解析几何试题的背景及拓展116

仿射几何与北京高考解析几何试题 2016北京卷第19题的背景和拓展 我们知道，圆锥曲线的很多问题都可以在“圆”那里找到源头，那么圆的哪些性质可拓广到其它曲线呢？那些不能照搬的性质，又有什么样的变化形式？举个例子：圆有一个重要的性质“直径所对的圆周角为直角”。那么类似的，对于椭圆能得到什么相应的结论呢？设为椭圆的“直径”（即过中心的弦），为椭圆上一点（异于），仍垂直吗？会有什么关系？分析：设，则，又因为，所以，也就是说直线的斜率之积为定值。在2010年高考北京卷的第19题涉及到了这个内容：在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于。求动点的轨迹方程。这里，实际上就是把上面的问题反过来了。这些是简单的问题，对于圆的更复杂的性质，圆锥曲线里又会有怎样相应的结论呢？我们知道，对圆锥曲线的研究，思路的起点经常是圆，而圆里面的问题太丰富了，中学教师如果能够把圆锥曲线和圆的关系搞清楚，那么解析几何问题的探索与研究的源泉将永不枯竭。本文简述仿射几何的几条基本理论，探讨如何把圆里的问题转化到圆锥曲线中去，寻找高等数学观点下的圆锥曲线（包括圆）的一致性，并谈谈在这方面北京卷命题所做的一些探索和实践。一、仿射几何的几条基本结论结论1: 仿射变换保持同素性. 仿射变换使得点对应点, 直线对应直线.结论2：仿射变换保持结合性. 在直线上, 经过仿射变换后, 其对应点在直线的对应直线上.结论3：两个封闭图形面积之比经过仿射变化后保持不变。二、仿射几何与高考试题 结合2016年高考北京卷的解析几何试题，谈谈在这方面北京卷命题所做的一些探索和实践。 （一）问题及背景在平面几何中有下面的问题：已知圆的半径为1，垂直平分，为弧上的动点（且不与重合），则BAPCONMD（1）四边形的面积为定值；（2）为定值实际上，四边形的面积等于，所以上面的（1）（2）两个问题是等价的。这个问题的平面几何解法不难找，这里不细述了，下面我们给出一个借助高中三角公式的证明证明：所对的弧分别为， 所以所以所以，即由圆的半径为1，得所以所以即所以四边形的面积等于的面积（等于1），即四边形的面积为定值（也即为定值）我们知道，椭圆经过仿射变换 后变为圆. 同样的, 圆也可以经过仿射变换变为椭圆. 我们可以从圆的某些性质导出椭圆的一些性质。 由于仿射变换保持同素性和结合性, 所以图1中的四边形经过变换后仍为四边形记为四边形. 又由前面提到的仿射几何中的推论, 我们知道两个封闭图形面积之比经过仿射变化后保持不变，即,四边形的面积也为定值.根据以上的分析，在椭圆里我们可以提出类似的问题，这就有了2016年高考数学北京卷(理科)的第19题：已知椭圆的离心率为，的面积为（）求椭圆的方程；（）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点求证：为定值 （二）问题的拓展 2016高考数学北京卷的文科第19题与理科19题是姊妹题, 具体如下: 已知椭圆过，两点 （）求椭圆的方程及离心率； （）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点求证：四边形的面积为定值 在这个题的命制过程中，还给出了其他的一些方向，但慎重考虑后，我们做了一些取舍，这里一并和大家谈谈，和大家探讨。本题中, 我们把点限定在第三象限，但实际上点在其他象限时也有类似问题，比如：当点在第一象限的时候（且在椭圆上），仍然设交轴于点，交轴于点，其中，则可以证明是一个定值。证明的过程中，首先需要一个几何转化，即，接下来就和前面的问题没什么差别了。这个结果非常漂亮，但最后还是割爱了，为什么呢？我们放弃它，并不是因为这个几何转化，我们甚至认为解析几何一定要考查几何的东西，但是这个题的几何转化的途径太单一了，几乎就是“华山一条路”，而一旦考生不能几何转化，将面临及其艰苦的运算，这不是北京高考题应该具备的特质。我们心目中的解析几何题应该是这样的：它首先应该是个几何问题，问题的提出应该有一个几何背景，中间解决的过程是代数的，从几何到代数的转化当然是需要的，但一般会给考生多一些途径，这个代数的方法也没有什么一定之规，套用中学教师的总结，“可以是设点，也可以是设直线”，比如今年的题就是这样，但最后还是回归到解决一个几何问题。一道好的解析几何试题里，几何应该是缘起，也是归宿，代数是解决这个几何问题的工具。 （三） 不同解法 在阅卷过程中, 我们发现学生有很多好的解法, 在这里列举几种理科19题的解法, 供大家参考. 解法1： （）由（）知， 设，则 当时， 直线的方程为 令，得，从而 直线的方程为 令，得，从而 所以 当时， 所以 综上，为定值 解法2：（）联立椭圆与直线的方程得到点坐标为 联立椭圆与直线的方程得到点坐标为 因此 两式通分相减，得到 如果，则，即 因此，无论是否相等，总有从而 由直线的方程解得点坐标， 由直线的方程解得点坐标， 为定值解法3：（） 由（）知， 当直线的斜率存在时,设其方程为, 令得,从而 由 得， 所以， 直线方程为， 令得，从而 所以 当直线的斜率不存在时，此时， 所以 综上所述为定值参考文献1朱德祥，朱维宗高等几何M 北京：高等教育出版社，20072梅向明，刘增贤，王汇淳，王智秋高等几何M 北京：高等教育出版社，20073. 王雅琪. 坐标一桥飞架 数形天堑变通途J数学通报，2016，3：46-484. 王雅琪. 高观点下的北京高考解析几何试题J数学通报，2016，11：28-305. 李红春. 仿射变换下一类椭圆问题的简单解法J中学数学月刊，2012，12：40-43