x y x z f 必有 y z 那么称 f 为 X 到 Y 的函数 在此定义中 已在形式上回避了 对应 的术语 全部使用集合论的语言了 从以上函数概念发展的全过程中 我们体会到 联系实际 联系大量数学素材 研究 发掘 拓广数学概念的内涵是何等重要